必刷题二 平面向量的运算-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

必刷题二 平面向量的运算 利用数量积求解长度问题、夹角、垂直问题是数 量积的重要应用 要掌握此类问题的处理方法: 1.(1)a·b=|a|2或|a|= a·a. (2)|a±b|= (a±b)2= a2+b2±2a·b. 2.向量夹角公式cos<a,b>= a ·b |a||b| 的计算中涉 及了向量运算和数量运算,计算时要区别进 行的是向量运算还是数量运算.从而保证计 算结果准确无误. 3.当两向量垂直时, 利用a·b=0列方程(组)可求未知数. 【例1】 在平行四边形ABCD 中,M,N 分别是 DC,BC的中点,已知AM → =c,AN → =d,试用c, d表示AB → 和AD → . 【解】 如 图,设AB → =a, AD → =b. ∵M,N 分 别 是 DC,BC 的中点, ∴BN → =12b ,DM → =12a. ∵在△ADM 和△ABN 中, AD → +DM → =AM →, AB → +BN → =AN →, 即 b+12a=c , ① a+12b=d. ② 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ①×2-②,得b=23 (2c-d),②×2-①,得a =23 (2d-c). ∴AB → =43d- 2 3c ,AD → =43c- 2 3d. 【例2】 设向量a,b满足|a|=|b|=1,|3a-b| =5. (1)求|a+3b|的值; (2)求3a-b与a+3b夹角的正弦值. 【解】 (1)由|3a-b|= 5,得(3a-b)2=5, 所以9a2-6a·b+b2=5. 因为a2=|a|2=1,b2=|b2|=1, 所以9-6a·b+1=5.所以a·b=56. 所以(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+6×56 +9×1=15. 所以|a+3b|= 15. (2)设3a-b与a+3b的夹角为θ. 因为(3a-b)·(a+3b)=3a2+8a·b-3b2 =3×1+8×56-3×1= 20 3. 所以cosθ= (3a-b)·(a+3b) |3a-b||a+3b|= 20 3 5× 15 =439 . 因为0°≤θ≤180°, 所以sinθ= 1-cos2θ= 1- 43 9 2 = 339 . 所以3a-b与a+3b夹角的正弦值为 339 . ◉高分秘籍 由两个向量夹角的定义知,两个非零向量a与b 的夹角θ的取值范围是[0,π],它包括零角、锐 角、直角、钝角和平角这些情况.特别地,当向量 a与b同向时,θ=0;当向量a与b 垂直时,θ= π 2 ;当向量a与b 反向时,θ=π.在具体解题时, 要根据题意排除不符合的情况. ◉速记口诀 1.求向量夹角的方法 (1)求出a·b,|a|,|b|,代入公式cosθ= a·b |a||b| 求解. (2)用同一个量表示a·b,|a|,|b|代入公式 求解. (3)借助向量运算的几何意义,数形结合求 夹角. 2.要注意夹角θ的范围θ∈[0,π],当cosθ>0 时,θ∈ 0,π2 ;当cosθ<0时,θ∈ π2,π ;当 cosθ=0时,θ=π2. 3.当两向量垂直时,利用a·b=0列方程(组) 可求未知数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·3· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| 知识点1 向量的加减法及其几何意义 1.如 图 所 示,在 平 行 四 边 形 ABCD中,BC → +DC → +BA → 等 于 ( ) A.BD → B.DB → C.BC → D.CB → 2.如图,D,E,F 分别是△ABC 的边AB,BC, CA 的中点,则 ( ) A.AD → +BE → +CF → =0 B.BD → -CF → +DF → =0 C.AD → +CE → -CF → =0 D.BD → -BE → -FC → =0 知识点2 共线向量定理及其应用 3.在△ABC 中,若点 D 满足BD → =2DC →,则AD → 等于 ( ) A.13AC → +23AB → B.53AB → -23AC → C.23AC → -13AB → D.23AC → +13AB → 4.(1)3(6a+b)-9a+13b = ; (2)若2y-13a -12(c+b-3y)+b=0,其中 a,b,c为已知向量,则未知向量y= . 知识点3 平面向量的数量积 5.若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,则a· b= ( ) A.-3 2 B.-6 2 C.6 2 D.2 6.已知向量|a|=10,|b|=12,且a·b=-60, 则向量a与b的夹角为 ( ) A.60° B.120° C.135° D.150° 知识点4 平面向量的数量积的应用 7.P是△ABC所在平面上一点,若PA →·PB → =PB → ·PC → =PC →·PA →,则P是△ABC的 ( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 8.(多选题)已知两个非零向量a,b满足|a+b| =|a-b|,则下面结论错误的是 ( ) A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b| D.a+b=a-b 9.如图所示,已知在△ABC 中,AD → =23AB →,DE∥BC, DE 交AC 于点E,BC 边 上的中线AM 交DE于点N,设AB → =a,AC → =b, 用a,b表示向量AE →,DE →,AM →,AN → . 10.已知向量AB → =a+5b,BC → =-2a+8b,CD → = 3(a-b), (1)求证:A、B、D 三点共线; (2)求证:CA → =xCB → +yCD →(其中x+y=1). (2024·上海卷)已知k∈R,a=(2,5),b= (6,k),a∥b,则k的值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·4· |假日必刷题·数学| 参考答案 第一部分 收官之作·完胜上一学期 必刷题一 平面向量的概念 【刷基础题】 1.A 两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不 一定相同,终点也不一定相同;C选项,当b=0时,a与c 可能不共线;两个单位向量平行也可能反向,则不相等, 故B,C,D都错误,A正确.故选A. 2.D 不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故A、B 不正确;向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的 长度,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量, 可以比较大小,故D正确. 3.D 如图,易知 A、B、C均错误;由题意 得点 O 到△ABC 的 三 个 顶 点 的 距 离 相等, ∴|OA→|=|OB→|=|CO→|,故选D. 4.2 5.BD 如图,因为D,E 分别是AB,AC 的 中点, 所以由 三 角 形 的 中 位 线 定 理 得 DE∥ BC,所以DE→与CB→共线.AD→与BD→方向相 反,它们也共线. 6.解析 (1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中, ∵AB→=ED→,AB→=DC→,∴ED→=DC→. (2)由(1)知,ED→=DC→, ∴E、D、C三点共线,|EC→|=|ED→|+|DC→|=2|AB→|=6. 答案 (1)AB→、DC→ (2)6 【刷综合题】 7.分析 先确定好向量的起点 和终点,用 有 向 线 段 表 示 出 所求向量. 解 (1)作 出 向 量AB→,BC→, CD→,如图所示: (2)由题意得,△BCD 是直角 三角形,其中∠BDC=90°,BC=10 2米,CD=10米,所 以BD=10米.△ABD 是 直 角 三 角 形,其 中∠ABD= 90°,AB=5米,BD=10米,所以AD= 52+102=5 5 (米),所以|AD→|=5 5. [归纳提升] 向量的两种表示方法及应用 (1)几何 表 示 法:先 确 定 向 量 的 起 点,再 确 定 向 量 的 方 向,最后根据向量的长度确定向量的终点.便于用几何 方法研 究 向 量 运 算,为 用 向 量 处 理 几 何 问 题 打 下 了 基础. (2)字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c表示但需 是黑体,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向 量的有向线 段 的 起 点 与 终 点 表 示 向 量,如AB→,CD→,EF→ 等.便于向量的运算. 8.解 (1)因为E,F 分别是AC,AB 的中点, 所以EF􀰿12BC. 所以与EF→共线的向量有: FE→,BD→,DB→,DC→,CD→,BC→,CB→. (2)由(1)知EF􀰿12BC ,又 D 是BC 的中点,故与EF→模 相等的向量有:FE→,BD→,DB→,DC→,CD→. (3)与EF→相等的向量有:DB→与CD→. 【刷高考题】 C a⊥b⇔x2+x+2x=0⇔x=0或x=-3,所以x=- 3是a⊥b的充分条件,x=0是a⊥b的充分条件,故 A 错误,C正确.a∥b⇔2x+2=x2⇔x2-2x-2=0⇔x=1 ± 3,故B,D错误. 必刷题二 平面向量的运算 【刷基础题】 1.C BC→+DC→+BA→=BC→+(DC→+BA→)=BC→+0=BC→. 2.A 由题意得,BE→=DF→,CF→=FA→,所以AD→+BE→+CF→= AD→+DF→+FA→=0. 3.D 如图所示,由题意可得AD→=AB→ +BD→=AB→+23BC →=AB→+23(AC → -AB→)=13AB →+23AC →. 4.解析 (1)3(6a+b)-9 a+13b =18a+3b-9a-3b =9a. (2)将原等式变形为 2y-23a- 1 2c- 1 2b+ 3 2y+b=0 , 即7 2y- 2 3a- 1 2c+ 1 2b=0 ,7 2y= 2 3a- 1 2b+ 1 2c , ∴y=27 2 3a- 1 2b+ 1 2c =421a-17b+17c. 答案 (1)9a (2)421a- 1 7b+ 1 7c 5.B ∵a·b=|a||b|cos135°=3×4× - 22 =-6 2. 6.B 设a与b的夹角为θ, 则cosθ= a ·b |a|·|b|= -60 10×12=- 1 2 , 又0°≤θ≤180°,∴θ=120°. 7.D 由PA→·PB→=PB→·PC→得PB→·(PA→-PC→)=0,即PB→ ·CA→=0,所以PB⊥CA. 同理PA⊥BC,PC⊥AB,所以P 为△ABC的垂心. 8.ACD 由|a+b|=|a-b|可 得a·b=0,∴a⊥b,B 正确. 【刷综合题】 9.解 ∵DE∥BC,AD→=23AB →=23a, ∴AE→=23AC →=23b, ∵△ADE∽△ABC,∴DE→=23BC →=23(b-a). ∵△ADN∽△ABM,且AD→=23AB →,∴AN→=23AM →. 又∵AM→=AB→+BM→=a+12BC →=a+12(b-a)= a+b 2 , ∴AN→=13(a+b). 10.解 (1)∵BD→=BC→+CD→=-2a+8b+3(a-b)= a+5b, AB→=a+5b,∴AB→=BD→,∴AB→∥BD→, 又∵AB→、BD→有公共点B,所以A,B,D 三点共线. (2)∵CA→=CB→+BA→=-BC→-AB→ =2a-8b-a-5b=a-13b, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·75· |参考答案| xCB→+yCD→=x(2a-8b)+3y(a-b) =(2x+3y)a+(-8x-3y)b. ∴ 2x+3y=1-8x-3y=-13 ,所以 x=2y=-1 ∴CA→=xCB→+yCD→,其中x+y=1. 【刷高考题】 解析 因为a∥b,所以2k=5×6,得k=15. 答案 15 必刷题三 平面向量基本定理及坐标运算 【刷基础题】 1.BC 由平面向量基本定理可知,A、D是正确的.对于B, 由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于 C,当λ1λ2=0或μ1μ2=0时不一定成立,应为λ1μ2-λ2μ1 =0.故选BC. 2.D A中,两个向量为相反向量,即e1-e2=-(e2-e1), 则e1-e2,e2-e1 为共线向量;B中,2e1-e2=2e1- 1 2e2 , 也为共线向量;C中,6e1-4e2=-2(2e2-3e1),为共线 向量.根据不共线的向量可以作为基底,只有D符合. 3.D ∵AF→= 12 (AB →+AE→)= 12AB →+ 12 × 1 2AD →= 1 2AB →+14× 1 2 AB →+AC→ =58AB →+18AC →,故选D. 4.A 若BC→=λDC→(λ∈R),∴AC→-AB→=λAC→-λAD→,化 为AD→=1λAB →+λ-1λ AC →,与AD→=-13AB →+43AC → 比 较,可得:1 λ=- 1 3 ,λ-1 λ = 4 3 ,解得λ=-3.则λ=-3. 故选A. 5.AD 设P(x,y),则P1P →=(x,y-1),PP2→=(4-x,4-y), 当点P 靠近点P1 时,P1P →=12PP2 →, 则 x=12 (4-x) y-1=12 (4-y) 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得 x= 4 3 y=2 ,所以P 43,2 , 当点P 靠近点P2 时,P1P →=2PP2→, 则 x=2(4-x) y-1=2(4-y) ,解得 x= 8 3 y=3 ,所以P 83,3 , 故选:AD 6.D ∵a在基底p,q下的坐标为(-2,2), ∴a=-2p+2q=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4). 令a=xm+yn=(-x+y,x+2y), ∴ -x+y=2 , x+2y=4, 解得 x=0,y=2, ∴a在基底m,n下的坐标为(0,2). 7.A AB→=OB→-OA→=(4-k,-7),AC→=OC→-OA→= (-2k,-2). 因为A,B,C 三 点 共 线,所 以AB→,AC→共 线,所 以-2× (4-k)=-7×(-2k),解得k=-23. 故选:A. 8.C ma+nb=m(1,2)+n(-3,3)=(m-3n,2m+3n), a-3b=(1,2)-3(-3,3)=(10,-7), 若ma+nb 与a-3b 共 线,则-7(m-3n)=10(2m+ 3n),即mn =- 1 3. 故选:C. 9.D 由已知得AB→=(3,1),AC→=(2,4),∴cos∠BAC= cos<AB→,AC→>= AB →·AC→ |AB→||AC→| = 3×2+1×4 32+12+ 22+42 = 2 2. 故选:D. 10.AC 因为向量a=(m,3),b=(2,-4),所以a+b=(m +2,-1), 若(a+b)⊥a,则(m+2)×m+(-1)×3=0,即 m2+ 2m-3=0,解得m=1或m=-3,故A正确,B错; 当m=-3时,|a+b|= (m+2)2+(-1)2= 2; 当m=1时,|a+b|= (m+2)2+(-1)2= 10; 故C正确,D错.故选:AC. 11.解析 (1)(a+λb)⊥(a-λb)⇒(a+λb)·(a-λb)= a2-λ2b2=0⇒18-2λ2=0⇒λ=±3. (2)因为a=(-2,-6),所以|a|= (-2)2+(-6)2 =2 10.又|b|= 10,向量a与b 的夹角为60°,所以 a·b=|a||b|cos60°=2 10× 10×12=10. (3)解析 由cosθ<0得x<85 , 因为a∥b时有-4x-10=0,即x=-52 , 当x=-52 时,a=(2,-52 )=-12b , 所以a与b反向,θ=π,故x<85 且x≠-52. 答案 (1)±3 (2)10 (3)x<85 且x≠-52 【刷综合题】 12.解析 设BM→=e1,CN→=e2, 则AM→=AC→+CM→=-3e2-e1, BN→=BC→+CN→=2e1+e2. ∵A,P,M 和B,P,N 分别共线, ∴存在实数λ,μ使得AP →=λAM→ =-λe1-3λe2,BP →=μBN →=2μe1+μe2. 故BA→=BP→+PA→=BP→-AP→=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 而BA→=BC→+CA→=2e1+3e2,由平面向量基本定理, 得 λ+2μ=2, 3λ+μ=3, 解得 λ=45 , μ= 3 5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴AP→=45AM →,BP→=35BN →, ∴AP ︰PM=4,BP ︰PN=32. 13.解 (1)设OM→=(x,y),∵点 M 在直线OP 上,所以向 量OM→与OP→共线,又OP→=(2,1),∴x×1-y×2=0,即 x=2y. ∴OM→=(2y,y),又MA→=OA→-OM→,OA→=(1,7), ∴MA→=(1-2y,7-y). 同理MB→=OB→-OM→=(5-2y,1-y). 于是MA→·MB→=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)= 5y2-20y+12. 由二次函数的知识,可知当y= 202×5=2 时,MA→·MB→ 有最小值-8,此时OM→=(4,2). (2)当OM→=(4,2),即y=2时,有MA→=(-3,5),MB→= (1,-1), |MA→|= 34,|MB→|= 2,MA→·MB→=(-3)×1+5× (-1)=-8. cos∠AMB= MA →·MB→ |MA→||MB→| = -8 34× 2 =-4 1717 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·85· |假日必刷题·数学|