必刷题一 平面向量的概念-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

参考答案 第一部分 收官之作·完胜上一学期 必刷题一 平面向量的概念 【刷基础题】 1.A 两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不 一定相同,终点也不一定相同;C选项,当b=0时,a与c 可能不共线;两个单位向量平行也可能反向,则不相等, 故B,C,D都错误,A正确.故选A. 2.D 不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故A、B 不正确;向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的 长度,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量, 可以比较大小,故D正确. 3.D 如图,易知 A、B、C均错误;由题意 得点 O 到△ABC 的 三 个 顶 点 的 距 离 相等, ∴|OA→|=|OB→|=|CO→|,故选D. 4.2 5.BD 如图,因为D,E 分别是AB,AC 的 中点, 所以由 三 角 形 的 中 位 线 定 理 得 DE∥ BC,所以DE→与CB→共线.AD→与BD→方向相 反,它们也共线. 6.解析 (1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中, ∵AB→=ED→,AB→=DC→,∴ED→=DC→. (2)由(1)知,ED→=DC→, ∴E、D、C三点共线,|EC→|=|ED→|+|DC→|=2|AB→|=6. 答案 (1)AB→、DC→ (2)6 【刷综合题】 7.分析 先确定好向量的起点 和终点,用 有 向 线 段 表 示 出 所求向量. 解 (1)作 出 向 量AB→,BC→, CD→,如图所示: (2)由题意得,△BCD 是直角 三角形,其中∠BDC=90°,BC=10 2米,CD=10米,所 以BD=10米.△ABD 是 直 角 三 角 形,其 中∠ABD= 90°,AB=5米,BD=10米,所以AD= 52+102=5 5 (米),所以|AD→|=5 5. [归纳提升] 向量的两种表示方法及应用 (1)几何 表 示 法:先 确 定 向 量 的 起 点,再 确 定 向 量 的 方 向,最后根据向量的长度确定向量的终点.便于用几何 方法研 究 向 量 运 算,为 用 向 量 处 理 几 何 问 题 打 下 了 基础. (2)字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c表示但需 是黑体,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向 量的有向线 段 的 起 点 与 终 点 表 示 向 量,如AB→,CD→,EF→ 等.便于向量的运算. 8.解 (1)因为E,F 分别是AC,AB 的中点, 所以EF􀰿12BC. 所以与EF→共线的向量有: FE→,BD→,DB→,DC→,CD→,BC→,CB→. (2)由(1)知EF􀰿12BC ,又 D 是BC 的中点,故与EF→模 相等的向量有:FE→,BD→,DB→,DC→,CD→. (3)与EF→相等的向量有:DB→与CD→. 【刷高考题】 C a⊥b⇔x2+x+2x=0⇔x=0或x=-3,所以x=- 3是a⊥b的充分条件,x=0是a⊥b的充分条件,故 A 错误,C正确.a∥b⇔2x+2=x2⇔x2-2x-2=0⇔x=1 ± 3,故B,D错误. 必刷题二 平面向量的运算 【刷基础题】 1.C BC→+DC→+BA→=BC→+(DC→+BA→)=BC→+0=BC→. 2.A 由题意得,BE→=DF→,CF→=FA→,所以AD→+BE→+CF→= AD→+DF→+FA→=0. 3.D 如图所示,由题意可得AD→=AB→ +BD→=AB→+23BC →=AB→+23(AC → -AB→)=13AB →+23AC →. 4.解析 (1)3(6a+b)-9 a+13b =18a+3b-9a-3b =9a. (2)将原等式变形为 2y-23a- 1 2c- 1 2b+ 3 2y+b=0 , 即7 2y- 2 3a- 1 2c+ 1 2b=0 ,7 2y= 2 3a- 1 2b+ 1 2c , ∴y=27 2 3a- 1 2b+ 1 2c =421a-17b+17c. 答案 (1)9a (2)421a- 1 7b+ 1 7c 5.B ∵a·b=|a||b|cos135°=3×4× - 22 =-6 2. 6.B 设a与b的夹角为θ, 则cosθ= a ·b |a|·|b|= -60 10×12=- 1 2 , 又0°≤θ≤180°,∴θ=120°. 7.D 由PA→·PB→=PB→·PC→得PB→·(PA→-PC→)=0,即PB→ ·CA→=0,所以PB⊥CA. 同理PA⊥BC,PC⊥AB,所以P 为△ABC的垂心. 8.ACD 由|a+b|=|a-b|可 得a·b=0,∴a⊥b,B 正确. 【刷综合题】 9.解 ∵DE∥BC,AD→=23AB →=23a, ∴AE→=23AC →=23b, ∵△ADE∽△ABC,∴DE→=23BC →=23(b-a). ∵△ADN∽△ABM,且AD→=23AB →,∴AN→=23AM →. 又∵AM→=AB→+BM→=a+12BC →=a+12(b-a)= a+b 2 , ∴AN→=13(a+b). 10.解 (1)∵BD→=BC→+CD→=-2a+8b+3(a-b)= a+5b, AB→=a+5b,∴AB→=BD→,∴AB→∥BD→, 又∵AB→、BD→有公共点B,所以A,B,D 三点共线. (2)∵CA→=CB→+BA→=-BC→-AB→ =2a-8b-a-5b=a-13b, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·75· |参考答案| 必刷题一 平面向量的概念 混淆向量的有关概念 1.向量是一个既有大小又有方向的量,学习时 可以结合物理中的矢量来学习,同时对比数 量来感受要素的差异. 2.向量可以用有向线段来表示,因而必然具备 有向线段的三要素:起点、方向、长度.学习向 量的有关概念时注意类比有向线段,通过对 特殊向量的认识,逐步把握向量的特征. 3.相等向量与共线向量之间有一些特殊关系, 要善于对比数量特征加深认识. 【例1】 下列说法正确的是 .(填序号) ①若|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相 同或相反; ②若|a|=|b|,且a 与b 的方向相同,则a =b; ③由于0的方向不确定,因此0不能与任意 向量平行; ④若向量a与向量b平行,则向量a与b的方 向相同或相反. 【解析】 ①不正确,由|a|=|b|只能判断两 向量长度相等,不能确定它们方向的关系.② 正确,因为|a|=|b|,且a与b 同向,由两向量 相等的条件,可得a=b.③不正确,依据规定: 0与任一向量平行.④不正确,因为向量a与 向量b 若有一个是零向量,则其方向不定. 【答案】 ② 【例2】 如图,四边形ABCD 为边长为3的正 方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中 选取两个交点作为向量的起点和终点,则与 AC → 平行且长度为2 2的向量有哪些? (在图 中标出相关字母,写出这些向量) 【解】 如 图 所 示,满 足 与AC → 平 行 且 长 度 为 2 2的向量有AF →,FA →,EC →,CE →,GH →,HG →,IJ →, JI →,共8个. ◉高分秘籍 对向量的有关概念的理解错误,将向量的模与 绝对值混淆. ◉速记口诀 明确向量及其相关概念的联系与区别: (1)区分向量与数量:向量既强调大小,又强调 方向,而数量只与大小有关. (2)零向量和单位向量都是通过模的大小来确 定的.零向量的方向是任意的. (3)平行向量也叫共线向量,当两共线向量的方 向相同且模相等时,两向量为相等向量. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·1· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| 知识点1 向量的有关概念 1.下列说法正确的是 ( ) A.向量AB → 与向量BA → 的长度相等 B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们 的终点相同 C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量 相等 2.下列说法中正确的是 ( ) A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的 向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 知识点2 向量的几何表示 3.设O是等边三角形ABC 的外心,则向量OA →, OB →,CO → 是 ( ) A.相同起点的向量 B.平行向量 C.相等向量 D.模相等的向量 4.如图所示,已知正方形ABCD 的边长为2,O 为其中心,则|OA → |= . 知识点3 共线向量与相等向量 5.(多选题)在△ABC中,AB=AC,D,E分别是 AB,AC的中点,则 ( ) A.AB → 与AC → 共线 B.DE → 与CB → 共线 C.AD → 与AE → 共线 D.AD → 与BD → 共线 6.如图所示,四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形. (1)与向量ED → 相等的向量为 ; (2)若|AB → |=3,则向量EC → 的模等于 . 7.某人从A 点出发向东走了5米到达B 点,然 后改变方向按东北方向走了10 2米到达C 点,到达C点后又改变方向向西走了10米到 达D 点. (1)作出向量AB →,BC →,CD → . (2)求AD → 的模. 8.如图所示,△ABC 的三边均 不相等,E,F,D 分别是AC, AB,BC的中点. (1)写出与EF → 共线的向量; (2)写出与EF → 的模大小相等 的向量; (3)写出与EF → 相等的向量. (2024·全国甲卷(理))设向量a=(x+1,x), b=(x,2),则 ( ) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+ 3是a∥b的充分条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·2· |假日必刷题·数学|