26.1《锐角三角函数》 第2课时 正弦和余弦 课件 -2024-2025学年冀教版九年级数学上册

26.1锐角三角函数 —— 正弦和余弦 1. 理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变). (重点) 2. 根据正弦概念进行简单计算. (重点、难点) 学习目标 根据已知条件，你能用 塔身中心线与垂直中心 线所成的角度来描述比 萨斜塔的倾斜程度吗？ AB=54.5m BC=5.2m 情境导入 A B C θ 美国人体工程研究学人员调查发现，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°时，人脚的感觉最舒适。假设某成年人脚前掌到脚后跟长为15cm，请问高跟鞋鞋跟为多少厘米时脚的感觉最舒适？ 设疑激趣 11° A B C 15cm ？ 直角三角形中的边与角有怎样的关系？ 11° 15cm 画一个直角三角形，其中一个锐角为65º ,与同桌和邻近桌的同学比较一下，所画三角形有什么相同点，又有什么不同点呢？ 形状相同，大小不同，所做三角形是相似三角形。 对应边成比例 已知：任意两个直角三角形△DEF和△D'E'F'，∠D =∠D ' =65º， ∠E=∠E'= 90º ∵ ∠E =∠E ' = 90º， ∠D =∠D ' =65º， ∴ △DEF ∽ △D'E'F ' ． ∴ 证明： 即 D E F D' E' F' 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦，记作: 即: 1【限制】直角三角形 2【位置】对边比斜边 【例1】如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5. （1）求sinA的值； 解：（1）∠A的对边BC=3，斜边AB=5. 于是sinA=𝐁𝐂/𝐀𝐁=𝟑/𝟓. （2）求sinB的值． （2）∠B的对边AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2-BC2 = 52-32 = 16. 于是 AC = 4. 因此sinB=𝟒/𝟓. 如图， 在平面直角坐标系内有一点P（3，4）， 连接OP， 求OP与x轴正方向所夹锐角α 的正弦值. 解： 平面直角坐标系内点P的坐标为（3，4），过点P作PA⊥x轴于点A ，由勾股定理得 OP=5, 则OA=3, 角α的对边PA是直角边，边长为4，而斜边长OP为5 ， ∴ sin α =PA/OP=𝟑/𝟓. 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. α  【例2】 A ┐ 1.sina 是在直角三角形中定义的，∠a是锐角. 2.sina不是sin与a的乘积，而是一个整体，表示∠a的正弦。 3.sina是线段的一个比值，无单位，注意比的顺序. 4.sina 的大小只与∠a的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 问题引入 A B C 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 余弦 合作探究 如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中 ∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？ 为什么？ A B C D E F 我们来试着证明前面的问题： ∵ ∠A =∠D，∠C =∠F = 90°， ∴ ∠B =∠E． 从而 sinB = sinE， 因此 A B C D E F 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如右图所示，在直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 归纳： A B C 斜边 邻边 ∠A 的邻边 斜边 cosA = 1．在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个________，与直角三角形的_______无关． 2．如图，在直角三角形中，锐角α的_______与_______的比叫作角α的_______，记作sin α，即sin α＝ . 常数 大小 对边 斜边 正弦 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则𝐀𝐂/𝐀𝐁表示( ) A．sin A B．sin B C．sin C D．以上都不对 课堂练习 B 4. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10. （1）求sinA的值； 答： sinA =𝟔/𝟏𝟎=𝟑/𝟓 （2）求sinB的值． 答： sinB =𝟖/𝟏𝟎=𝟒/𝟓. 巩固双基 根据下图，求sinA和sinB的值． A B A B C 5 13 3 C 变式1：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，AB=10，求BC边长 变式2：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，BC=8，求AB边长 4 1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值(　　) A、扩大2倍 B、缩小2倍 C、扩大4倍 D、不变 2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=10，AC＝8，则sinA的值为(　　) A、 B、 C、 D、 牛刀小试 D B 3、如图，在Rt∆ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA= ,求BC的长度. 解：在Rt∆ABC中 ∵∠C=90° ∴sinA= = ∵AB=10 ∴BC=4 牛刀小试 4、已知在∆ABC中，AC=4，BC=3,AB=5,求sinA的值. 解：∵AC=4,BC=3,AB=5, ∴ 即∆ABC为直角三角形，∠C=90° ∴sinA= = 正弦一定要在直角三角形中才能使用. 牛刀小试 5、如图，在∆ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB. （1）sinB可以用哪两条线段的比表示出来？ （2）若AC=5，CD=3，求sinB的值 $$