26.1 锐角三角函数（9大题型提分练）数学冀教版九年级上册

第二十六章 解直角三角形 26.1 锐角三角函数（9大题型提分练） 知识点1：正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． a c A B C b 知识点2：正弦与余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 题型一 正弦的概念辨析 1．（2024九年级上·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 2．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝ ． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知（为锐角），满足方程，则 ． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 题型二 求角的正弦值 1．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在中，，，，则下列三角函数值不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，中，，，，则 ． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）在的网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点都在相应格点上，则的值为 ． 5．（2024·山东济南·三模）计算：． 6．（23-24九年级·上海·假期作业）直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，求的值．    题型三 已知正弦值求边长 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北承德·期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90，AD⊥BC于点D，若BD=2，sinC=，则线段 AB 的长为（  ） A．10 B．4 C．4 D．2 3．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，，，则的长等于 ． 4．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则 ． 5．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 6．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，． (1)求； (2)求． 题型四 求角的余弦值 1．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州·模拟预测）在中，是斜边，，，则 ． 4．（22-23九年级上·湖南邵阳·期末）如图，小正方形的边长均为1，点,,都在格点上，那么的值是 ． 5．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，分别求和的正弦､余弦．    6．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，，求的值． 题型五 余弦的概念辨析 1．（23-24九年级上·河北邢台·期中）把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（    ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍 2．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）当时，．在中，是斜边上的高，那么与的值相等的锐角三角函数是 ． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 5．（23-24九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，于，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 题型六 已和余弦求边长 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在直角坐标平面内，点与原点的距离，线段与轴正半轴的夹角为，且，则点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，cosA＝，则sinA＝ ． 4．（2024九年级·全国·竞赛）在中，，如果，，则 ． 5．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．    6．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，．    (1)求的长； (2)求的值． 题型七 求角的正切值 1．（2024·山西运城·三模）如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（2024·河北邢台·三模）如图，在菱形中，对角线，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，，，则 ， ． 4．（2023·河北邯郸·模拟预测）如图，在矩形中，，点E，F均在边上，且，则的值为 ．    5．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，，，求，的值．    6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图， 在中， 于D， 若 求 题型八 正切的概念辨析 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 2．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽淮南·模拟预测）坡比是1：，坡角为α，则∠α＝ ． 4．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为 ． 5．（2023·浙江温州·三模）如图，在的方格纸中，线段的端点均是格点，请按要求画图．    (1)在图1中，找一个格点，使得为直角三角形，且． (2)在图2中，找一个格点，使得为非直角三角形，且． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 题型九 已知正切值求边长 1．（22-23九年级上·山东烟台·期中）已知中，，，，则等于（　　） A．6 B． C．10 D．8 2．（23-24九年级上·河北衡水·期中）图1是一种携带方便的折叠凳子，图2是它的侧面图，已知凳腿分米，腿与水平地面的夹角为时人坐着最舒服，则此时凳面离地面的高度为（   ）    A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 3．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）已知中，，则 ． 4．（2024·广西梧州·一模）如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取A、B两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为、，A、B两点的距离是a，过C点作交AB的延长线于点D，则的高度 ．（用含有、、a的式子表示） 5．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=，求： (1)CD的长 (2)cosB的值 6．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． (1)如果点Q、P，分别从B、A同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ (2)在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由． (3)若运动时间为t秒，当t为何值时，∠PQB＝30°． 1．（23-24九年级上·河北张家口·开学考试）在中，，，，那么下列各式中，正确的是(   ) A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东聊城·期中）在中，，，，那么的正弦值是(    ) A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点都在小正方形的顶点上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 4．（23-24九年级上·河北唐山·期中）将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，则的值等于（    ） A．2 B． C． D． 5．（23-24九年级上·河北承德·阶段练习）如图，是嘉琪用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中线段a与直尺垂直，线段b与数轴垂直，则点D表示的数是（    ） A． B． C．2 D． 6．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在中，，，，则的值为 ． 7．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，则 ． 8．（23-24九年级上·山东威海·期中）如图，直线过点，则 ． 9．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为 ． 10．（2024·河北唐山·二模）如图，中，，，，为直线上一动点，连接． （1） ． （2）线段的最小值是 11．（23-24九年级上·河北张家口·期末）计算： (1)． (2)． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）在中，，、、分别是、、的对边，且，，求和的值． 13．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图所示，在中，，，且，求：    (1)的值； (2)的周长及面积． 14．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，P是的边上的一点，已知点P的横坐标为6，且． (1)求点P的纵坐标； (2)的值为______． 15．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)请在图中画出向左平移5个单位长度后得到的； (2)以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在图中轴的右侧画出，并求出的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 解直角三角形 26.1 锐角三角函数（9大题型提分练） 知识点1：正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． a c A B C b 知识点2：正弦与余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 题型一 正弦的概念辨析 1．（2024九年级上·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 2．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出，即可判断D． 【详解】解：∵， ∴， 在中， 故A、B不符合题意； 在中，， 故C符合题意； ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝ ． 【答案】60° 【分析】利用正弦定义计算即可． 【详解】解：如图， ∵sinB＝， ∴∠B＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知（为锐角），满足方程，则 ． 【答案】 【分析】先用因式分解法解一元二次方程，再根据锐角三角函数的正弦值取值范围，筛选的值代入即可解题． 【详解】 （为锐角）， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，涉及正弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由． 【答案】见解析 【分析】根据正弦函数的定义，可得答案． 【详解】解 在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是随之确定，理由是： sinA＝，∠A确定，∠A对边与斜边的比值是不变的． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握相关的概念是解题的关键． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【答案】． 【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 【详解】解：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型二 求角的正弦值 1．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在中，，，，则下列三角函数值不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解答本题的关键，根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】， ， ，，，． 故选：C． 2．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正弦的定义，在三角形中，锐角的正弦值等于这个角的对边与斜边的比值，由此即可得出答案，熟练掌握正弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：在中，，则， 故选：B． 3．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据正弦的定义解答即可．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）在的网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点都在相应格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，作，垂足为D，结合网格利用勾股定理求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，垂足为D， 由图可知， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是找到直角三角形． 5．（2024·山东济南·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，算术平方根，绝对值，正弦．熟练掌握零指数幂，算术平方根，绝对值，正弦是解题的关键． 先分别计算零指数幂，算术平方根，绝对值，正弦，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 6．（23-24九年级·上海·假期作业）直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，求的值．    【答案】 【分析】由题意易得，由折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意，得，因为翻折，所以， 设，则， 在直角三角形中，， 即，解得， 所以，所以． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、勾股定理及三角函数，熟练掌握折叠的性质、勾股定理及三角函数是解题的关键． 题型三 已知正弦值求边长 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义即可直接求解，解题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，， ∴由勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选：． 2．（23-24九年级上·河北承德·期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90，AD⊥BC于点D，若BD=2，sinC=，则线段 AB 的长为（  ） A．10 B．4 C．4 D．2 【答案】D 【分析】依题意，由直角三角形的性质可得，∠C=∠BAD，，利用锐角三角函数中的正弦函数的定义即可． 【详解】解：由题知：△ABC为直角三角形， ∴ ∠C+∠ABC=90； 又AD⊥BC， ∴ ABD为直角三角形， ∴∠B+∠BAD=90； ∴ ∠C=∠BAD． 又，BD=2； ∴ ， ∴ ； 故选：D． 【点睛】本题考查锐角三角函数及直角三角形的性质，重点在熟练二者的结合和对定义的掌握． 3．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，，，则的长等于 ． 【答案】15 【分析】本题考查了正弦的定义，根据计算即可得出答案，熟练掌握正弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则 ． 【答案】10 【分析】根据锐角三角函数的意义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 5．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先根据正弦的定义求出，进而利用勾股定理求出，则，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得． 又∵， ∴， ∴． 6．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）直接利用正弦函数的定义求得的长，再根据勾股定理即可求解； （2）直接利用正切函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 【点睛】本题考查了三角函数在解直角三角形中的应用．熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 题型四 求角的余弦值 1．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是互余两角三角函数的关系，解题的关键是熟练的掌握互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数关系直接解决即可． 【详解】解：如图，在中，，若，    ∴， 故答案选：B． 2．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形定理和求一个锐角的余弦值，根据三角形定理求出，再求出即可 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 3．（2024·贵州·模拟预测）在中，是斜边，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，根据勾股定理求出，根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，是斜边，，， 由勾股定理得，， 则， 故答案为： 4．（22-23九年级上·湖南邵阳·期末）如图，小正方形的边长均为1，点,,都在格点上，那么的值是 ． 【答案】 【分析】过 作交 延长线于点，在中，由勾股定理得到的长，进而得到． 【详解】解：过 作交 延长线于点， ， ， 在中， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形和勾股定理，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． 5．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，分别求和的正弦､余弦．    【答案】； 【分析】本题考查求锐角三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】：如图，    ． 6．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，，求的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】 解：在中，，， 则，． 题型五 余弦的概念辨析 1．（23-24九年级上·河北邢台·期中）把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（    ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小4倍 D．扩大2倍 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变． 【详解】解：∵在中，各边的长度都扩大4倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余弦值保持不变． 故选B． 2．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）当时，．在中，是斜边上的高，那么与的值相等的锐角三角函数是 ． 【答案】，，， 【分析】根据题意作出相应图形，然后利用正弦和余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，，． 【点睛】题目主要考查正弦函数和余弦函数的定义，理解三角函数的基本定义是解题关键． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 【答案】3 【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴cosA＝＝＝． 故（1），（2），（4）正确． 故答案为：3． 【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 5．（23-24九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了三角函数的定义； （1）根据三角函数的定义进行证明即可； （2）根据（1）中的结论得出，即，然后代入求值即可． 解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，在一个中，，则，，． 【详解】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，于，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角函数的概念可知，，根据即可得结论； （2）由的余弦值和（1）的结论即可求得，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ， ； （2）解：，， ， ， ，， ， ， 的面积=． 【点睛】本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算，熟练掌握三角函数的概念是解题关键． 题型六 已和余弦求边长 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目的已知设AB为12k，AC为13k，然后利用勾股定理求出BC即可解答． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，cosA=， ∴设AB=12k，AC=13k， ∴BC==5k， ∴sinA=， 故选：A． 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，根据题目的已知设AB为12k，AC为13k，然后利用勾股定理求出BC是解题的关键． 2．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在直角坐标平面内，点与原点的距离，线段与轴正半轴的夹角为，且，则点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作轴于点B，如图，先根据余弦的定义求出，再利用勾股定理求出，进而得解. 【详解】解：作轴于点B，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是； 故选：D.    【点睛】本题考查了余弦的定义和勾股定理，熟知余弦的定义是解题的关键. 3．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，cosA＝，则sinA＝ ． 【答案】 【分析】先画出图形，再根据余弦三角函数的定义可得，设，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后根据正弦三角函数的定义即可得． 【详解】解：如图，， 设，则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正弦与余弦，熟记正弦与余弦三角函数的定义是解题关键． 4．（2024九年级·全国·竞赛）在中，，如果，，则 ． 【答案】16 【分析】通过，求出，进而得到，即可求解，本题考查了锐角三角函数，解题的关键是：熟练掌握锐角三角函数的定义与计算． 【详解】解：， 得：， 在中，， ，即：， ， 故答案为：16． 5．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．    【答案】． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质．由已知条件可知：，，在中，，由此可以求出，然后根据勾股定理求出，最后在中，利用余弦函数的定义即可求出． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， ， ， 在中，，即， ， 根据勾股定理得：， 在中，，即， ． 6．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了解直角三角形，根据，即可求出，再根据勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”即可求解； （2）本题考查了解直角三角形，根据，即可解答． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴根据勾股定理可得， （2）解：在中，， ∴． 题型七 求角的正切值 1．（2024·山西运城·三模）如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查网格中的三角函数，过点作，利用正切的定义，求解即可． 【详解】解：过点作，如图， 则：，， ∴； 故选A． 2．（2024·河北邢台·三模）如图，在菱形中，对角线，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点是解题的关键． 由菱形得到，，，即可求解． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 故选：A． 3．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，，，则 ， ． 【答案】 / / 【分析】利用勾股定理和余弦、正切定义求解即可． 【详解】解：如图，∵，，，      ∴， ∴，． 故答案为：①，②． 【点睛】本题考查了勾股定理、余弦以及正切的定义，正确求解是解答的关键． 4．（2023·河北邯郸·模拟预测）如图，在矩形中，，点E，F均在边上，且，则的值为 ．    【答案】 【分析】根据矩形的性质得出，再由题意得出，，结合正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查矩形的性质及正切函数的定义，理解正切函数的定义是解题关键． 5．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，，，求，的值．    【答案】， 【分析】根据和的值可以求出斜边的值，再由勾股定理即可求得的值，知道了直角三角形的三边即可求得、的值．本题考查了解直角三角形以及勾股定理，解题的关键是熟记三角函数的定义，能够根据三边，求出各角的三角函数． 【详解】解：， 设．， ， ， ． 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图， 在中， 于D， 若 求 【答案】 【分析】证明，得到，结合已知条件和正切的定义，进行求解即可，此题考查了相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义，难度不大． 【详解】解：，于， ，， ． ， 即． ， 设为，则为． ． 在中，， ． 题型八 正切的概念辨析 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键． 【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化， 故选：． 2．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D，求出BD和AD后由正切函数的定义可以得到问题解答． 【详解】解：如图，过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D， , 则在RT△ABD中，AD=5，BD=6， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查正切函数的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题关键． 3．（2024·安徽淮南·模拟预测）坡比是1：，坡角为α，则∠α＝ ． 【答案】30° 【分析】根据坡比=坡角的正切值，进而可求出的值． 【详解】解：因为， 所以∠α＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】此题考查了坡比、坡角的关系，解题的关键是掌握坡角的正切值等于坡比． 4．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求出，设，求出，在根据余弦的概念求出即可． 【详解】解：， ， ， 设， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，解题的关键是求出的长度． 5．（2023·浙江温州·三模）如图，在的方格纸中，线段的端点均是格点，请按要求画图．    (1)在图1中，找一个格点，使得为直角三角形，且． (2)在图2中，找一个格点，使得为非直角三角形，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在图中画出和的直角三角形即可； （2）根据为非直角三角形，，在图中画出图形即可． 【详解】（1）解：如图1或图2或图3，   ； （2）解：如图4或图5，   ． 【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，正切的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】利用正切的定义：，进行运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ （2）∵ ∴ ∴， ∴ （3）∵ ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了正切的概念，正确判断对应角的对边和邻边是解决本题的关键． 题型九 已知正切值求边长 1．（22-23九年级上·山东烟台·期中）已知中，，，，则等于（　　） A．6 B． C．10 D．8 【答案】C 【分析】直接利用锐角三角三角函数关系得出BC的长，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示： ，， ， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角三角函数关系及勾股定理解三角形，正确画出图形是解题关键． 2．（23-24九年级上·河北衡水·期中）图1是一种携带方便的折叠凳子，图2是它的侧面图，已知凳腿分米，腿与水平地面的夹角为时人坐着最舒服，则此时凳面离地面的高度为（   ）    A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 【答案】A 【分析】过点A作于点E，解直角三角形即可． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，，分米， ∴，即（分米）， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握各个锐角三角函数的定义，以及解直角三角形的方法和步骤． 3．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）已知中，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解决本题的关键．设，则．勾股定理得到，根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】解：如图．    ∵，， ∴设，则． ∴． ∴． 故答案为：． 4．（2024·广西梧州·一模）如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取A、B两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为、，A、B两点的距离是a，过C点作交AB的延长线于点D，则的高度 ．（用含有、、a的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了正切的定义，根据正切得定义得出，再由，然后代入化简即可得出h即可． 【详解】解：根据题意有：， ∵， ∴， 移项得：， 整理得：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=，求： (1)CD的长 (2)cosB的值 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）直接在Rt△ADC中根据正切的定义求解即可； （2）先求出BD的长，再利用勾股定理求出AB的长，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∵在Rt△ADC中，， ∴； （2）解：由（1）得CD=4， ∴BD=BC-CD=8， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出CD的长是解题的关键． 6．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． (1)如果点Q、P，分别从B、A同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ (2)在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由． (3)若运动时间为t秒，当t为何值时，∠PQB＝30°． 【答案】(1)2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 (2)△PQB的面积不能等于8cm2，理由见解析 (3) 【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解． （2）通过判定得到的方程的根的判别式，即可判定能否达到8cm2； （3）根据正切的定义可知tan30°==，求出t即可． 【详解】（1）（1）设经过x秒以后△PBQ面积为6cm2，则                 ×（5﹣x）×2x=6， 整理得：x2﹣5x+6=0， 解得：x=2或x=3． 答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 ． （2）（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8cm2，则 ×（5﹣x）×2x=8， 整理得：x2﹣5x+8=0， △=25﹣32=﹣7＜0， 所以，此方程无解， 故△PQB的面积不能等于8cm2． （3）解：运动t秒后，PB=5-t，BQ=2t， 在Rt△BPQ中，∠PQB＝30°， ∴tan30°==， 解得t=． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解直角三角形，根据题意找到等量关系是解决问题的关键． 1．（23-24九年级上·河北张家口·开学考试）在中，，，，那么下列各式中，正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，解题的关键正确画出图形并根据三角函数的定义来判断． 根据勾股定理就可以求出斜边，根据三角函数的定义即可判断正确的选项． 【详解】如图，在中，由勾股定理得：． A、因，故此选项错误； B、因，故此选项错误； C、因，故此选项正确； D、因，故此选项错误； 故选：C． 2．（23-24九年级上·山东聊城·期中）在中，，，，那么的正弦值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正弦的定义；根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，    在中，，，， ∴, 故选：D． 3．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点都在小正方形的顶点上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，求解锐角的正切，如图，过作于，求解，利用等面积法求解，再利用勾股定理求解，，再利用正切的含义计算即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选A 4．（23-24九年级上·河北唐山·期中）将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，则的值等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求解锐角的正切，本题先利用平行线的性质把转化到已知直角三角形中，从而可得答案，熟练的利用平行线的性质进行等角的转换是解本题的关键． 【详解】解：如图，先标注顶点，∵， ∴， 在中，， ∴． 故选B． 5．（23-24九年级上·河北承德·阶段练习）如图，是嘉琪用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中线段a与直尺垂直，线段b与数轴垂直，则点D表示的数是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用等角的余弦值相等列等式即可作答． 【详解】如图， 由图可知：，，， ∵线段a与直尺垂直， ∴， ∵线段b与数轴垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D表示的数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了角的余弦值的知识，掌握余弦的定义是解答本题的关键． 6．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在中，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】勾股定理计算出，根据直角三角形中，角的正弦是角的对边比斜边，推出，得出的值即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正弦的定义、勾股定理，明白“直角三角形中，角的正弦是角的对边比斜边”是解题的关键． 7．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】过点作于，然后利用直角三角形的性质得，再利用三角函数的定义即可得出答案． 【详解】解：过点作于，如图所示， ， ， ， 设，则， 又， 在中，， ， ； 故答案为：． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质与三角函数，熟练掌握直角三角形的性质与三角函数是解答此题的关键． 8．（23-24九年级上·山东威海·期中）如图，直线过点，则 ． 【答案】/ 【分析】作轴，在中根据三角函数的定义求解即可； 【详解】解：如图，作轴； 在中， 故答案为： 【点睛】本题考查了锐角三角函数、点的坐标与坐标轴的关系；根据点的坐标构造直角三角形是解题关键． 9．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为 ． 【答案】 【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的对边与斜边之比即可． 【详解】解：如图所示，作AD⊥BC，垂足为D， AD=3，BD=4， ∴AB=5， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，根据题意得出sin∠ABC是解决问题的关键． 10．（2024·河北唐山·二模）如图，中，，，，为直线上一动点，连接． （1） ． （2）线段的最小值是 【答案】 / 【分析】本题考查解直角三角形、垂直线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据勾股定理可以求得的长，然后即可求得的值； （2）根据题意可知：当时，线段取得最小值，然后根据等面积法即可求得线段的最小值． 【详解】解：（1），，， ， ， 故答案为：； （2）当时，线段取得最小值， ，，，， ， 即， 解得， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·河北张家口·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简各项，再算乘法，最后从左往右依次进行计算即可得； （2）先化简各项，再算除法、乘法，最后从左往右依次进行计算即可得． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，解题的关键是正确化简各项，掌握运算顺序． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）在中，，、、分别是、、的对边，且，，求和的值． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了三角函数的比值关系，熟悉掌握正弦的比值关系是解题的关键． 根据正弦的比值关系列式比较即可． 【详解】解：根据勾股定理可得：在中，， 又∵，， ∴， ∴b＝4， ∴，． 13．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图所示，在中，，，且，求：    (1)的值； (2)的周长及面积． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据锐角三角形函数的定义求得，根据勾股定理求得，根据锐角三角形函数的定义即可求解； （2）结合（1）中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：的周长， ． 【点睛】本题考查了锐角三角形函数，勾股定理，三角形的面积公式等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，P是的边上的一点，已知点P的横坐标为6，且． (1)求点P的纵坐标； (2)的值为______． 【答案】(1)点P的纵坐标为8 (2) 【分析】 本题考查了已知正弦值求边长，求角的余弦值，掌握三角函数值转化为边的比是解题的关键． （1）由，可设，，利用勾股定理列方程，求出x的值即可． （2）由余弦的定义即可求解； 【详解】（1）如图，过点P作轴于点M， 则， ∵点P的横坐标为6， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得（负数舍去）， ， 点P的纵坐标为8． （2）由（1）知，， ， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)请在图中画出向左平移5个单位长度后得到的； (2)以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在图中轴的右侧画出，并求出的余弦值． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案． 【详解】（1）如图所示：，即为所求； （2）如图所示：，即为所求，由图形可知，，过点A作交的延长线于点D， 由，，，易得， 故，，， ∴， 即． 【点睛】此题考查了作图——位似变换，平移变换，以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握位似及平移的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$