专题02 与直线方程有关六种重难点题型（高效培优专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题02 与直线方程有关六种重难点题型 题型一：直线的一般式方程及辨析 题型二：利用直线的方程研究直线的条数求参 题型三：动直线与线段的相交关系求斜率范围 题型四：动直线与坐标轴围成三角形面积求参或范围 题型五：直线方程与实际问题的联系 题型六：与其他章节融合 题型一：直线的一般式方程及辨析 1.已知直线（A，B不同时为），则下列说法中错误的是（  ） A．当时，直线l总与x轴相交 B．当时，直线l经过坐标原点O C．当时，直线l是x轴所在直线 D．当时，直线l不可能与两坐标轴同时相交 【答案】D 【分析】根据直线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】依题意，直线（A，B不同时为）. A选项，当时，，直线方程可化为， 此时直线总与轴有交点，A选项正确. B选项，当时，直线方程为， 此时直线经过原点，B选项正确. C选项，当时，，直线方程可化为， 此时直线l是x轴所在直线，C选项正确. D选项，当时，如， 直线过点，即直线与两坐标轴同时相交，D选项错误. 故选：D. 2.直线（不同时为0），则下列选项正确的是（  ） A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交 C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线 【答案】D 【分析】结合直线的方程依次分析各选项即可得答案. 【解析】解：对于A选项，当，且时，直线斜率不存在，故错误； 对于B选项，当，且，时，直线只与轴相交；当，且，时，直线与轴重合，故错误； 对于C选项，当，且时，直线与两条坐标轴都相交，故错误； 对于D选项，当，且，且时，直线方程为，即轴所在直线，故正确. 故选：D 3.对于直线：（），现有下列说法： ①无论如何变化，直线l的倾斜角大小不变； ②无论如何变化，直线l一定不经过第三象限； ③无论如何变化，直线l必经过第一、二、三象限； ④当取不同数值时，可得到一组平行直线． 其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误． 【解析】直线：（），可化简为：，即，则直线的斜率为，倾斜角为，故①正确；直线在轴上的截距为，可得直线经过一二四象限，故②正确，③错误；当取不同数值时，可得到一组斜率为的平行直线，故④正确； 故选：C 4.（多选）已知，直线l的方程为，则直线l的倾斜角可能为（  ） A．0 B． C． D． 【答案】CD 【分析】对分类讨论结合斜率与倾斜角的关系即得. 【解析】当时，则直线的斜率为，所以直线的倾斜角可能为， 当时，则直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为， 当时，则直线的斜率为，所以直线的倾斜角范围为，不可能为0和. 故选：CD. 5.（多选）已知直线,则下列命题正确的是（  ） A．直线的倾斜角是 B．无论如何变化,直线不过原点 C．直线的斜率一定存在 D．当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 【答案】BD 【分析】根据直线方程考虑的值，当取时，显然选项A错误；将原点代入直线方程；可知选项B正确，当时选项C错误；求出直线和两坐标轴的交点，求出面积范围即可判断选项D正误. 【解析】由题知,直线， 若，则直线为， 倾斜角为,与选项A不符,故选项A错误， 将原点代入直线方程可得 不符，故选项B正确， 若,则直线为,斜率不存在,故选项C错误， 当直线和两坐标轴都相交时，交点为， 它和坐标轴围成的三角形的面积为， ， 故选项D正确， 故选:BD 题型二：利用直线的方程研究直线的条数求参 6．若方程表示一条直线，则实数满足（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线一般式满足的条件即得。 【解析】方程表示一条直线，，，不能同时成立，两式同时成立时解得 所以， 故选：C. 7.若表示两条直线，则实数的值为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】由题可得方程左边一定可以表示为两个一次式的乘积，设比较系数可求出. 【解析】若表示两条直线，则其左边一定可以表示为两个一次式的乘积，又因缺少项，则可设， 即， 则，解得. 故选：B. 题型三：直线与线段的相交关系求斜率范围 8．已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【解析】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 9.已知直线在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是 ． 【答案】或. 【分析】先求出直线l所过的定点，再根据条件求解. 【解析】由直线得：， 令，解得，所以直线l过点，由题知，在x轴上的截距取值范围是，如图： 所以端点处直线的斜率分别为，    所以或； 故答案为：或 10.已知点，若直线与的延长线（有方向）相交，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答案. 【解析】如下图所示，    由题知， 直线过点. 当时，直线化为，一定与相交，所以， 当时，，考虑直线的两个极限位置. ①经过，即直线，则； ②与直线平行，即直线，则， 因为直线与的延长线相交， 所以，解得，所以. 故答案为：. 题型四：直线与坐标轴围成三角形面积求参或范围 11．直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（  ） A．     B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】确定直线斜率存在，分别令、得直线的横纵截距，求三角形面积根据面积值解方程得m，即可得结论. 【解析】由题可知，直线的斜率存在且不为0， 故，即且， 令，得；令，得；即， 所以，所以， 则或，解得或， 故解得的实数m的解有4个. 故选：D. 12.直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（  ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】求出直线与坐标轴的交点，根据面积公式即可求解. 【解析】很显然，直线与轴和轴既不平行也不垂直， 当时，，当时，， 所以直线与轴和轴的交点分别为和， 因为直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3， 所以有，解得：或. 故选：D 13.过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】由题意设直线的方程为，然后求出直线与坐标轴的交点坐标，再由直线与两坐标轴相交所得三角形面积为1，列方程可求出的值，从而可得直线的条数 【解析】由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为， 令，解得；令，解得. ， 化为，即①，②， 由于方程①，方程②无解，可得两个方程共有2个不同的解. 因此直线共有2条. 故选：B. 14.在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（  ） A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条 B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条 C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条 D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条 【答案】A 【分析】由题设可得，，进而可得关于的函数，应用数形结合的方法判断在不同区间上对应直线l的条数. 【解析】由题意，直线与轴、轴交点分别为，， ∴，作出其图象如图所示， 由图知，当时，有两解；当时，有三解；当时，有四解. 故选：A 15.直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或；(2)或 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【解析】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 16.已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)；(2)(3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【解析】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 题型五：直线方程与实际问题的联系 17．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置. 【答案】 【分析】若选择线路，设，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用基本不等式可求得的值及的长；若选择线路，若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，利用斜率公式、两角差的正切公式以及基本不等式可求得结果. 【解析】若选择线路，设，其中，，， 则，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置； 若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，， 直线的方程为，设点，其中， ，， 所以， ， 令，则， 所以， ， 当且仅当时，即当，即当时，等号成立， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 此时，， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置. 故答案为：；. 题型五：与其他章节融合 18.设全集，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先弄清的含义，再求，最后再求补集即可得答案. 【解析】由，可得， 所以集合表示的是直线去掉点后的所有点的集合， 集合表示的是坐标系内不在直线上的点的集合， 所以. 故选：B. 19.直线的倾斜角为，且，则满足的关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线方程可得斜率，得到，结合同角三角函数关系可知，由此可整理得到结果. 【解析】由得：，， 又，，即，整理可得：. 故选：D. 20.若直线的倾斜角为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率的定义得，再利用二倍角公式及同角三角函数基本关系求解即可. 【解析】由斜率的定义有，所以， 故选：C. 21.若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（  ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】由点在直线上可知，结合均值不等式即可求解． 【解析】因为直线过点，所以， 由和都是正实数，所以，，． 所以， 当时取等号，即，时取等号， 所以的最小值是. 故选:B． 22.已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点坐标，由进行化简，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【解析】对于直线， 即，所以在直线上， 设，其中， 由两边平方得， 即， 整理得， 由于，所以 ，其中， 根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值， 且最大值为，则，解得. 故选：A 23.设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可 【解析】当时，方程变为，其倾斜角为， 当时，由直线方程可得斜率， 且， ，即， 又，， 由上知，倾斜角的范围是． 故选：C． 24.在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B． （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程； （3）当取最小值时，求直线的方程． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）设，，根据的中点在直线上求出，利用斜率公式求出直线的斜率，再由点斜式可求出直线的方程； （2）设直线的方程为，求出的坐标，利用求出面积关于的解析式，再根据基本不等式求最值可得和直线的方程； （3）利用（2）中的坐标求出、，得到关于的函数关系式，再换元利用基本不等式求出取最小值时的，从而可得直线的方程. 【解析】（1）设，，则的中点为， 因为的中点在直线上， 所以，即， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）设直线的方程为， 联立，得，所以， 联立，得，，所以， 所以， 因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，此时，直线的方程为，即. （3）由（2）知，， ， 所以 ， 令，则 ，当且仅当，即时，取得最大值，取得最小值，此时直线的方程为，即. 25.如图，已知，，，直线. (1)求直线l经过的定点坐标； (2)若直线l等分的面积，求直线l的方程； (3)若，点E､F分别在线段BC和AC上，上，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）将直线变形为，由恒等式可得方程组，从而求得直线所过的定点； （2）根据条件确定直线l所过的定点在直线AB上，设出直线l与AC交点D，由确定D点位置，从而求出D点坐标，代入直线l的方程可求解方程； （3）由可得有，设，可确定，由向量共线可得出F点坐标，表示出,利用二次函数的图象与性质即可求得其取值范围. 【解析】（1）解：直线可化为， 联立，解得，故直线l经过的定点坐标为； （2）解：因为，，，所以有， 由题可得直线AB方程为，故直线l经过的定点在直线AB上， 所以，设直线l与AC交于点D，所以有， 即， 所以，设， 所以，即， 所以，，所以， 将D点坐标代入直线l的方程，解得， 所以直线l的方程为：； （3）解：由（2）可知为等边三角形， 所以，， 而，，，所以有， 设，则，所以， 因为F在AC上，设， 所以，即，解得，， 所以， 所以，， 故， 因为，所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 与直线方程有关六种重难点题型 题型一：直线的一般式方程及辨析 题型二：利用直线的方程研究直线的条数求参 题型三：动直线与线段的相交关系求斜率范围 题型四：动直线与坐标轴围成三角形面积求参或范围 题型五：直线方程与实际问题的联系 题型六：与其他章节融合 题型一：直线的一般式方程及辨析 1.已知直线（A，B不同时为），则下列说法中错误的是（  ） A．当时，直线l总与x轴相交 B．当时，直线l经过坐标原点O C．当时，直线l是x轴所在直线 D．当时，直线l不可能与两坐标轴同时相交 2.直线（不同时为0），则下列选项正确的是（  ） A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交 C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线 3.对于直线：（），现有下列说法： ①无论如何变化，直线l的倾斜角大小不变； ②无论如何变化，直线l一定不经过第三象限； ③无论如何变化，直线l必经过第一、二、三象限； ④当取不同数值时，可得到一组平行直线． 其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 4.（多选）已知，直线l的方程为，则直线l的倾斜角可能为（  ） A．0 B． C． D． 5.（多选）已知直线,则下列命题正确的是（  ） A．直线的倾斜角是 B．无论如何变化,直线不过原点 C．直线的斜率一定存在 D．当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 题型二：利用直线的方程研究直线的条数求参 6．若方程表示一条直线，则实数满足（  ） A． B． C． D． 7.若表示两条直线，则实数的值为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型三：直线与线段的相交关系求斜率范围 8．已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（  ） A． B． C． D． 9.已知直线在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是 ． 10.已知点，若直线与的延长线（有方向）相交，则的取值范围为 ． 题型四：直线与坐标轴围成三角形面积求参或范围 11．直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（  ） A．     B．2 C．3 D．4 12.直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（  ） A．2 B． C．3 D． 13.过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 14.在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（  ） A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条 B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条 C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条 D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条 15.直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 16.已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 题型五：直线方程与实际问题的联系 17．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置. 题型五：与其他章节融合 18.设全集，，，则（  ） A． B． C． D． 19.直线的倾斜角为，且，则满足的关系为（  ） A． B． C． D． 20.若直线的倾斜角为，则（  ） A． B． C． D． 21.若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（  ） A． B． C． D．5 22.已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 23.设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（  ） A． B． C． D． 24.在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B． （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程； （3）当取最小值时，求直线的方程． 25.如图，已知，，，直线. (1)求直线l经过的定点坐标； (2)若直线l等分的面积，求直线l的方程； (3)若，点E､F分别在线段BC和AC上，上，求的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$