专题3 全等三角形常见几何模型2025-2026学年人教版数学八年级上册

专题3 全等三角形常见几何模型 【人教版2024】 【知识点1 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 【常见模型】 【典题练习】 【例1】如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据平行线的性质得出，根据等式的性质得出，根据证明，得出，然后根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】解： 理由：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【练1】如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点2 对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 【常见模型】 【例2】如图，在四边形中，点在对角线上，连结、．已知，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）先根据等角的补角相等可得，再根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证． 【详解】（1）∵，， ∴， 在和中，， ∴； （2）由（1）已证：， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等角的补角相等、三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 【练2】如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．由题意可求得，利用即可判定． 【详解】证明：， ， ． 在与中， ， ． 【知识点3 手拉手模型】 【模型解读】个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形. 【解题思路】加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等。 【例3】如图，，、相交于点，，． (1)求证：①；②． (2)若条件改为，则（1）中的①、②两个结论还成立吗？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论（1）成立，结论（2）不成立，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①由可得，证明，根据全等三角形的性质即可证明；②设、相交于点，由可得，结合，可得，最后结合对顶角的定义和三角形内角和定理，即可证明； （2）由可得，证明，根据全等三角形的性质即可证明结论（1）成立；设、相交于点，由可得，根据可得，最后结合对顶角的定义和三角形内角和定理，可得，可判断结论（2）不成立． 【详解】（1）证明：① ， ，即， 在和中， ， ， ； ②如图，设、相交于点， ， ， ， ， ， 在中，， ． （2）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ； 如图，设、相交于点， 由（1）知， ， ， ， ，， ， 在中， ， 故不能得到． 【练3】已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． (1)如图1，求证：； (2)若，则 ； (3)如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质等； （1）由可判定，即可得证； （2）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； （3）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； 掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明： ， ， ， 在和中 ， （）； （2）解： ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【知识点4 半角模型】 【模型解读】有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍 分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等三角形. 【解题思路】延长一边,构造全等三角形从而得到线段之间的数量关系 【例4】如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 【练4】（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 【答案】（1）．（2）．（3），理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的． （1）设，则，延长到点，使，连接，证明，即可解答； （2）延长到点，使，连接，证明，，即可解答； （3）在上截取，连接，同理得，，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 设，则， 如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）三条线段间的数量关系为：，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： 如图3，在上截取，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点5 一线三等角模型】 【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE. 【常见模型】 【例5】（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）；理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系。 （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【练5】如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当与全等时，求出相应的x与t的值． 【答案】(1)，，见解析 (2)3或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用证明即可，由全等三角形的性质可得，求出即可得解； （2）分两种情况：①若，则，，②若，则，，分别求解即可． 【详解】（1）解：，线段和线段的位置关系是，理由如下： ，， ， ∵当时，， ， ， 在和中， ， ． ． ， ， 又， ， ． （2）解：由题意可得：，， ∴， ∵ ∴分两种情况讨论： ①若，则，， 可得，， 解得，； ②若，则，， 可得，， 解得，． 综上，当与全等时，的值为3或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 全等三角形常见几何模型 【人教版2024】 【知识点1 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 【常见模型】 【典题练习】 【例1】如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 【练1】如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，求的长． 【知识点2 对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 【常见模型】 【例2】如图，在四边形中，点在对角线上，连结、．已知，． （1）求证：； （2）求证：． 【练2】如图，，，，求证：． 【知识点3 手拉手模型】 【模型解读】个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形. 【解题思路】加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等。 【例3】如图，，、相交于点，，． (1)求证：①；②． (2)若条件改为，则（1）中的①、②两个结论还成立吗？并说明理由． 【练3】已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． (1)如图1，求证：； (2)若，则 ； (3)如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 【知识点4 半角模型】 【模型解读】有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍 分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等三角形. 【解题思路】延长一边,构造全等三角形从而得到线段之间的数量关系 【例4】如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【练4】（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 【知识点5 一线三等角模型】 【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE. 【常见模型】 【例5】（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【练5】如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当与全等时，求出相应的x与t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$