第09讲 角的平分线 讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

第09讲 角的平分线 【人教版2024】 【知识点1 作已知角的平分线】 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【典题练习】 【例1】已知是的一个外角，． (1)尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； (2)求证：． 【练1】如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【知识点2 角的平分线的性质】 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论：PD=PE. 【典题练习】 【例2】如图，在四边形中，，连接，．若是边上一动点，则的长不可能是（　　） A． B．3 C． D．4 【练2.1】如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则 ． 【练2.2】已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【知识点3 角的平分线的判定】 内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 【典题练习】 【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，于点E，点F在AC上，BE＝FC，BD＝DF，求证：AD平分∠CAB． 【练3】如图，在四边形中，，点E为的中点，且平分．求证：是的平分线．    【能力闯关】 【基础关】 1．如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长，交于点D，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2.作的平分线的过程如下： ①在上分别截取，使； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点C； ③作射线，则就是的平分线． 用三角形全等的判定解释作图原理，下列最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 3.如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 4.已知，点P是边上一点，且到的距离相等，则线段一定是（  ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．所在直线是的中垂线 5.如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点．，点是上的动点，则的最小值为 ． 6.如图，已知为的平分线，，点P在上，于M，于N，求证：． 7.如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 【提升关】 8.如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 9.如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 10.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则 ． 11.如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ． 12.如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 13.如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 14.学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理． 【理解定理】 （1）如图1，已知平分，于，于，若，则_____； 【问题解决】 （2）如图2，点B，D，C分别是，和上的一点，且满足，．求证：平分； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，为的中点，E，F分别为，上一点，且 ．求和的面积和． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 角的平分线 【人教版2024】 【知识点1 作已知角的平分线】 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【典题练习】 【例1】已知是的一个外角，． (1)尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的外角定理，平行线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的作法和平行线的判定定理． （1）利用角平分线的作法进行操作即可； （2）利用等腰三角形的性质得出两底角相等，利用三角形的外角定理得出，利用角平分线的性质得出，即可判定出两直线平行． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴ ∴， ∴ ∴． 【练1】如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 【知识点2 角的平分线的性质】 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论：PD=PE. 【典题练习】 【例2】如图，在四边形中，，连接，．若是边上一动点，则的长不可能是（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点D作交于点H，根据角平分线的性质得出，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点D作交于点H，   ， ， 又，，，， ， 是的角平分线， 又 ， ， 又， ， 又∵点D是直线上一点， ∴当点P在上运动时，点P运动到与点H重合时最短，其长度为的长，即的长最小值为3， ， 的长不可能是， 故选：A． 【练2.1】如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了尺规作图-作已知角的平分线，角平分线的性质，根据作图步骤可判断平分，根据角平分线的性质可得出，结合已知即可求解． 【详解】解∶由作图知∶ 平分， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为∶9． 【练2.2】已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； （1）根据角平分线的性质定理即可作出判断； （2）过点P作于E，于F，如图，可得，根据补角的性质得出，证明，进而得到结论． 【详解】（1）解：是的平分线， ； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 如图，过点P作于E，于F， ， ∵是的平分线， ， ，， ， 在和中 ， ． 【知识点3 角的平分线的判定】 内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 【典题练习】 【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，于点E，点F在AC上，BE＝FC，BD＝DF，求证：AD平分∠CAB． 【答案】见解析 【分析】利用HL证明Rt△BDE≌Rt△FDC，得到DE=DC，即可得到AD平分∠CAB． 【详解】证明：∵， ∴∠BED=∠C＝90°， 在Rt△BDE和Rt△FDC中 ， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）， ∴DE=DC， ∵，DC⊥AC， ∴AD平分∠CAB． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是熟记全等三角形的判定定理． 【练3】如图，在四边形中，，点E为的中点，且平分．求证：是的平分线．    【答案】见解析 【分析】过点E作于点F，根据角平分线的性质，得到，根据中点，得到，进而得到，即可得证． 【详解】证明：如图，过点E作于点F，    ∴，平分， ∴． ∴点E是BC的中点， ∴， ∴． 又∵，， ∴是的平分线． 【点睛】本题考查角平分线的判定．熟练掌握到角两边相等的点在角的角平分线上，是解题的关键． 【能力闯关】 【基础关】 1．如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长，交于点D，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图---角平分线，直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余得到，再根据角平分线以及三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可得平分， ∴， ∴， 故选：B． 2.作的平分线的过程如下： ①在上分别截取，使； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点C； ③作射线，则就是的平分线． 用三角形全等的判定解释作图原理，下列最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据角平分线的作图可得三边相等，即可作答． 【详解】连接， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：A． 3.如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到平分，然后根据角平分线的定义求解． 【详解】， 平分， ． 故选：B． 4.已知，点P是边上一点，且到的距离相等，则线段一定是（  ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．所在直线是的中垂线 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质作答． 【详解】解：∵点P是边上一点，且到的距离相等，， ∴线段一定是的平分线，即线段一定是的角平分线． 故选：A． 5.如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点．，点是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，垂线段最短，由作图可得是的角平分线，由垂线段最短可知当时，取最小值，进而根据角平分线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， 当时，取最小值，如图， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 6.如图，已知为的平分线，，点P在上，于M，于N，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到是解题的关键．根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，推出为的角平分线，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【详解】证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线， ∵点P在上，， ∴． 7.如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【提升关】 8.如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 作，，，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算，即可得解． 【详解】解：作，，， 点是的三个内角平分线的交点， ， 点到边的距离是， 面积为， 即， ， ， 即的周长为． 故选：． 9.如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 【答案】/1厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：分别过点O作，连接， ∵点是与平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴， 设， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离等于． 故答案为：． 10.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H在第一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案． 【详解】解：根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数； ， 解得：， 故答案为：． 11.如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，过点G作于点M，于点N．利用角平分线的性质定理证明，利用三角形面积公式求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点G作于点M，于点N． 由作图可知平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12.如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ∴ ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵ ， ， 定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④． 故答案为：①②④． 13.如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则； （）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长； 【详解】（1）证明：如图所示，连接，， ∵是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在和中， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14.学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理． 【理解定理】 （1）如图1，已知平分，于，于，若，则_____； 【问题解决】 （2）如图2，点B，D，C分别是，和上的一点，且满足，．求证：平分； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，为的中点，E，F分别为，上一点，且 ．求和的面积和． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理，即可得证； （2）过作于，过作于，证明，得到即可； （3）连接，过作于，于，进而证明，，可证，得到∶，，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：平分，于，于， ， ， ； 故答案为：1； （2）证明：过作于，过作于， ，， ， ，， ， ， 平分； （3）连接，过作于，于， ，为的中点， ，平分，， ，，平分， ， ，，， ， ， 和中， ， ， ， 由，可得：， ，即， ， ， 和的面积和 的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$