第08讲 三角形全等的判定（HL）2025-2026学年人教版数学八年级上册

第08讲 三角形全等的判定（HL） 【人教版2024】 【知识点1 作一个角等于已知角】 已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′ =∠AOB． 1.作法： (1) 以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点 C、D； (2) 画一条射线 O′A′，以点 O′ 为圆心，OC 长为半径画弧，交 O′A′ 于点 C′； (3) 以点 C′ 为圆心，CD 长为半径画弧，与第 (2) 步中所画的弧交于点 D′； (4) 过点 D′ 画射线 O′B′，则∠A′O′B′ =∠AOB． 2.依据：SSS 【典题练习】 【例1】已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定等知识点，掌握尺规作图作一个角等于已知角的作法成为解题的关键．根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是． 故选：B． 【练1】用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，请结合三角形全等的判定定理进行证明. 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，尺规作图（作一个角等于已知角），解题的关键是根据“用直尺和圆规画一个角等于已知角”的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等．据此可得结论． 【详解】解：如图，设已知角为，以顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为，两点；画一条射线，端点为；以为圆心，长为半径画弧，交射线于点；以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；作射线， 则即为所作． 由以上过程知：，， 在和中， ， ∴， ∴． 【知识点2 直角三角形全等的判定（斜边、直角边）】 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【典题练习】 【例1】已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可． （1）根据三角形内角和为，，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，根据全等三角形的判定，则，则，最后根据是三角形的外角和，即可； （2）由（1）得，根据全等三角形的判定，即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵． （2）由（1）得，， 在和中， ， ∴． 【练2】如图，于点E，．    (1)求证∶； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用证明与全等即可得到； （2）由（1）得，进而由可得，从而得出． 【详解】（1）∵ ∴ 在与中 ∴ （） ∴ （2） 理由如下：由（1）可知， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，选择恰当的判定条件证明三角形全等是解题的关键． 【能力闯关】 1.下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 2.如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，熟记定理是解此题的关键． 已知公共边为斜边，再添加一组直角边相等，即可求解． 【详解】补充， 在和中， ， ∴， 补充， 在和中， ， ∴． 故答案为：或． 3.如图，，是上的一点，且，． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】此题考查直角三角形的判定、直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，灵活运用全等三角形的判定解决问题． （1）利用等角对等边，推出，再根据即可证明; （2）由（1）得，从而，进而得从而即可得解。 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． （2）解：由（）得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 4.如图，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）先证明，再根据，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵于点于点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ． 5.如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由得，证明，即可证明； （2）证明，得到即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 三角形全等的判定（HL） 【人教版2024】 【知识点1 作一个角等于已知角】 已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′ =∠AOB． 1.作法： (1) 以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点 C、D； (2) 画一条射线 O′A′，以点 O′ 为圆心，OC 长为半径画弧，交 O′A′ 于点 C′； (3) 以点 C′ 为圆心，CD 长为半径画弧，与第 (2) 步中所画的弧交于点 D′； (4) 过点 D′ 画射线 O′B′，则∠A′O′B′ =∠AOB． 2.依据：SSS 【典题练习】 【例1】已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【练1】用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，请结合三角形全等的判定定理进行证明. 【知识点2 直角三角形全等的判定（斜边、直角边）】 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【典题练习】 【例1】已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【练2】如图，于点E，．    (1)求证∶； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【能力闯关】 1.下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 2.如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件 ． 3.如图，，是上的一点，且，． (1)求证：． (2)求的度数． 4.如图，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：． 5.如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $$