第06讲 三角形全等的判定（SSS、SAS）2025-2026学年人教版数学八年级上册

第06讲 三角形全等的判定（SSS、SAS） 【人教版2024】 【知识点1 判定两个三角形全等的基本事实（边边边）】 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【典题练习】 【例1】如图，四点共线，，，．求证：． 【练1】如图所示，，与交于点O．试说明：． 【知识点2 判定两个三角形全等的基本事实（边角边）】 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【典题练习】 【例2】如图，已知点、在线段上，，，，求证：． 【练2】如图，，，．求证：． 【能力闯关】 【基础关】 1.如图，在中，，，可直接利用“”判定（    ） A． B． C． D． 2.在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形的性质，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定和是全等三角形的依据是（    ） A． B． C． D． 3.如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 4.如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为 ． 5.如图，，，的延长线与相交于点F，．求证：．    6.如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．    【提升关】 7.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8.如图，在中，，M，N，P分别是边上的点，且，，，则的度数为 °．    9.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(﹣2，0)，C(2，0)，作DOC，使DOC与AOB全等，则点D的坐标可以为 ． 10.如图，AD＝CB，E，F是AC上两个动点，且有DE＝BF．    (1)若点E，F运动至如图1所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若点E，F运动至如图2所示的位置，仍有AF＝CE，则△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ 11.综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 三角形全等的判定（SSS、SAS） 【人教版2024】 【知识点1 判定两个三角形全等的基本事实（边边边）】 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【典题练习】 【例1】如图，四点共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形判定即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 【练1】如图所示，，与交于点O．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质．连接，利用证明，即可求证． 【详解】解：连接．如图． 在和中． ， ∴ ∴．（全等三角形对应角相等）． 【知识点2 判定两个三角形全等的基本事实（边角边）】 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【典题练习】 【例2】如图，已知点、在线段上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，先证明，再由平行线的性质得到，则可利用证明，则． 【详解】证明：， ∴ ， ， ， 在和中， ， ， ． 【练2】如图，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．根据可证，利用可证，根据全等三角形对应角相等可证结论成立． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 【能力闯关】 【基础关】 1.如图，在中，，，可直接利用“”判定（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定定理有，，，．根据已知条件和全等三角形的判定定理结合图形得出选项即可． 【详解】解：根据，，可以推出，理由是， 其余是错误的，不能直接用定理推出，和不全等， 故选：C． 2.在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形的性质，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定和是全等三角形的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件是解题的关键． 由题意可证，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， 故选：B． 3.如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（或等） 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理；要运用“”来证明三角全等，根据条件，添加的条件需要使得三条边对应相等即可． 【详解】解：，， 要运用“”来证明， 可以添加的条件需要使得即可， 故添加的条件是：， 故答案为：． 4.如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为 ． 【答案】7 【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周长． 【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD＝∠CAD 在△ADE和△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADC（SAS）， ∴ED＝CD， ∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5， ∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是证明△ADE≌△ADC． 5.如图，，，的延长线与相交于点F，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据邻补角性质先得到，通过证明，即可作答. 【详解】证明：， 在和中          . 6.如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．    【答案】见解析 【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论． 【详解】证明：在 中，，， ． ． ． ， ． 在和中， ， ∴． ． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 【提升关】 7.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．先证明，再由全等三角形的性质可得对应角，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 在和中， ， ， ， 则． 故选：B． 8.如图，在中，，M，N，P分别是边上的点，且，，，则的度数为 °．    【答案】44 【分析】先根据证明，可得，再根据，，可得，进而得出答案． 【详解】在和中， ， ∴ ， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：44． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等，灵活选择全等三角形的判定定理是解题的关键． 9.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(﹣2，0)，C(2，0)，作DOC，使DOC与AOB全等，则点D的坐标可以为 ． 【答案】(0，4)或(0，-4)或(2，4)或(2，-4) 【分析】由于OB＝OC，∠AOB＝90°，OA＝4，若OD＝4，∠DOC＝90°时，可判断△DOC≌△AOB，从而得到此时D点坐标；若CD＝4，∠OCD＝90°时，可判断△DCO≌△AOB，从而得到此时D点坐标． 【详解】解： ∵B（−2，0），C（2，0）， ∴OB＝OC， ∵∠AOB＝90°，OA＝4， ∴当OD＝4，∠DOC＝90°时，△DOC≌△AOB（SAS），此时D点坐标为（0，4）或（0，−4）； 当CD＝4，∠OCD＝90°时，△DCO≌△AOB（SAS），此时D点坐标为（2，4）或（2，−4）． 故答案为（0，4）或（0，−4）或（2，4）或（2，−4）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．解题关键是掌握全等三角形的判定． 10.如图，AD＝CB，E，F是AC上两个动点，且有DE＝BF．    (1)若点E，F运动至如图1所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若点E，F运动至如图2所示的位置，仍有AF＝CE，则△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ 【答案】(1)见解析； (2)成立，理由见解析 【分析】（1）由AF=CE知AF+EF=CE+EF，即AE=CF，又AD=CB、DE=BF可证△ADE≌△CBF； （2）由AF=CE知AF-EF=CE-EF，即AE=CF，又AD=CB、DE=BF可证△ADE≌△CBF； 【详解】（1）证明：∵AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ∵， ∴△ADE≌△CBF（SSS）； （2）△ADE≌△CBF成立， ∵AF=CE， ∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ∵， ∴△ADE≌△CBF（SSS）； 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟悉三角形全等的判定定理是基础，在不同图形中由AF=CE得出AE=CF是关键． 11.综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$