13.1 勾股定理及其逆定理（课件）2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 1. 直角三角形三边的关系 第2课时 勾股定理的简单应用 1 学习目标 掌握勾股定理的简单应用. 2 新课学习 知识点 勾股定理的简单应用 例1 ［华师8上P123例2］如图，的斜边 比直 角边长，另一条直角边的长为.求 的长. 解：由已知， ， 根据勾股定理，可得 ， 解得 . 3 例2 ［华师8上P123例3］如图，为了求出位于湖两岸的点、 之间的距 离，一名观测者在点处设桩，使 恰好为直角三角形.通过测量， 得到的长为，的长为.问:从点穿过湖到点 有多远？ 解：在中,， ， 根据勾股定理,可得 答：从点穿过湖到点有 . 4 练1 如图，在中，是边 上的高， ，，．设，求 的值. 解：由题意可得， . 是边 上的高， ， , ， ， 即，解得 . 5 练2 ［华师8上P124练习T2］假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅 游.如图,按照探宝图,他们在点处登陆后先往东走，又往北走 ， 遇到障碍后又往西走，再折向北走到处往东一拐，仅走 就找到了宝藏，问:登陆点到宝藏埋藏点 的直线距离是多少千米？ 6 解：如图,过点作的垂线,垂足为点 ， 则为直角三角形,且 ， ， 所以 . 答：登陆点到宝藏埋藏点 的直线距离是 . 7 深挖拓展 例3 如图，露在水面的鱼线长为 ，钓鱼者把 鱼竿提起到 的位置，此时露在水面的鱼线 长为，若的长为，求鱼竿 的长． 解：设， ， ，即 ，解得 ， . 8 课堂小测 1.如图，工人师傅砌门时，常用木条 固定长方形 门框使其不变形．若， ， 则木条 ( ) B A. B. C. D. 9 2.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ，，现将直角边 沿直线 折叠，使点落在斜边上的点 处. (1)求 的长； 解： 在中，两直角边， ， ， 由折叠的性质可知， ， . 10 (2)求 的长． 设，则， ， 在中，由勾股定理,得 ， 即，解得， ． 11 3.如图，我方侦察员小王在距离东西向公路 处侦察，发现一辆敌方 汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距 ， 后，汽车与他相距 ，请你帮小王计算敌方汽车的速度. 12 解：由勾股定理,可以得到 ,即 ,所以 . 敌方汽车行驶了,那么它 行驶的距离 为 , ,即敌方汽车的速度为 . 13 $$第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 2. 直角三角形的判定 1 学习目 标 1.掌握直角三角形的判定条件，能利用勾股定理的逆定理解决 问题. 2.了解勾股数的概念. 2 新课学习 知识点1 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 例1-1 ［华师8上P125试一试］试作出三边长分别为如下数据的三角形,看 看它们是一些什么样的三角形: (1),, ; 解：如答图①,所作三角形是直角三角形. 3 (2),, ; 如答图②，所作三角形是钝角三角形. 4 (3),, . 如答图③,所作三角形是直角三角形. 5 例1-2 证明：如果三角形的三边长，，有关系 ,那么这个 三角形是直角三角形. 已知：如图，在中，,， ， . 求证： . 6 证明：如图,作,使 ,， , 则,即 . 在和 中， ,, , , . 7 归纳：如果三角形的三边长，， 有关系_____________,那么这个三角 形是直角三角形，且边 所对的角为直角. 8 练1-1 ［华师8上P126练习T1］设三角形的三边长分别等于下列各组数， 试判断各三角形是不是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角. (1)12,16,20； 解：,, ， ， 以12,16,20为边的三角形是直角三角形，边长20所对的角是直角. 9 (2),2， . ，, ， ， 以1.5，2， 为边的三角形是直角三角形，边长2.5所对的角是直角. 10 练1-2 ［华师8上P126练习T2］若一个三角形的三条边长，， 满足 ，则这个三角形是直角三角形吗？ 解：由,得 ， ，即 ， 这个三角形是直角三角形. 11 知识点2 勾股数 例2-1 下列各组数是勾股数的是( ) D A.7,8,9 B.,, C.，， D.6,8,10 例2-2 下列是勾股数的有__________(填序号). ,4,5;,12,13; ,40,41; ,14,15;,,; ,60,61. 12 归纳：能够成为直角三角形三条边长的三个________，称为勾股数. 正整数 练2 我们知道3，4，5是一组勾股数，那么，，是正整数 也是 一组勾股数吗？请说明理由.一般地，如果，， 是一组勾股数，且 ,那么，，是正整数 也是一组勾股数吗？请说明理由. 13 解：,，是正整数 是一组勾股数，理由如下： 是正整数，,, 都是正整数. ， ,,是正整数 是一组勾股数. ,,是正整数 是一组勾股数，理由如下： ,,是一组勾股数，且 是正整数， ,, 都是正整数. ， , ,,是正整数 是一组勾股数. 14 深挖拓展 例3 已知，，为的三边长，并且满足 ， 试判断 的形状. 解： , . 当时,化简得,此时 是直角三角形; 当时,,此时 是等腰三角形. 综上， 是直角三角形或等腰三角形. 15 课堂小测 1.下列各组数中，是勾股数的是( ) D A.，， B.1,1， C.3，4，7 D.7，24，25 16 2.若一个三角形的三边长分别为15，20，25,则其面积为______. 17 3.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中 和 都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图 所示.这个零件符合要求吗？ 解：，，， ， , , , ,为直角三角形，且 , ， 这个零件符合要求. 18 $$第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 1. 直角三角形三边的关系 第1课时 勾股定理 1 学习目标 掌握勾股定理,理解勾股定理的一般探究方法. 2 新课学习 左讲 知识点 探索直角三角形三边的关系 例 我们知道直角三角形的两个锐角互余,那么直角三角形三条边之间是 否也存在某种特殊关系呢? 3 【操作发现】 活动一: 若的直角边分别为,,斜边为,以 的三边为 边长向外作三个正方形,如图①②,请填表. ① ② 4 发现 图① 4 9 _ _, 即_ 图② 16 9 _ 由此,我们可以得出 的三边之间存在的关系是_. 13 25 5 【探索验证】 活动二: 制作4张如图③所示的直角三角形纸片,小明用这4张直角三角 形纸片拼成弦图④,试用两种不同的方法计算弦图④(大正方形)的面积, 你有什么发现? ③ ④ 6 解:方法;方法 . 发现:由,得 . ③ ④ 7 活动三: 小亮把这4张纸片拼成一个边长为 的正方形,如弦图⑤所示, 则,, 之间的关系为_. ⑤ 归纳: 勾股定理:直角三角形两直角边的_等于_. 平方和 斜边的平方 8 【计算应用】 活动四: 利用勾股定理求边长(面积) [华师8上P123例1]在中, ,, .求 的长. 解:根据勾股定理,得 , 所以 . 9 右练 练1-1 如图,在中, ,若 , 则 ( ) D A.4 B.8 C.9 D.16 10 练1-2 下列说法正确的是( ) D A.已知,,是直角三角形的三边长,则 B.在直角三角形中,两边长的平方和等于第三边长的平方 C.在中,若 ,则 D.在中,若 ,则 11 练1-3 补全下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度. 12 练1-4 图中阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积为_. 13 练1-5 [华师8上P123练习T1]在中,, , , . 解:根据勾股定理,得 , (1)若,,求 ; . (2)若,,求 . . 14 课堂小测 (第1题) 1.如图,在中, ,分别以边,, 向外作正方形,图形中的数据或字母表示该正方形的面积, 则字母 所代表的正方形的面积是( ) D A.18 B.39 C.194 D.144 15 2.在如图所示的直角三角形中,未知线段的长度_, _. (第2题) 16 3.如图所示,在中,于点,,, , 求, 的长. 17 解:, , 和 是直角三角形. 在中, , ,在 中, , . 18 4.如图,以,为直角边, 为斜边作两个全等的直 角三角形,把这两个直角三角形拼在一起,使 , , 三点在同一条直线上,请利用这个图形验证勾 股定理. 19 解:, . , , , 是等腰直角三角形,易得它的面积是 . 又 直角梯形的面积为,的面积为 , 的面积为 , ,整理,得 . 20 $$第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 3. 反证法 1 学习目标 了解反证法的证明步骤，能够运用反证法证明一些问题. 2 新课学习 知识点 反证法 例 ［华师8上P127改编］我们已经知道,当一个三角形的三边长, , 满足关系 时,这个三角形一定是直角三角形.如 果此时 ,那么这个三角形是否一定不是直角三角形呢?下面 我们来探究这个问题. 3 (1)作出以如下各组数为边长的三角形,算算较短的两边长的平方和是否等 于最长边的平方,再观察它们的图形,你发现了什么? ,,;,, ; ,, . 解：画图、计算略.发现：①满足 ，由勾股定理的逆定理可 知，组成的图形是直角三角形，与所作图形一致.②和③中 ， 所作图形都不是直角三角形. 4 (2)由(1)的发现我们可以猜想：当一个三角形的三边长,, 存 在关系 时，这个三角形______(填“是”或“不是”)直角三角形. 可以用如下方法证明这个结论： 不是 ①假设它____(填“是”或“不是”)直角三角形; ②根据勾股定理，一定有 ，与已知条件_____________矛盾； ③因此假设不成立，即它______(填“是”或“不是”)直角三角形. 是 不是 归纳：反证法的步骤： ①假设结论的反面成立；②逻辑推理得出矛盾；③肯定原结论正确. 5 练1-1 用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下 列假设正确的是( ) D A.三角形中最少有一个角是直角或钝角 B.三角形中没有一个角是直角或钝角 C.三角形中三个角全是直角或钝角 D.三角形中有两个或三个角是直角或钝角 6 练1-2 ［华师8上P129例6] 证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 . 已知： . 求证：中至少有一个内角小于或等于 . 证明：假设中没有一个内角小于或等于 , 即 ， ， . 于是 , 这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾. 所以中至少有一个内角小于或等于 . 7 课堂小测 1.用反证法证明“若,则 ”的第一步是___________. 假设 8 2.用反证法证明真命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假 设( ) D A.四边形中至多有一个角是钝角或直角 B.四边形中至少有两个角是钝角或直角 C.四边形中四个角都是钝角或直角 D.四边形中没有一个角是钝角或直角 9 3.证明：在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条相交，那 么和另一条也相交. 已知：如图，直线，， 在同一平面内，且 ，与相交于点 . 求证：与 相交. 证明：假设_____________，那么_______.因为已知 _______，所以过直线外一点，有两条直线与 平行， 与不相交 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 这与“__________________________________________________________” 矛盾，所以假设不成立，即求证的命题正确. 10 4.用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角. 解：已知：在中， . 求证：, 必定是锐角. 证明：在中，, . 假设不是锐角，则 是直角或钝角. (1)若是直角，即 ，则 , 故 ,这与三角形的内角和定理矛盾， 不是直角. 11 (2)若是钝角，即 ，则 , 故 ,这与三角形的内角和定理矛盾， 不是钝角. ，既不是直角也不是钝角，即，必定是锐角， 等腰三角 形的底角必定是锐角. 5.设，，是不全相等的任意实数，若, , ．求证：，， 至少有一个大于零． 13 证明：假设，， 都小于或等于零， 则 , 即 ， ， .若 ,则，这与题目,, 不全相 等矛盾；若 ,这与偶次方的非负性矛盾， 假设不成立，，， 至少有一个大于零． 14 $$