1.3 全等三角形的判定 第6课时课件2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第1章 三角形 1.3 全等三角形的判定 第6课时 直角三角形全等的判定(HL) 四种可能 三个角 两边及一角 两角及一边 三条边 两边夹一角 两边及其中一边的对角 两角夹一边 两角及其中一角的对边 复习导入 1.判定两个三角形全等的方法有哪些？ ASA （夹边） AAS （对边） SSS SAS（夹角） SSA（不成立） AAA（不成立） A B C D E F ∟ ∟ 2.如图,在Rt△ABC与Rt△DEF 中,∠B＝∠E＝90°, (1)若 ∠A＝∠D，AB＝DE， 则△ABC≌△DEF ( ) (2)若∠A＝∠D，BC＝EF， 则△ABC≌△DEF ( ) (3)若AB＝DE,BC＝EF,则△ABC≌△DEF ( ) 上面的每一小题,都只添加了两个条件,就使两个直角三角形全等,你还能添加哪两个不同的条件使这两个直角三角形全等? ASA 获取新知 AAS SAS 如图,给定直角三角形ABC,简记为“Rt△ABC”.用直尺和圆规作Rt△A'B'C',使得∠C'=90°,A'B'=AB,A'C'=AC.这两个三角形全等吗? 获取新知 4 补全下面Rt△A'B'C'的作法及两个三角形全等的说理过程: 作法 图　形 1.作∠PC'Q=　　　　°.  2.在射线C'P上截取A'C'=　　　　.  3.作A'B'=　　　　,交射线C'Q于点　　　　.  Rt△A'B'C'即为所求. 90 AC AB B' 如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C',∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'. 如图,将△ABC和△A'B'C'分别沿　　　　和　　　　翻折,得到△ABP和△A'B'Q.通过“　　　　”,可证△ABP≌△A'B'Q,由此可知∠A=∠　　　　.通过“　　　　”,可证Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.  BC B'C' SSS A' SAS 斜边、直角边定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 （简写为“HL”） A C B B' A' C' 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′ =90°，如果 那么Rt△ABC≌Rt△A′B′C′. 归纳总结 练习 下列各题要用“斜边、直角边(HL)”直接证明两个直角三角形全等. (1)如图①,已知:∠ACB=∠CBD=90°,则还需补 充的条件是　　　 　;  (2)如图②,已知:∠B=∠D=90°,则还需补充的条件是 　　 　　;  AB=CD BC=DC(或AB=AD) 例题讲解 例1. 已知：如图,AD、BC相交于点O，AD=BC,∠C=∠D=90°. 求证：AO=BO，CO=DO. 证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠C=∠D=90°， BC=AD, AB=BA, ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). ∴AC=BD. 在△AOC和△BOD中, ∠C=∠D， ∠AOC=∠BOD， AC=BD， ∴△AOC≌△BOD(AAS). ∴AO=BO,CO=DO. A F C E D B 例2. 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证：BF=DE. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °. ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， 即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD, AF=CE. ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴ BF=DE. 斜边直角边 内 容 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 前提条件 在直角三角形中 课堂小结 知识技能巩固练 1.(2024泰州期中)如图1-3-59,已知AB⊥BD,CD⊥BD,若直接用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等,则需要添加的条件是 (　　) A.∠CBD=∠ADB B.∠C=∠A C.AB=CD D.AD=CB D 图1-3-59 13 2.(2024苏州期末)已知:如图1-3-60,B,C,E三点在同一条直线上, AC=CD,∠B=∠E=90°,AB=CE,则下列结论不正确的是 (　　) A.∠A与∠D互为余角 B.∠A=∠2 C.△ABC≌△CED D.∠1=∠2 图1-3-60 D 14 3.如图1-3-61,AC⊥BC,AD⊥DB,要使Rt△ABC≌Rt△BAD,若根据“HL”判定,还需要添加条件:　　　 　　　　(填一个即可);若添加条件∠ABC=∠BAD,则可直接根据　　　　　判定全等.  图1-3-61 BC=AD(答案不唯一) AAS 15 4.(2024泰州月考)如图1-3-62所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD= AC,DE⊥AB交BC于点E,连接AE,若∠B=28°,则∠CAE=　　　　°.  图1-3-62 31 16 5.如图1-3-63,点B,F,C,E在同一条直线上,∠A=∠D=90°,AB=DE,BF=EC. 求证:Rt△ABC≌Rt△DEF. 图1-3-63 证明:∵BF=EC, ∴BF+FC=EC+FC,即BC=EF. ∵∠A=∠D=90°, ∴△ABC和△DEF都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△DEF中, ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). 17 6.如图1-3-64,在正方形网格中,点A,B,C,D均在格点(小正方形的顶点称为格点)上,则∠ACD+∠BDC=　　　　°.  能力提升综合练 90 图1-3-64 18 7.如图1-3-65,在Rt△ABC与Rt△DEF中,∠B=∠E=90°,AC=DF,AB= DE,∠A=50°,则∠DFE=　　　　°.  图1-3-65 40 19 8.如图1-3-66,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为斜边BC上一点,且BD=BA,过点D作BC的垂线交AC于点E.求证:点E在∠ABC的平分线上. 图1-3-66 证明:连接BE. ∵ED⊥BC,∠A=90°, ∴∠BDE=∠A=90°. 在Rt△ABE和Rt△DBE中, 20 图1-3-66 ∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL). ∴∠ABE=∠DBE. ∴点E在∠ABC的平分线上. 21 9.如图1-3-67,点C,D均在线段AB上,且AD=BC,分别过点C,D作FC⊥AB,ED⊥AB,连接AE,BF,连接EF交AB于点G.若AE=BF.求证: DG=CG. 图1-3-67 证明:∵FC⊥AB,ED⊥AB, ∴∠EDA=∠FCB=90°. 在Rt△ADE和Rt△BCF中, 22 ∴Rt△ADE≌Rt△BCF(HL). ∴DE=CF. 又∵∠EGD=∠FGC,∠EDG=∠FCG=90°, ∴△EDG≌△FCG(AAS). ∴DG=CG. 图1-3-67 10.　　　 　 如图1-3-68所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= 10 cm,BC=5 cm,线段PQ=AB,点P,Q分别在线段AC上和过点A且垂直于AC的射线AN上运动,则当点P运动到AC 上的什么位置时,△APQ才能和△ABC全等? 素养发展创新练 图1-3-68 解:根据直角三角形全等的判定方法“HL”可知: ①当点P运动到线段AC的中点时,PA=5 cm=BC. 24 在Rt△ABC和Rt△QPA中, ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL); ②当点P运动到与点C重合时,PA=AC. 在Rt△ABC和Rt△PQA中, ∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL). 综上所述,当点P运动到线段AC的中点或与点C重合时,△APQ才能和△ABC全等. 图1-3-68 $$