专题2.4 圆的方程（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题2.4 圆的方程 教学目标 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 教学重难点 1.重点 掌握圆的标准方程与一般方程. 2.难点 轨迹问题 知识点01 圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 【即学即练】 1．圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据直线交点得出圆心，再结合圆心及切线得出半径，最后应用圆的标准方程即可求解. 【详解】由题设可知圆为直线与的交点，其半径为3， 故圆标准方程为. 故答案为：. 2．已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是 ． 【答案】 【分析】设圆的方程为，由条件列方程求可解. 【详解】因圆心在直线上，设圆心坐标为， 圆标准方程为：， 则，解得：， 所以圆C的标准方程为． 故答案为： 知识点02 点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【即学即练】 1．点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可. 【详解】由圆心， 可得， 所以在外. 故选：A 2．点与圆（）的位置关系为（   ）. A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 【答案】A 【分析】求出点与圆心的距离，和半径比较即可判断位置关系. 【详解】圆（）的圆心为，半径为. 因为点与圆心的距离为，且， 所以，故， 所以点在圆（）外. 故选：A. 知识点03 圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 【即学即练】 1．已知，圆的面积为，则 . 【答案】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】已知圆的方程为 ， 可得， 此为标准形式，圆心为 ，半径平方为 ， 由 得：， 解方程：. 故答案为：. 2．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 知识点04 用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程．（2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【即学即练】 1．过三个点，，的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法，建立方程组，解之即可求解. 【详解】设圆的一般方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故答案为： 2．已知点，四点共圆，则 ． 【答案】 【分析】设过的圆的一般方程，再列方程组，求得其一般方程，再将点坐标代入即可. 【详解】设过的圆的方程为且, 则，解得， 所以过的圆的方程为， 又因为点在此圆上，所以，解得，所以． 故答案为： 知识点05 轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答． 【即学即练】 1．如图，在等腰中，已知，，边的中点为，则点的轨迹所包围的图形的面积等于 ． 【答案】 【分析】利用解析几何思想直接求出点的轨迹方程，再用相关点法求出点的轨迹方程，从而可以判断轨迹是圆，再用圆的面积公式即可求解. 【详解】 因为，所以点的轨迹是阿波罗尼斯圆， 设点，代入两点间距离公式可得：， 整理方程得：． 又设动点，由边的中点为，可知点，代入以上方程， 可得点的轨迹方程为， 即，故所求的面积为． 故答案为：. 2．已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1) (2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可. （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由， 列出方程代入即可求得轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 题型01 圆的标准方程 【典例1】已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】设圆的标准方程为，根据点在圆上、圆心在直线上列方程求解即可. 【详解】设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【变式1】圆心是且过点的圆的方程为 . 【答案】 【分析】求出圆的半径，即可得出所求圆的方程. 【详解】解析：由题可得圆的半径为， 又圆心为所以圆的方程为. 故答案为：. 【变式2】在复平面中，方程四个复数根对应的四点在同一个圆上，则该圆的半径为 . 【答案】 【分析】将原方程分解为两个二次方程，分别求出四个根对应的复平面点，观察四个点的对称性，推测圆心位置（可能在轴上），通过距离公式建立方程，求解参数，最终确定圆的半径． 【详解】方程的根分为两部分： 第一部分：解，得根，对应点和； 第二部分：解，得根，对应点和， 因为四点共圆，设该圆的圆心为， 所以即在线段的垂直平分线上，也在线段的垂直平分线上， 所以圆心的坐标为，所以圆的半径， 故答案为：． 【变式3】已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】圆： 的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B 题型02 圆的一般方程 【典例1】已知圆，则圆的圆心坐标为 . 【答案】 【分析】应用圆的一般方程圆心坐标公式计算求解. 【详解】由圆，则圆的圆心坐标为. 故答案为：. （1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件． （2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件． 【变式1】已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点，当不重合时，根据圆的几何性质，利用垂直建立方程求解即可得解，当重合时，代入检验即可. 【详解】由直线过点，圆可知，圆心为， 设点， 由题意可知，当点与点不重合时，，则，整理得，即， 此时点的轨迹为圆但不包括点. 当点与点重合时，其坐标满足方程. 综上，点的轨迹方程为. 故答案为： 【变式2】圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】化一般方程为标准方程，得到圆心坐标. 【详解】圆， 得， 得圆心坐标为. 故答案为： 【变式3】已知函数与的图象交于不同的三点A，B，C，同一平面上的点P满足，则P的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用方程组思想，结合三次方程求根，然后得到三点坐标，利用三点确定一个圆，通过圆心来确定点即可. 【详解】 由已知两函数解析式联立方程组，消元得：， 发现是方程的根，则可因式分解为， 所以可以解得：， 分别代入到可得：， 由，可知点为三角形的圆心， 所以由确定一个圆， 设圆的方程为，则可得： ， 解得：， 所以圆的方程为， 化为圆的标准方程得：， 所以可得圆心坐标为， 故答案为：. 题型03 点与圆的位置关系 【典例1】已知如图点在圆上，圆沿着轴顺时针滚动弧度，点到了点的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的半径，再求出相关长度即可. 【详解】设原来圆的方程为，代入点得 ，解得，则圆的方程为， 则，， 则点的坐标为. 故选：B. 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有（1）若点在圆上（2）若点在圆外（3）若点在圆内 【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，Q为第一象限内一点，QA垂直于x轴，QB垂直于射线OM，垂足分别为A，B，且，，． (1)求OQ的值； (2)已知圆C通过四点， ①圆C的方程； ②设P是圆C上的任意一点，在x轴及射线OM上是否分别存在定点E，F，使为定值？若存在，指出定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在定点 【分析】（1）由题意得出OM的直线方程，设出Q点坐标，利用点到直线的距离公式得出Q点坐标，利用两点距离公式得出； （2）①由QA垂直x轴，QB垂直射线OM，垂足分别为A，B，所以圆C是以OQ为直径的圆，得出圆心，半径得出圆的方程； ②设圆C上的任意一点P的坐标为，点，点，，，得出关系式求出得出结论． 【详解】（1）解：直线OM的方程为，即，设，， 由题意可得，解得或（舍），所以点， 所以 （2）解：①由QA垂直x轴，QB垂直射线OM，垂足分别为A，B，所以圆C是以OQ为直径的圆，所以圆心坐标为，半径为， 所以圆C的方程为，即 ②设圆C上的任意一点P的坐标为，点，点，，， 所以，化简得， 又因为点P在圆上，所以， 所以， 点P为圆C上任意一点，所以 解得， 经检验符合题意，所以在x轴及射线OM上分别存在定点，使为定值． 【变式2】已知正三棱柱的底面边长为1，，点满足，其中，，下列选项正确的是（   ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，有且仅有一个点，使得平面 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】先判断，然后利用线面平行的判定定理得平面，结合三棱锥的题意即可判断A，建立空间直角坐标系，设，利用及空间向量垂直的坐标运算求解判断B，先判断，把平面绕旋转到与平面共面，当，，三点共线时有最小值，先利用余弦定理及两角和的余弦公式求出，利用余弦定理求解判断C，先判断在含边界的矩形区域内，然后建立平面直角坐标系，从而得的轨迹是以为圆心，1为半径的圆弧，利用点圆的位置关系求解最值即可判断D. 【详解】对于A.设，为，的中点，∵，∴，    ∴，平面，平面，∴平面， ∴三棱锥的体积为定值，∴A正确； 对于B.过在平面内作，以为原点， 以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图.    设，为，的中点，∵，∴， ∴，，设， ∴，， ∵平面，平面，∴，∴，解得， ∴仅有一个点，使得平面，∴B正确 对于C.∵，∴， 把平面绕旋转到与平面共面，   当，，三点共线时有最小值， ∵， ∵，∴， ∴ ， ， ，∴的最小值为，∴C不正确； 对于D.点P满足，其中，， ∴在含边界的矩形区域内， 以为原点，以，为轴、轴建立平面直角坐标系，    设，∴，∴，， ∵∴，∴的轨迹是以为圆心，1为半径的圆弧， ∴当，，三点共线时，最小，∴的最小值为，∴D正确. 故选：ABD 题型04 二元二次曲线与圆的关系 【典例1】方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】若方程表示圆，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 待定系数法 【变式1】“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，化为圆的方程为标准方程，结合圆的方程，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由方程，可得， 若时，可得，此时方程表示圆，即充分性成立； 反之：方程表示圆时， 例如：当时，方程可化为也可以表示圆，所以必要性不成立， 所以“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2】已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】由条件结合圆的一般方程的特点列关系式求，再确定圆心坐标. 【详解】因为方程表示圆， 所以①，②， 由①可得或． 当时，，不满足要求，舍去， 当时，，满足要求， 所以圆的方程为， 即，圆心为； 故答案为：. 【变式3】已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 题型05 圆过定点问题 【典例1】已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设出点利用两点间距离公式得到比值关系，设为，最后利用方程与N无关得到关系式计算得到答案. 【详解】设，且， ， 因为为定值，设， 化简得：，与点位置无关， 所以， 解得：或， 因为异于点，所以定点N为. 故答案为：. 合并参数，另参数的系数为零解方程即可． 【变式1】在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 【变式2】已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【答案】(1)； (2)定点坐标为，证明见解析. 【分析】（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解； （2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论 【详解】（1）当，，故，， 所以此时圆的标准方程为. （2）设点是圆上任意一点， 因为是圆的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，，等式恒成立，定点为， 所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为. 【变式3】当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 题型06 轨迹问题 【典例1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【分析】根据两点距离公式计算可得根据圆的方程与两点距离公式，根据三角形三边关系求最值即可. 【详解】化简整理得 ∴点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆； 而表示的是圆上的动点与圆外一定点间的距离， ∴的最小值即为的最小值， 而，∴的最小值为. 故选：A． 用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为；（2）几何点集：写出满足题设的点的集合；（3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程； （4）化简方程：通过同解变形化简方程；（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． 求轨迹时常用的方法：代入法 对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解．． 【变式1】已知点A，B是圆C：上的两个动点，O为原点，点A，B，O共线，点D为AB的中点，则点D的轨迹长度为（    ） A． B．2π C． D． 【答案】C 【分析】根据D点的性质，求出轨迹方程，确定轨迹是一个新的圆，找到轨迹对应的圆心角度数，即可求出轨迹长度. 【详解】 由题意知，变形得，可知圆是以为圆心，以2为半径的圆，画出示意图，根据垂径定理可知，，则点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆的一部分. 如图，过原点作圆的切线切点分别为，连接. 易知，则，所以，同理可知可得， 当圆周角为时，圆心角为，则弧长轨迹. 故选：C. 【变式2】如图，四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，动点在内（含边界）且. （ⅰ）求线段的轨迹形成的面积； （ⅱ）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）通过线线垂直证明平面，即可完成证明； （2）（ⅰ）如图建立空间直角坐标系，设的坐标为，由可得动点的轨迹，即可求解； （ⅱ）由（ⅰ）可设，据此可表示出平面的法向量，然后由空间向量结合三角函数知识可得答案. 【详解】（1） 由，可知， 三角形为等腰直角三角形，，， 又因为，由余弦定理得：， 即得，， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）（ⅰ）依题意，建立如图坐标系， 设的坐标为，， 由， 化简得：，即， 则动点的轨迹是以线段的中点为圆心，以1为半径的圆弧， 由于线段的中点，所以该圆弧经过点， 故动点的轨迹是四分之一圆弧， 线段的轨迹形成的面积为圆锥侧面的，面积为； （ⅱ）由（ⅰ）可设，，，， ，，， 设平面的一个法向量为，则即 取，则， 则 因为，所以，所以， 所以，所以， 综上所述，. 【变式3】如图，已知圆柱的轴截面是矩形，点为上不同于的一点，点在上，且，动点满足，动点在上底面上，满足． (1)证明：平面； (2)①求动点的轨迹长度； ②当点为的中点时，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）在上取点，使得，连接，通过四边形为平行四边形，得到，即可求证； （2）建系，①由，确定动点的轨迹是半径为的圆，即可求解；②求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）在上取点，使得，连接， 因为，所以， 所以，且， 又，所以，又， 所以，且，则四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，故平面； （2）分别取的中点，连接，则底面圆，连接， 因为点为的中点，所以，易得， 以为原点，以，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， ①因为，所以，所以， 则动点的轨迹是半径为的圆，其轨迹长度为； ②设平面的法向量为， 由得取，则， 因为，都在平面内，所以平面， 所以是平面的一个法向量，记为， 所以， 由题意可知，，整理得，解得， 故的值为． 1．设实数，圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为， 故，故（负解舍去）， 故答案为：. 2．已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可. 【详解】设中点为O，则，即， 设圆半径为r，则， 则以为直径的圆的方程为. 故选：B. 3．已知圆上一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】记原点为，易知原点在圆上，结合距离的几何意义与圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】记原点为，易知原点在圆上，则， 故的最大值为圆的直径，故的最大值为. 故答案为：. 4．已知三角形的，则三角形的面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设出点坐标，根据列等式，即可得到的轨迹.再求点到的距离范围即可得到三角形的面积的取值范围. 【详解】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，. 因为，所以，化简得， 则点的轨迹为以为圆心，半径为的圆（除去两点）. 则点到直线的最大距离即为半径，此时三角形的面积. 又点到直线的距离可趋近于，所以三角形的面积的取值范围为. 故答案为： 5．已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定的定义求出点的轨迹并画出图形，结合圆的性质求出最大值. 【详解】设，由，得，因此点在以原点为圆心，1为半径的圆及内部， 设，由，得，点在以 为顶点的正方形及内部，当且仅当点与之一重合时，， 所以. 故选：D 6．已知实数满足，则的最大值和最小值之和为 . 【答案】4 【分析】应用三角换元，令，，且，结合三角恒等变换有，即可求. 【详解】由题设，令，，且， 所以，且， 所以的最大、最小值分别为、，故它们的和为4. 故答案为：4. 7．已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程； 【详解】设， M为线段的中点，， 而A是圆C上一动点， 故， 整理得：， 即， 故动点M的轨迹方程为. 故答案为： 8．已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，联立两曲线方程，消去可得关于的一元三次方程，设出圆的一般式，分别将曲线代入圆的方程，化简得到关于的一元三次方程，然后对比，列出方程，即可得到圆的方程，从而得到结果. 【详解】联立方程，消去可得， 设过交点的圆的方程为， 将代入圆的方程，可得， 即， 再将代入，即可得到， 对比， 可得，解得， 所以圆的方程为， 配方可得， 则圆的半径为， 所以外接圆的面积为. 故答案为：. 9．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】记为坐标原点，作出图形，求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】记为坐标原点，圆的圆心为原点，圆的半径为，    由圆的几何性质可知，， 且，即，即， 当且仅当点时，取最小值，当且仅当点时，取最大值， 故. 故答案为：. 10．已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点的轨迹，最后结合点的位置求出的最小值. 【详解】可变形为由可得，则恒过定点， 同理可得恒过定点，且有，则， 此时的轨迹是以为直径的圆：． 因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为. 故选：A． 11．已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一般方程得到标准方程即可求解. 【详解】由， 得， 可知圆C的圆心坐标为． 故选：C 12．已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)圆，圆． (2)是定值． 【分析】（1）由圆的标准方程可得圆心，根据点关于直线对称，建立方程组可求出圆心，可得答案； （2）根据对称写出点的坐标，利用直线的点斜式方程，分别求得截距，结合圆的方程计算，可得答案. 【详解】（1）设圆的圆心关于直线的对称点为， 的中点坐标是，的斜率是， ， 由得：，，， 圆，圆． （2），，，， 直线的方程为：， 令，则，同理可得：， 由，，， 则， 是定值． 13．设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）依题意该直线与直线平行，由平行直线间的距离公式列方程即可求解； （2）利用“垂直”，“平分”即可求出圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆方程. 【详解】（1）由题意可知该直线与直线平行， 所以设该直线方程为， 依题意，解得或， 故该直线方程为或. （2）圆的圆心为， 设圆心关于直线的对称点为， 则且的中点在直线上． ，解得， ， 圆关于直线的对称圆半径不变， 该对称圆方程为：． 14．已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 【答案】 【分析】求出圆心关于直线的对称点坐标，可求出对称后的圆的方程. 【详解】易知圆的圆心为， 设圆心关于直线对称的点坐标为， 可得，解得， 即圆的圆心坐标为，对称后半径不变， 所以圆的方程为. 15．已知在中，边上的高所在直线的方程为边上的中线所在直线的方程为． (1)求两点的坐标； (2)求的外接圆方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由边上高线所在的方程及求得直线方程，结合边上中线所在直线方程即可求得的坐标；设，则点中点为，代入中线方程即可求解； （2）分别求得边的垂直平分线方程，求得外接圆圆心坐标，再根据两点之间距离公式求得半径即可求解． 【详解】（1）因为边上的高所在直线的方程为， 所以，则直线的方程为，即， 由得，，所以， 设，则点中点为， 所以，解得，即． （2）因为，， 所以的中点坐标为，， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 同理可得线段的垂直平分线方程为， 由得，，所以的外接圆圆心为， 所以的外接圆半径为， 所以的外接圆方程为． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 圆的方程 教学目标 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 教学重难点 1.重点 掌握圆的标准方程与一般方程. 2.难点 轨迹问题 知识点01 圆的标准方程 ，其中为_______，为半径． 【即学即练】 1．圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 2．已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是 ． 知识点02 点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【即学即练】 1．点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 2．点与圆（）的位置关系为（   ）. A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 知识点03 圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．_______为圆心，______________为半径． 【即学即练】 1．已知，圆的面积为，则 . 2．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点04 用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“______________”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程．（2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【即学即练】 1．过三个点，，的圆的方程为 ． 2．已知点，四点共圆，则 ． 知识点05 轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于_______时，常采用_______；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用_______；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用_______（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答． 【即学即练】 1．如图，在等腰中，已知，，边的中点为，则点的轨迹所包围的图形的面积等于 ． 2．已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 题型01 圆的标准方程 【典例1】已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【变式1】圆心是且过点的圆的方程为 . 【变式2】在复平面中，方程四个复数根对应的四点在同一个圆上，则该圆的半径为 . 【变式3】已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型02 圆的一般方程 【典例1】已知圆，则圆的圆心坐标为 . （1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件． （2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件． 【变式1】已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 . 【变式2】圆的圆心坐标为 ． 【变式3】已知函数与的图象交于不同的三点A，B，C，同一平面上的点P满足，则P的坐标是 ． 题型03 点与圆的位置关系 【典例1】已知如图点在圆上，圆沿着轴顺时针滚动弧度，点到了点的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有（1）若点在圆上（2）若点在圆外（3）若点在圆内 【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，Q为第一象限内一点，QA垂直于x轴，QB垂直于射线OM，垂足分别为A，B，且，，． (1)求OQ的值； (2)已知圆C通过四点， ①圆C的方程； ②设P是圆C上的任意一点，在x轴及射线OM上是否分别存在定点E，F，使为定值？若存在，指出定点的位置；若不存在，请说明理由． 【变式2】已知正三棱柱的底面边长为1，，点满足，其中，，下列选项正确的是（   ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，有且仅有一个点，使得平面 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 题型04 二元二次曲线与圆的关系 【典例1】方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 待定系数法 【变式1】“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ． 【变式3】已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型05 圆过定点问题 【典例1】已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 合并参数，另参数的系数为零解方程即可． 【变式1】在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【变式2】已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【变式3】当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 题型06 轨迹问题 【典例1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．9 用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为；（2）几何点集：写出满足题设的点的集合；（3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程； （4）化简方程：通过同解变形化简方程；（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． 求轨迹时常用的方法：代入法 对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解．． 【变式1】已知点A，B是圆C：上的两个动点，O为原点，点A，B，O共线，点D为AB的中点，则点D的轨迹长度为（    ） A． B．2π C． D． 【变式2】如图，四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，动点在内（含边界）且. （ⅰ）求线段的轨迹形成的面积； （ⅱ）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【变式3】如图，已知圆柱的轴截面是矩形，点为上不同于的一点，点在上，且，动点满足，动点在上底面上，满足． (1)证明：平面； (2)①求动点的轨迹长度； ②当点为的中点时，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 1．设实数，圆的面积为，则 ． 2．已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆上一点，则的最大值为 . 4．已知三角形的，则三角形的面积的取值范围是 ． 5．已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．已知实数满足，则的最大值和最小值之和为 . 7．已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 8．已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为 . 9．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ． 10．已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 11．已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 12．已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 13．设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 14．已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 15．已知在中，边上的高所在直线的方程为边上的中线所在直线的方程为． (1)求两点的坐标； (2)求的外接圆方程． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$