2025年湖北省中考数学试卷

2025年湖北省中考数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）数轴上表示数a，b的点如图所示，下列判断正确的是（　　） A．a＜b B．a＞b C．b＜0 D．a＞0 2．（3分）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列运算的结果为m6的是（　　） A．m3+m3 B．m2•m3 C．（m2）3 D．m4÷m2 4．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 5．（3分）数学中的“≠”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若∠1＝56°，则∠2的度数是（　　） A．34° B．44° C．46° D．56° 6．（3分）在下列事件中，不可能事件是（　　） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 7．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A（﹣1，2），则点C的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 8．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：O）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（　　） A．3A B．4A C．5A D．6A 9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°．分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是（　　） A．30° B．50° C．60° D．75° 10．（3分）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE＝2，则CG的长是（　　） A． B．2 C． D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．（3分）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是　 　 ． 12．（3分）已知一次函数y＝kx+b，y随x的增大而增大．写出一个符合条件的k的值是　 　 ． 13．（3分）窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是 　 　 ． 14．（3分）计算x的结果是 　 　 ． 15．（3分）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝n cm．动点P，Q均以1cm/s的速度从点C同时出发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动．当点Q运动到点A时，两点都停止运动．△PCQ的面积S（单位：cm2）与运动时间t（单位：s）的关系如图2所示．（1）m＝ 　 　 ；（2）n＝ 　 　 ． 三、解答题（共9题，共75分） 16．（6分）计算：|﹣6|22． 17．（6分）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：∠B＝∠D． 18．（6分）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：tan35°≈0.7） 19．（8分）为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为A（x＜2），B（2≤x＜3），C（3≤x＜4），D（x≥4）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是 　 　 人，并补全条形图； （2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数； （3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 20．（8分）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是 　 　 ，b是 　 　 ； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是 　 　 ，d是 　 　 ； （注：用含n的代数式表示c和d．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是 　 　 ，f是 　 　 ； （4）若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是 　 　 （用含n的代数式表示g）． 21．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G． （1）求证：FD＝FG； （2）若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径． 22．（10分）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元/千克，B水果标价18元/千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果m千克． ①若这两种水果按标价出售，求m的取值范围； ②小明到这家商店后，发现A，B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求m的值． 23．（11分）在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE． （1）如图1，求证：△BCE∽△ACD； （2）如图2，当BC＝2，AC＝1时，求BE的长； （3）如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，过点B作AC的平行线交EF于点G，DE与BC交于点K． ①求证：AC＝CF； ②当时，直接写出的值． 24．（12分）抛物线yx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求c的值； （2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g，直接写出PQ的长． 2025年湖北省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D D B C A C B 一、选择题（共10题，每题3分，共30分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）数轴上表示数a，b的点如图所示，下列判断正确的是（　　） A．a＜b B．a＞b C．b＜0 D．a＞0 【解析】解：由图可知，a＜0，b＞0，a＜b， 故选项A符合题意． 故选：A． 2．（3分）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：根据几何体的特点可得：从几何体的正面可以看到选项B的图形． 故选：B． 3．（3分）下列运算的结果为m6的是（　　） A．m3+m3 B．m2•m3 C．（m2）3 D．m4÷m2 【解析】解：A、m3+m3＝2m3，故此选项不符合题意； B、m2•m3＝m5，故此选项不符合题意； C、（m2）3＝m6，故此选项符合题意； D、m4÷m2＝m2，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 【解析】解：根据一元二次方程根与系数的关系，x2﹣4x+3＝0， a＝1，b＝﹣4，c＝3， ∴x1+x24，x1•x23， 故选：D． 5．（3分）数学中的“≠”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若∠1＝56°，则∠2的度数是（　　） A．34° B．44° C．46° D．56° 【解析】解：如图， ∵a∥b，∠1＝56°， ∴∠3＝∠1＝56°， ∴∠2＝∠3＝56°， 故选：D． 6．（3分）在下列事件中，不可能事件是（　　） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【解析】解：A．投掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，故该项不符合题意； B．从只有红球的袋子中摸出黄球，是不可能事件，故该项符合题意； C．任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件，故该项不符合题意； D．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该项不符合题意； 故选：B． 7．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A（﹣1，2），则点C的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【解析】解：由题意A，C关于原点对称， ∵A（﹣1，2）， ∴C（1，﹣2）． 故选：C． 8．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：O）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（　　） A．3A B．4A C．5A D．6A 【解析】解：根据图象，当R＞9时，I＜4， ∴当电阻R大于9Ω时，电流I可能是3A，不可能是4A、5A或6A， ∴A符合题意，BCD不符合题意． 故选：A． 9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°．分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是（　　） A．30° B．50° C．60° D．75° 【解析】解：由作图可得： ∵MN是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB，而∠BAC＝30°， ∴∠BAD＝∠ABD＝30°， ∴∠AOE＝2∠ABD＝60°， 故选：C． 10．（3分）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE＝2，则CG的长是（　　） A． B．2 C． D． 【解析】解：如图，过G作GH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝AD，∠BCD＝∠ADC＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD， 由对折可得：BC＝BF，CE＝EF，∠BFE＝∠BCE＝90°＝∠DFE，∠FBE＝∠CBE， ∴∠DEF＝∠FDE＝45°，而， ∴DF＝EF＝DE•sin45°＝2， ∴， ∴， ∴， ∵∠FBE＝∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD， ∴OG＝HG， ∵BG＝BG， ∴Rt△OBG≌Rt△HBG， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 方法二：设AC与BD交于点O， ∵∠FBE＝∠CBE＝22.5°，∠BOG＝90°， ∴∠OGB＝67.5°＝∠CGE，∠CEG＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠CEG＝∠CGE＝67.5°， ∴CG＝CE＝EF＝2， 故选：B． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．（3分）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是　2m　 ． 【解析】解：根据题意可得矩形的面积是2m， 故答案为：2m． 12．（3分）已知一次函数y＝kx+b，y随x的增大而增大．写出一个符合条件的k的值是　1（答案不唯一）　 ． 【解析】解：由题意，∵一次函数y随x的增大而增大， ∴k＞0． ∴不妨设k＝1． 故答案为：1（答案不唯一）． 13．（3分）窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是 　　 ． 【解析】解：从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是， 故答案为：． 14．（3分）计算x的结果是 　2　 ． 【解析】解：原式 ＝x+2﹣x ＝2， 故答案为：2． 15．（3分）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝n cm．动点P，Q均以1cm/s的速度从点C同时出发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动．当点Q运动到点A时，两点都停止运动．△PCQ的面积S（单位：cm2）与运动时间t（单位：s）的关系如图2所示．（1）m＝ 　8　 ；（2）n＝ 　12　 ． 【解析】解：（1）观察图象可知，当t＝4时，点P与点B重合， ∵动点P，Q均以1cm/s的速度从点C同时出发， ∴CB＝CP＝CQ＝4cm， ∵∠C＝90°， ∴， 故答案为：8； （2）由图象可知，当t＝10时，S＝10，此时CQ＝10，BP＝10﹣BC＝6， 过点P作PD⊥AC于点D，如图，则∠PDA＝90°， ∵， ∴PD＝2， ∵∠PDA＝∠C＝90°，∠A＝∠A， ∴△ADP∽△ACB， ∴， ∴， ∴P为AB的中点， ∴AB＝2BP＝12， 故答案为：12． 三、解答题（共9题，共75分） 16．（6分）计算：|﹣6|22． 【解析】解：|﹣6|22 ＝64 ＝6﹣4+4 ＝6． 17．（6分）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：∠B＝∠D． 【解析】证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， ∴∠B＝∠D． 18．（6分）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：tan35°≈0.7） 【解析】解：过A作AC⊥BC于C， 则∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝35°，AC＝30m， ∴BC＝AC•tan35°≈30×0.7＝21（m）， ∴乙楼的高＝21+18＝39（m）． 19．（8分）为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为A（x＜2），B（2≤x＜3），C（3≤x＜4），D（x≥4）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是 　20　 人，并补全条形图； （2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数； （3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 【解析】解：（1）B组人数为50﹣（9+15+6）＝20（人）， 补全图形如下： 故答案为：20； （2）500×（52%+16%）＝340（人）， 答：估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数约为340人； （3）学期末比学期初有提高， 由表格信息可得：学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了， ∴该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高． 20．（8分）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是 　5　 ，b是 　11　 ； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是 　n+1　 ，d是 　n+7　 ； （注：用含n的代数式表示c和d．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是 　11　 ，f是 　3　 ； （4）若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是 　n+8　 （用含n的代数式表示g）． 【解析】解：（1）根据题意得：a＝4+1＝5，b＝4+7＝11． 故答案为：5，11； （2）根据题意得：c＝n+1，d＝n+7． 故答案为：n+1，n+7； （3）根据题意得：17+2+e＝2+10+18，17+10+f＝2+10+18， 解得：e＝11，f＝3． 故答案为：11，3； （4）根据题意得：9g＝n+n+1+n+2+n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+16， 解得：g＝n+8． 故答案为：n+8． 21．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G． （1）求证：FD＝FG； （2）若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径． 【解析】（1）证明：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF， ∴AB∥GF， ∴∠BAC＝∠G＝45°， ∴∠FDG＝90°﹣45°＝45°，即△DFG是等腰直角三角形， ∴FD＝FG； （2）解：∵DF⊥AB， ∴， ∵∠BAC＝45°， ∴∠ADE＝90°﹣45°＝45°，即△ADE是等腰直角三角形， ∴EA＝ED＝6． 由（1）得FD＝FG＝10， ∴EF＝DF﹣DE＝10﹣6＝4， 如图所示，连接OA，设OE＝x，则OF＝OE+EF＝x+4＝OA， ∴在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2， ∴（x+4）2＝62+x2， 解得，， ∴， ∴⊙O的半径为． 22．（10分）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元/千克，B水果标价18元/千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果m千克． ①若这两种水果按标价出售，求m的取值范围； ②小明到这家商店后，发现A，B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求m的值． 【解析】解：（1）设甲种水果买了x千克，乙种水果买了y千克， 由题意得：， 解得：， 答：甲种水果买了2千克，乙种水果买了1千克； （2）①设小明买A水果m千克，则小明买B水果（m+1）千克， 由题意得：14m+18（m+1）≤50， 解得：m≤1， 又∵m＞0， ∴m的取值范围为0＜m≤1； ②设小明买A水果m千克，则小明买B水果（m+1）千克， 由题意得：14×0.75m+18×1+18×0.75×（m+1﹣1）＝48， 解得：m＝1.25， 答：m的值为1.25． 23．（11分）在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE． （1）如图1，求证：△BCE∽△ACD； （2）如图2，当BC＝2，AC＝1时，求BE的长； （3）如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，过点B作AC的平行线交EF于点G，DE与BC交于点K． ①求证：AC＝CF； ②当时，直接写出的值． 【解析】（1）证明：∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上， ∴AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE， ∴， ∴△BCE∽△ACD； （2）解：∵BC＝2，AC＝1，∠ACB＝90°， ∴AC＝CD＝1，， ∴， 过D作DH⊥AC， ∴， ∴DH＝2AH， 在△CDH中，CH2+DH2＝CD2， 即（1﹣AH）2+（2AH）2＝12， 解得：，AH＝0（舍去）， ∴， 在△ADH中，AH2+DH2＝AD2， ∴， ∵△BCE∽△ACD， ∴，即， ∴； （3）①证明：设旋转角为α，则∠ACD＝∠BCE＝α，AC＝CD，CB＝CE， ∴，， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF＝90°，∠DCB＝90°﹣α， ∴∠ECF＝90°﹣α， ∴∠DCB＝∠ECF， ∵GF∥AB， ∴∠F+∠A＝180°， ∴∠CDA+∠CDB＝180°，∠CDA＝∠A， ∴∠CDB＝∠F， ∵∠DCB＝∠ECF，∠CDB＝∠F，CB＝CE， ∴△BCD≌△ECF（AAS）， ∴CD＝CF， ∵CD＝AC， ∴AC＝CF； ②解：∵， ∴设GF＝5k，GB＝6k， ∵GF∥AB，BG∥AF， ∴四边形ABGF是平行四边形， ∴AB＝GF＝5k，AF＝BG＝6k，∠G＝∠A， 由①得CD＝AC＝CF＝3k， 在Rt△ADC中，AB2＝BC2+AC2， ∴， ∴， ∴， ∵△CBD≌△CEF， ∴∠CBD＝∠CEF， ∵GF∥AB， ∴∠FEB+∠ABE＝180°， 即∠CEF+∠CEB+∠CBE+∠CBD＝180°， 即2（∠CEF+∠CEB）＝2∠FEB＝180°， ∴∠FEB＝90°， ∴∠BEG＝90°， ∴sin，即， ∴， 由①可得，∠ADC+∠CDB＝180°， ∴∠CEB+∠CDB＝180°， ∴点C，D，B，E四点共圆， ∴∠BED＝∠BCD， ∵∠BEK＝∠KCD，∠BKE＝∠DKC， ∴△BEK∽△DCK， ∴， 设DK＝5x，BK＝8x，CK＝5y，EK＝8y， 则BC＝BK+CK＝8x+5y＝4k①， 根据旋转可得DE＝AB＝5k， ∴DE＝DK+EK＝5x+8y＝5k②， 联立①②可得， ∴． 24．（12分）抛物线yx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求c的值； （2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g，直接写出PQ的长． 【解析】解：（1）把A（﹣1，0）代入， 得， ∴， （2）由（1）可知：， ∴T（1，﹣2）， ∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t， ∴， ∵过点P作对称轴的垂线，垂足为H， ∴PH＝1﹣t，， ∴； （3）①当x＝0时，，当时，x1＝﹣1，x2＝3， ∴，B（3，0）， 由（2）可知：T（1，﹣2），，对称轴为直线x＝1， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵P在第四象限， ∴0＜t＜3， 当0＜t≤1时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为P，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 当1＜t≤2时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 当2＜t＜3时，抛物线弧CP的最高点为P，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 综上：； ②∵PQ∥x轴， ∴P，Q关于对称轴对称， ∴， 当0＜t≤l时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当1＜t≤2时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为Q，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当2＜t＜3时，抛物线弧CP的最高点为Q，最低点为C，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t﹣2，， ∴； ∵， ∴， 解得：（舍去）或t， ∴PQ＝t﹣2+t＝2t﹣22， 综上： 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/30 20:21:40；用户：思达教育；邮箱：15200006450@xyh.com；学号：30653724 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$