专题七 分数的巧算-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（北师大版）

83 的面积加上三角形BAD 的面积就是所求梯形AEBD 的面积。 专题六 长方体表面积问题 [例题导引] 例1 解答:方法一:5×5×6+2×2×6-2×2×2= 166(平方分米) 方法二:5×5×6+2×2×4= 166(平方分米) 例2 解答:48÷4÷2=6(cm) 6+2=8(cm) (6×6+6×8+6×8)×2=264(cm2) [提优训练] 1. 3×3×4+(8×3+8×3+3×3)×2=150(平方 厘米) 2. 原来长方体的底面边长:160÷4÷5=8(厘米) 原 来长方体的高:8+5=13(厘米) 原来长方体的表面 积:(8×8+8×13+8×13)×2=544(平方厘米) 3. 12÷4=3(cm) 3×3×2+12×12=162(cm2) 解析:由题图可知,这个长方体纸盒的侧面展开图是 一个正方形,也就是这个长方体纸盒的高等于其底面 周长,用12cm除以4得到底面边长,再进一步求出长 方体的表面积。 4. 前、后面的面积之和:[30×30+(30×2)×30]× 2=5400(平方厘米) 左、右面的面积之和:80× (30×2)×2=9600(平方厘米) 上面的面积:80× 30×2=4800(平方厘米) 贴装饰纸的面积:5400+ 9600+4800=19800(平方厘米) 19800平方厘米= 1.98平方米 需要的钱:220×1.98=435.6(元) 5. 原来正方体的表面积:2×2×6=24(平方分米) 增加的总面积:1×1×4+12× 1 2×4+ 1 4× 1 4×4= 514 (平方分米) 立体图形的表面积:24+514= 2914 (平方分米) 解析:从上往下看,3个挖出的正 方体小洞剩余的下底面与立体图形剩余的上表面的 面积和等于原来正方体一个面的面积,这样表面积就 只增加了3个正方体小洞各自的侧面积。计算出原 来正方体的表面积再加上增加的3个正方体小洞各 自的侧面积就是最后得到的立体图形的表面积。 专题七 分数的巧算 [例题导引] 例1 解答:1 2+ 1 6+ 1 12+ 1 20+ …+190= 1- 1 2 + 1 2- 1 3 + 13-14 + 14-15 +…+ 19-110 = 1-12+ 1 2- 1 3+ 1 3- 1 4+ 1 4- 1 5+ …+19- 1 10= 1-110= 9 10 例2 解答:方法一:1-12- 1 4- 1 8- 1 16- 1 32= 1 2- 1 4- 1 8- 1 16- 1 32= 1 4- 1 8- 1 16- 1 32= 1 8- 1 16- 1 32= 1 16- 1 32= 1 32 方法二:1-12- 1 4- 1 8- 1 16- 1 32= 1- 12+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32 =1-3132=132 [提优训练] 1. 49 10 49 10 100 21 100 21 169 42 169 42 发现:当两个大 于1的假分数的分子相同,分母没有除1外的其他公 因数,且这两个假分数的分母之和等于每个假分数的 分子时,这两个假分数的和与积相等 算式不唯一, 如① 11 4+ 11 7= 121 28 11 4× 11 7= 121 28 ② 9 5+ 9 4= 81 20 9 5× 9 4= 81 20 2. (1) 2 1×3+ 2 3×5+ 2 5×7+ …+ 22019×2021=1- 1 3+ 1 3- 1 5+ 1 5- 1 7+ …+ 12019- 1 2021=1- 1 2021= 2020 2021 (2) 3 4+ 3 28+ 3 70+ 3 130= 3 1×4+ 3 4×7+ 3 7×10+ 3 10×13=1- 1 4+ 1 4- 1 7+ 1 7- 1 10+ 1 10- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析 84 1 13=1- 1 13= 12 13 (3) 1+12- 5 6+ 7 12- 9 20+ 11 30- 13 42=1+ 1 2- 1 2+ 1 3 + 13+14 - 14+15 + 1 5+ 1 6 - 16+17 =1+ 12-12 - 13-13 + 1 4- 1 4 - 15-15 + 16-16 -17=1-17=67 (4) 1 55 + 2 55 + 3 55 + … + 955 + 10 55 = 1+2+3+…+9+10 55 = (1+10)×10÷2 55 = 55 55=1 (5) 1 88×89+ 1 89×90+ 1 90×91+ 1 91×92+ 1 92- 1 88= 1 88- 1 89+ 1 89- 1 90+ 1 90- 1 91+ 1 91- 1 92+ 1 92- 1 88=0 (6) 1 2+ 2 3+ 3 4 - 23-14-12 =12+23+34- 2 3+ 1 4+ 1 2= 1 2+ 1 2 + 23-23 + 34+14 =1+ 0+1=2 (7) 934+99 3 4+999 3 4+9999 3 4= 10-14 + 100-14 + 1000-14 + 10000- 1 4 =(10+100+1000+10000)- 14+14+14+ 1 4 =11110-1=11109 3. 填法不唯一,如 解析:先将这些分数“变形”(如图①),再把6,4,3,2, 1,8,9,5,7这九个数填到框里,得到了使每条线上的 3个数相加的和相等的结果(如图②),最后将“变形” 后的数恢复成原分数即可。 专题八 长方体体积问题 [例题导引] 例1 解答:方法一:6×10×5+(12-6)×10×2= 420(立方分米) 方法二:12×10×5-(12-6)× 10×(5-2)=420(立方分米) 例2 解答:20×15×3=900(立方厘米) 900÷ (16×12)≈4.7(厘米) [提优训练] 1. (1) 5×5×5+8×5×5=325(cm3) (2) 8×(2+ 3)×10+6×3×10=580(cm3) 2. 8×6×3+5×5×5-8×6×5=29(立方分米) 29立方分米=29升 3. 4-15×4÷(25+15)=2.5(m) 4. 小东的设计:(100-5×2)×(80-5×2)×5= 31500(立方厘米) 小刚的设计:(100-10×2)× (80-10×2)×10=48000(立方厘米) 31500< 48000 小刚设计的盒子的体积更大 解析:在长 100厘米、宽80厘米的长方形纸片的四角各剪去一个 面积相等的正方形,长方体盒子的长等于100厘米减 去正方形的2条边长,宽等于80厘米减去正方形的 2条边长,高等于正方形的边长,据此求体积。 专题九 稍复杂的分数乘除法问题 [例题导引] 例1 解答:甲商场:600×810=480 (元) 乙商场: 600-(600÷100)×30=420(元) 480>420 在乙 商场购买比较合算 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)五年级 智者千虑,必有一失。 采蜜角 33 专题七 分数的巧算 进行某些分数计算时,若按常规的方法进行,则会非常复杂,甚至很难计算出正确的结果。 认真观察会发现这些算式具有一定的规律,巧妙运用规律会使计算非常简便。研究这类问题 有助于提高观察、推理等能力,使思维更加灵活。 类型一 复杂的分数加法问题 例1 计算:12+ 1 6+ 1 12+ 1 20+ …+190 。 点拨:一个分数,如果分子是1,分母是两个相 邻的自然数的积,那么这个分数就可以拆分成 两个分子是1、分母是相邻的自然数的分数的􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 差 􀪍 的形式。如1 2= 1 1×2= 1 1- 1 2=1- 1 2 ,1 6= 1 2×3= 1 2- 1 3 ,1 12= 1 3×4= 1 3- 1 4 ……在计算 的过程中,前、后两个相邻的分数因为数值相 等,运算符号相反,所以相加为0,最终使得拆 分后的分数求和的计算过程变得简单。 解答: 运用拆分法解决复杂的分数加法问题 如果一个分数由两个相邻的自然数的积作分 母,1作分子,形如 1a×(a+1) (a 为不等于0的自 然数),那么可以把这个分数拆分成1 a- 1 a+1 ,即 1 a×(a+1)= 1 a- 1 a+1 。运用拆分法可使这类分 数加法问题变得简便。 类型二 复杂的分数减法问题 例2 计算:1-12- 1 4- 1 8- 1 16- 1 32 。 点拨:方法一:根据1-12= 1 2 ,1 2- 1 4= 1 4 , 1 4- 1 8= 1 8 ……这一规律,可以直接写出最后 结果;方法二:利用减法的性质,可以改变这道 题的运算顺序再计算,1-12- 1 4- 1 8- 1 16- 1 32=1- 12+14+18+116+132 。在平时的计 算中经常遇到1 2+ 1 4= 3 4 ,3 4+ 1 8= 7 8 ,7 8+ 1 16= 15 16 ……根据这一规律,可以得出括号中 1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32= 31 32 ,用1减去3132 得出最 后结果。 解答: 运用规律进行简算 计算分数连减时,可以将其转化成第一个分 数减去后面几个分数之和的形式,计算时要观察 题目中分数的特点,将平时计算中发现的规律运 用到计算过程中,从而达到又准又快的目的。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆34 1. 算一算,想一想,你发现了什么规律? 你能根据这一规律再写出两组这样的算式吗? 7 2+ 7 5= 7 2× 7 5= 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 10 3+ 10 7= 10 3× 10 7= 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 13 7+ 13 6= 13 7× 13 6= 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 2. 准确计算。 (1) 2 1×3+ 2 3×5+ 2 5×7+ …+ 22019×2021 (2) 3 4+ 3 28+ 3 70+ 3 130 (3) 1+12- 5 6+ 7 12- 9 20+ 11 30- 13 42 (4) 1 55+ 2 55+ 3 55+ …+955+ 10 55 (5) 1 88×89+ 1 89×90+ 1 90×91+ 1 91×92+ 1 92- 1 88 (6) 1 2+ 2 3+ 3 4 - 23-14-12 (7) 934+99 3 4+999 3 4+9999 3 4 3. 将1 2 ,1 3 ,1 4 ,1 6 ,1 12 ,2 3 ,3 4 ,5 12 ,7 12 这九个分数分别填到右图中的框里,使 每条线上的3个分数相加的和相等。 数学(北师版)五年级