专题五 组合图形的面积-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（北师大版）

82 48,60,72,84,96,108,120…… 20的倍数有20,40, 60,80,100,120…… 10,12和20的公倍数有60, 120…… 10,12和20的最小公倍数是60 例2 解答:49-4=45(块) 29+1=30(块) 45和 30的最大公因数是15,所以小班最多有15个小朋友 [提优训练] 1. 8 12 2. 30 84 3. 3和5的最小公倍数是15 15+1=16(个) 奶奶 洗好的苹果至少有16个 4. 3.25米=325厘米 1.75米=175厘米 0.75米=75厘米 325,175和75的最大公因数是 25,所以小正方体木块的棱长是25厘米 (325÷ 25)×(175÷25)×(75÷25)=273(个) 解析:先换 算单位,将米转化成厘米。因为要截成尽可能大的小 正方体木块,所以找325,175和75的最大公因数,求 出小正方体木块的棱长,再进一步求出截成的小正方 体木块的个数。 5. 715和520的最大公因数是65 715÷65=11(盏) 520÷65=8(盏) 11+1+8=20(盏) 解析:由题中 “等距离地安装路灯”可知,求相邻两盏路灯之间的距 离可转化为求715和520的公因数。又由“最少需要 安装多少盏路灯”可知,路灯总盏数要最少,则相邻两 盏路灯之间的距离要最大,于是问题转化为求715和 520的最大公因数。最后求出这条街道最少需要安装 的路灯总盏数。 6. 45×(53-1)=2340(米) 45和60的最小公倍数 是180 2340÷180-1=12(根) 解析:先根据原来 的电线杆根数和相邻2根电线杆的距离求出甲地到 乙地的距离,甲、乙两地共有53-1=52(个)间隔,相 邻2根电线杆的距离是45米,则甲地到乙地的距离 为45×52=2340(米)。找出45和60的最小公倍数 是180后,求出除第1根外,不必移动的电线杆(包含 最后1根)的数量为2340÷180=13(根),去掉最后 1根,所以中间还有13-1=12(根)电线杆不必移动。 专题五 组合图形的面积 [例题导引] 例1 解答:方法一:9×6÷2+15×6÷2=72(cm2) 方法二:[(9+3)+(3+15)]×6÷2-3×6=72(cm2) 方法三:(9+15)×6÷2=72(cm2) 例2 解答:10×8÷2+10=50(cm2) [提优训练] 1. 26×18-2×18=432(平方米) 2. 小路的面积:(20+15)×2-2×2=66(平方米) 草坪的占地面积:20×15-66=234(平方米) 3. 16×16-56=200(平方厘米) 200×2÷16= 25(厘米) 25-16=9(厘米) 解析:三角形甲的面 积比三角形乙的面积大56平方厘米,结合图形可得, 正方形ACDE 的面积比三角形BDE 的面积大56平 方厘米,由此可得三角形 BDE 的面积等于正方 形ACDE 的面积减去56平方厘米,求得三角形BDE 的面积,再利用三角形的面积公式求出BD 的长,即 可求得BC 的长。 4. 3×1.5÷2=2.25(平方厘米) 解析:根据同底等 高的三角形面积相等,可得三角形ABC 的面积等于 三角形DBC 的面积,两个三角形的面积分别减去三 角形EBC 的面积,可得三角形ABE 的面积等于题图 中涂色部分的面积,最后根据三角形的面积公式进行 计算。 5. 8×8÷2=32(平方厘米) 32-16=16(平方厘米) 32+16=48(平方厘米) 解析:因为三角形AOE 的 面积比三角形BOD 的面积小16平方厘米,所以三角 形AEB 的面积比三角形BED 的面积小16平方厘 米。又因为三角形BED 与三角形BAD 同底等高,所 以三角形AEB 的面积比三角形BAD 的面积小16平 方厘米,三角形BAD 为腰长8厘米的等腰直角三角 形,可以求出面积,也就是三角形BED 的面积,根据 以上关系可以求出三角形AEB 的面积,三角形AEB 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)五年级 83 的面积加上三角形BAD 的面积就是所求梯形AEBD 的面积。 专题六 长方体表面积问题 [例题导引] 例1 解答:方法一:5×5×6+2×2×6-2×2×2= 166(平方分米) 方法二:5×5×6+2×2×4= 166(平方分米) 例2 解答:48÷4÷2=6(cm) 6+2=8(cm) (6×6+6×8+6×8)×2=264(cm2) [提优训练] 1. 3×3×4+(8×3+8×3+3×3)×2=150(平方 厘米) 2. 原来长方体的底面边长:160÷4÷5=8(厘米) 原 来长方体的高:8+5=13(厘米) 原来长方体的表面 积:(8×8+8×13+8×13)×2=544(平方厘米) 3. 12÷4=3(cm) 3×3×2+12×12=162(cm2) 解析:由题图可知,这个长方体纸盒的侧面展开图是 一个正方形,也就是这个长方体纸盒的高等于其底面 周长,用12cm除以4得到底面边长,再进一步求出长 方体的表面积。 4. 前、后面的面积之和:[30×30+(30×2)×30]× 2=5400(平方厘米) 左、右面的面积之和:80× (30×2)×2=9600(平方厘米) 上面的面积:80× 30×2=4800(平方厘米) 贴装饰纸的面积:5400+ 9600+4800=19800(平方厘米) 19800平方厘米= 1.98平方米 需要的钱:220×1.98=435.6(元) 5. 原来正方体的表面积:2×2×6=24(平方分米) 增加的总面积:1×1×4+12× 1 2×4+ 1 4× 1 4×4= 514 (平方分米) 立体图形的表面积:24+514= 2914 (平方分米) 解析:从上往下看,3个挖出的正 方体小洞剩余的下底面与立体图形剩余的上表面的 面积和等于原来正方体一个面的面积,这样表面积就 只增加了3个正方体小洞各自的侧面积。计算出原 来正方体的表面积再加上增加的3个正方体小洞各 自的侧面积就是最后得到的立体图形的表面积。 专题七 分数的巧算 [例题导引] 例1 解答:1 2+ 1 6+ 1 12+ 1 20+ …+190= 1- 1 2 + 1 2- 1 3 + 13-14 + 14-15 +…+ 19-110 = 1-12+ 1 2- 1 3+ 1 3- 1 4+ 1 4- 1 5+ …+19- 1 10= 1-110= 9 10 例2 解答:方法一:1-12- 1 4- 1 8- 1 16- 1 32= 1 2- 1 4- 1 8- 1 16- 1 32= 1 4- 1 8- 1 16- 1 32= 1 8- 1 16- 1 32= 1 16- 1 32= 1 32 方法二:1-12- 1 4- 1 8- 1 16- 1 32= 1- 12+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32 =1-3132=132 [提优训练] 1. 49 10 49 10 100 21 100 21 169 42 169 42 发现:当两个大 于1的假分数的分子相同,分母没有除1外的其他公 因数,且这两个假分数的分母之和等于每个假分数的 分子时,这两个假分数的和与积相等 算式不唯一, 如① 11 4+ 11 7= 121 28 11 4× 11 7= 121 28 ② 9 5+ 9 4= 81 20 9 5× 9 4= 81 20 2. (1) 2 1×3+ 2 3×5+ 2 5×7+ …+ 22019×2021=1- 1 3+ 1 3- 1 5+ 1 5- 1 7+ …+ 12019- 1 2021=1- 1 2021= 2020 2021 (2) 3 4+ 3 28+ 3 70+ 3 130= 3 1×4+ 3 4×7+ 3 7×10+ 3 10×13=1- 1 4+ 1 4- 1 7+ 1 7- 1 10+ 1 10- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析 天生我材必有用,千金散尽还复来。———[唐]李白《将进酒》 采蜜角 29 专题五 组合图形的面积 两个或多个简单的基本图形可以组合成一个组合图形,计算一个组合图形的面积时,要仔 细观察,看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的,通常可以运用分割、添补、平移、旋转、 添加辅助线等方法,将复杂的问题变简单。 类型一 求能转化成基本图形的组合图形 的面积 例1 求下图中涂色部分的面积。(单位:cm) 点拨:方法一:涂色部分是由两个三角形组成 的,它们的底分别是9cm和15cm,高都是 6cm,分别求出两个三角形的面积,最后求和。 方法二:涂色部分的面积等于上底是(9+3)cm、 下底是(3+15)cm、高是6cm的梯形的面积减 去底是3cm、高是6cm的平行四边形的面积。 方法三:将左侧的涂色三角形向右平移 􀪍􀪍3cm (或将右侧的涂色三角形向左平移3cm),正好 组成一个上底是9cm、下底是15cm、高是􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 6cm的梯形􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 解答: 运用转化法求组合图形的面积 解决此类问题时,可以运用平移,先将原来分 散的多个图形的面积转化成一个规则图形的面 积,再进行计算。 类型二 求稍复杂的组合图形的面积 例2 如图,平行四边形ABCD 的边BC 长 10cm,直角三角形 ECB 的直角边EC 长 8cm。已知涂色部分的面积比三角形EFG 的 面积大10cm2,求平行四边形ABCD 的面积。 点拨:涂色部分的面积比三角形EFG 的面积 大10cm2,将梯形FBCG 的面积分别加上涂 色部分的面积和三角形EFG 的面积,得到平􀪍 行四边形ABCD 的面积比三角形EBC 的面􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 积大10cm2􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。根据直角边BC 和EC 的长度, 可以求出三角形EBC 的面积,进而求出平行 四边形ABCD 的面积。 解答: 运用面积差不变求组合图形的面积 解决此类问题的关键是通过“中间图形”,使 已知信息中的图形和“隐藏图形”建立起联系。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆30 1. 计算下图中涂色部分的面积。 2. 五(1)班的保洁区是一块长20米、宽15米的长方形草坪(如图),草坪中间有一条2米宽的不 规则小路,草坪的占地面积是多少平方米? 3. 如图,正方形ACDE 的边长是16厘米,三角形甲比三角形乙的面积大56平方厘米。线段BC 长多少厘米? 4. 如图,直角梯形ABCD 的上底、下底分别是2厘米、6厘米,两条腰分别是3厘米、5厘米。涂 色部分的面积是多少平方厘米? 5. 如图,四边形ABCD 是边长为8厘米的正方形,四边形AEBD 是梯形,三角形AOE 的面积比 三角形BOD 的面积小16平方厘米。求梯形AEBD 的面积。 数学(北师版)五年级