专题一 消去问题-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（北师大版）

华罗庚被誉为“中国现代数学之父”“中国数学之神”“人民数学家”,被芝加哥科学技术 博物馆列为当今世界88位数学伟人之一。 [上一页答案:祖孙三人] 采蜜角 整合提优(五年级全学年) 21 专题一 消去问题 有些应用题,给出了两个或两个以上的未知量,要求出这些未知量,应先把题中条件的对 应关系一一列出,分析对应的未知量的变化情况。通过运用一些方法消去一些未知量,来解决 数量关系较复杂的应用题。 类型一 直接消去法求单价 例1 王老师买了5支圆珠笔和2支铅笔共花 了12.2元,李老师买了同样的3支圆珠笔和 2支铅笔共花了7.8元。圆珠笔和铅笔的单 价各是多少? 点拨:根据题意,可以写出下面的数量关系: ① 5支圆珠笔的价钱+2支铅笔的价钱=􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 12.2元􀪍􀪍􀪍􀪍 ;② 3支圆珠笔的价钱+2支铅笔的价􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 钱=7.8元􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。①-②,得2支圆珠笔的价钱= 4.4元。4.4元就是2支圆珠笔的价钱,可以 求出每支圆珠笔的价钱。再进一步求出每支 铅笔的价钱。 解答: 运用对应法求商品的价格 解答这类题的关键是根据差价和某种商品的 数量的对应关系,求出其中一种商品的单价,最后 根据题中的已知条件求出另一种商品的单价。 类型二 扩倍消去法求单价 例2 王阿姨买2千克苹果和3千克香蕉共花 了29.2元,李阿姨买了同样的4千克苹果和 5千克香蕉共花了53.4元。每千克苹果和每 千克香蕉各多少元? 点拨:从已知条件中可以发现,李阿姨买的苹 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 果数量是王阿姨的2倍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。可以把王阿姨买的 苹果和香蕉的数量分别扩大到原来的2倍,总 价也扩大到原来的2倍,即王阿姨买2×2= 4(千克)苹果和3×2=6(千克)香蕉共花了 29.2×2=58.4(元),对比李阿姨买的苹果和 香蕉的数量及所花的钱数,可以发现,58.4元 与53.4元的差就是1千克香蕉的价钱,进而 求出每千克苹果的价钱。 解答: 运用扩倍法求商品的价格 当两人各自购买的两种相同商品的数量和总 价各不相同时,可以把其中一人购买的两种商品 的数量和总价同时扩大到一定的倍数,使其中一 种商品的数量和另一人购买的这种商品的数量相 同,再找出差价和数量的对应关系,求出一种商品 的价格,进而求出另一种商品的价格。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆22 1. 运一批黄沙,如果用2辆卡车和5辆小货车运,那么一次能运46.5吨;如果用2辆卡车和8辆 小货车运,那么一次能运60吨。1辆卡车每次能运多少吨? 2. 买5本练习本和7支钢笔共用去70.5元,每支钢笔的价钱是每本练习本价钱的6倍。1支钢 笔和1本练习本各多少元? 3. 3头牛和6只羊一天共吃草97.5千克,6头牛和5只羊一天共吃草135.5千克。平均1头牛 和1只羊一天分别吃草多少千克? 4. 小宇和小芳一起去买学习用品。1支钢笔和1瓶墨水各多少元? 5. 淘气买了7盒奶糖,笑笑买了6盒巧克力,两人一共花了58元。互相交换一盒后,两人手里物 品的总价相等,一盒奶糖多少钱? 数学(北师版)五年级 80 四、 画图略 52 五、 1. (1) 西 北 15(或北 西 75) 北 东 35 (或东 北 55) (2) 10×4+15×2=70(千米) 2. 亚洲:32×316=6 (支) 欧洲:6÷613=13 (支) 3. (1) (2) 解:设x 分后两人第一次相遇。 (150+130) x=5600 x=20 4. (1) 三种 第一种:选5张A种铁皮,6×6×6= 216(立方分米) 216立方分米=216升 第二种:选 1张A种铁皮和4张B种铁皮,6×6×7=252(立方 分米) 252立方分米=252升 第三种:选2张A种 铁皮和3张B种铁皮,6×7×6=252(立方分米) 252立方分米=252升 (2) 第二种:6×6×1+6× 7×4=204(平方分米) 第三种:6×6×2+6×7× 3=198(平方分米) 204>198 至少需要198平方 分米的铁皮 (3) 6×7×(6-0.5)=231(立方分米) 105升=105立方分米 231-105=126(立方分米) 5. 2 5+ 9 10-1= 3 10 解析:2 5+ 9 10 的结果除了整体 “1”之外还包括一个获二等奖的占获奖总人数的几分 之几,用2 5 与9 10 的和减去“1”就是获二等奖的占获奖 总人数的几分之几。 2 整合提优(五年级全学年) 专题一 消去问题 [例题导引] 例1 解答:圆珠笔:(12.2-7.8)÷(5-3)= 2.2(元) 铅笔:(12.2-2.2×5)÷2=0.6(元) 例2 解答:香蕉:(29.2×2-53.4)÷(3×2-5)= 5(元) 苹果:(29.2-5×3)÷2=7.1(元) [提优训练] 1. (60-46.5)÷(8-5)=4.5(吨) (46.5-4.5× 5)÷2=12(吨) 2. 练习本:70.5÷(5+7×6)=1.5(元) 钢笔:1.5× 6=9(元) 3. 羊:(97.5×2-135.5)÷(6×2-5)=8.5(千克) 牛:(97.5-8.5×6)÷3=15.5(千克) 4. 钢笔:(52.7×2-32.3×3)÷(5×2-3×3)= 8.5(元) 墨水:(32.3-8.5×3)÷2=3.4(元) 解析:将小宇买的钢笔和墨水的数量都扩大到原来的 3倍,这样小宇买(3×3)支钢笔和(2×3)瓶墨水共付 (32.3×3)元。将小芳买的钢笔和墨水的数量都扩大 到原来的2倍,这样小芳买(5×2)支钢笔和(3×2)瓶 墨水共付(52.7×2)元。52.7×2与32.3×3的差即 为(5×2-3×3)支钢笔的价钱,可以求出1支钢笔的 价钱,进而求出1瓶墨水的价钱。 5. 58÷(7+6×5÷4)=4(元) 解析:首先根据互相 交换一盒后,两人手里物品的总价相等,可得6盒奶 糖的价格+1盒巧克力的价格=1盒奶糖的价格+ 5盒巧克力的价格,据此推得5盒奶糖的价格等于 4盒巧克力的价格,所以6盒巧克力的价格等于(6× 5÷4)盒奶糖的价格;然后根据(7+6×5÷4)盒奶糖 的价格等于58元,求出一盒奶糖的价格是多少即可。 专题二 奇数和偶数问题 [例题导引] 例1 解答:摆渡50次后,小船在南岸;摆渡2023次 后,小船在北岸 例2 解答:1000÷3=333(组)……1(个) 333× 2+1=667(个) [提优训练] 1. 翻动99次后,反面朝上;翻动100次后,正面朝上 2. 奇数 解析:这组数按照奇数、偶数、奇数、偶 数……的顺序排列,第2023个数是奇数。 3. 不会 解析:仔细观察会发现,这串数的前四个数 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)五年级