24.1.4　圆周角 课件-2025—2026学年人教版数学九年级上册

24.1.4 圆周角 R·九年级上册 新课导入 如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB. 问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？ 问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下定义吗？ A B O C (1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它. (2)探究并掌握圆周角定理及其推论. (3)体会“由特殊到一般”“分类” “化归”等数学思想. 问题1:如图1，点A ,D 是圆上任意两点，连接AB，AC，BD，CD. ∠A与∠D相等吗？请说明理由. 合作探究(一） 问题2:如图2，若 ∠M与∠N相等吗？ 图1 图2 1 2 合作要求： 1.先自主学习3-5分钟，学习完毕，举手示意； 2.小组讨论3-4分钟，组长合理分配，展示人员组织好语言，评价人员做好准备，讨论结束举手示意。 1. 同弧或等弧所对的圆周角相等. 圆周角定理推论 ∵∠A，∠D是 所对 的圆周角， ∴∠A=∠D ∵ ∴ ∠M=∠N (1)完成下列填空： ∠1= . ∠2= . ∠3= . ∠5= . 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线. ∠4 ∠8 ∠6 ∠7 A B C D O 1 ( ( ( ( ( ( ( ( 2 3 4 5 6 7 8 (2)如果 ,完成下列填空： ∠1= = = . ∠4 ∠8 ∠2 出现同弧或者等弧时要考虑角相等 跟踪练习 由题悟法： 6 O B C A 如图,△ABC是等边三形,∠BAC与∠BOC的大小有什么关系? (∠BAC与∠BOC分别是弧BC所对的圆周角和圆心角) 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系? 说说你的想法,并与同伴交流. ●O A B C ●O A B C ●O A B C 圆心在角的一边上 圆心在角的内部 圆心在角的外部 探究 · C O A B 即 ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC． 又 ∠AOB=∠OCB+∠OBC ∴∠AOB=2∠OCB 一起探究 AB 1.如图，在⊙O中，AC为直径， ∠AOB和∠ACB分别是　　所对的圆心角和圆周角，你认为∠AOB 与∠ACB的大小具有什么关系？说出你的理由. ⌒ 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 圆周角定理： 推论1：同弧 所对的圆周角相等． 或等弧 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径. 归纳定理 学以致用 120° 1.求圆中角x的度数 B A O . 70° x A O . X 120° B P 35° 11 学以致用 2.在⊙O中，AC=BC，∠B＝75°则 (1)∠C＝ ； (2)若AB=2cm,⊙O的半径为 ㎝. ( ( . A O B C 30° 2 12 做一做 同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等. 1.在一个圆中，并画出AB所对的圆周角能 画多少个？它们有什么关系？ ⌒ · A B D E O C 2.在同圆和等圆中，如果两个弧 相等，它们所对的圆周角一定 相等吗？为什么？反过来呢？ 推论1： 1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 ∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6 练　习 如图， △ABC内接于⊙O, 请思考当∠AOB为180°时, ∠ACB的度数是多少?从而你得到什么结论? 探索半圆或直径所对的圆周角的度数 · A B C O 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径. 结论 同弧或等弧所对的圆周角相等. A1 A2 A3 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 特殊 · O A C B 16 1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°.求∠APC的度数. . O A D C P B 解：连接BC，则∠ACB=90°. ∴∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°. ∴∠BAD=∠DCB=30°. ∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°. 练习 17 2、如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm．∠ACB的平分线交⊙O于点D, 求BC，AD，BD的长． 解：如图，连接OD． 在Rt△ABC中， D C B A O ∴ ∠ACB=∠ADB=90°. ∵AB是直径， 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2， ∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD. ∴ ∠AOD=∠BOD. ∴∠ACD=∠BCD. 18 猜想：圆内接四边形的对角有什么关系呢？ 探究：用量角器量一量∠D， ∠B的度数， ∠A，∠C的度数发现∠D+∠B= ， ∠A+∠C= ，由此发现圆内接四边形的对角______ 证明猜想 180° 180° 互补 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补． 符号语言： ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x，3x，6x， 例2 在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°， ∴ 2x+6x=180°， ∴ x=22.5°. ∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°， ∠D=180°-67.5°=112.5°. 角度比值类型的题目适合运用方程思想来解决，高频题型！ $$