平面向量知识点及典型例题讲义-2024-2025学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第一册

平面向量知识点及典型例题

 

一． 向量的有关概念

1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

2、零向量：长度为0的向量，记作.

3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量．方向上的单位向量是          .

4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行．

5、相等向量：长度相等且方向相同的向量．

6、相反向量：长度相等且方向相反的向量．

【典例1】（多选）下列命题正确的是（      ）

A．若都是单位向量，则.     B．“”是“”的必要不充分条件

C．若都为非零向量，则使＋＝成立的条件是与反向共线   D．若，则

二． 向量的线性运算

三． 向量共线定理

1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.

2、三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。

【例2】已知，，，，则与共线的条件为（　 ）

A．      B．      C．   D．或

【例3】已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ）

A．、、三点共线 B．、、三点共线

C．、、三点共线 D．、、三点共线

知识点4  平面向量基本定理

（1）定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使

（2）基：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一组基．

【例4】给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的一组基的是（    ）

A．和    B． 和  C． 和 D． 和

【例5】设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（   ）

A．             B． 

C．               D．

知识点5  平面向量的数量积

1、向量的夹角

（1）定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角．

（2）范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°.

（3）共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直．

2、平面向量的数量积

（1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则叫做与的数量积(或内积)，

记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即.

（2）几何意义：①数量积等于的长度与在的方向上的投影数量的乘积．

②数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影数量的乘积.

（3）在方向上的投影数量也可以写成，投影数量可正可负可为0，取决于θ角的范围．

（4）在方向上的投影向量为         ，   在向上的投影向量为         .

3、向量数量积的性质

设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：

（1）.   （2）.

（3），同向⇔；，反向⇔.特别地或.