第5章一次函数暑假预习2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第5章 一次函数 暑假预习 一、单选题 1．关于正比例函数，下列结论正确的是（  ） A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限 C．随的增大而增大 D．不论为何值，总有 2．已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．若，则直线一定经过点（　　） A． B． C． D． 4．如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，A的横坐标为2，则k的值为（     ） A． B． C．2 D． 5．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 6．已知一次函数与正比例函数的图象的交点在第四象限，且横坐标是1，则下列判断正确的是（ ） A．且 B．且 C．且 D．且的符号不能确定 7．一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 8．作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有，，三个快递驿站（如图1），甲，乙两架无人机分别从，两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输冷链包裹至快递驿站．已知甲，乙两架无人机到驿站的距离，，与飞行时间之间的函数关系如图2所示．若甲，乙两架无人机同时到达驿站，则驿站离驿站的距离是（   ） A． B． C． D． 9．直线（均为常数，且）与直线（为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 10．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：，③方程的解是，④不等式的解集是，⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 11．直线与轴的交点坐标为 ． 12．如图，在轴上，在轴上，当四边形的周长最小时，直线的表达式为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数（k为常数，）的图象交于点，则关于x的一元一次不等式的解集是 ． 14．如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点M在y轴上（M不与原点重合），并且使以点A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，则M的坐标为 ． 15．某湿地修复项目中，研究人员需监测两种关键水质指标－－溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线描述，污染物浓度由直线描述．已知在第天时，溶解氧浓度与污染物浓度相等（均为），对应交点．当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围是 ． 三、解答题 16．如图，已知函数的图像与轴交于点，一次函数（）的图像经过点，与轴及函数的图像分别交于点，，且点的坐标为． (1)直接写出________，________，________． (2)求四边形的面积． (3)轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．一条笔直的公路上依次有、、三地，甲车从地出发，沿公路经地行驶到地；甲车出发1小时后乙车从地出发，沿公路行驶到地．甲、乙两车匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地，乙车到达目的地后原地休息．甲、乙两车之间的距离（）与甲车行驶时间（）的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)、两地的距离为________，甲车行驶速度为________，乙车行驶速度为________； (2)乙车出发________小时，乙车与地的距离是甲车与地距离的2倍． (3)求图中线段所在直线的函数解析式； 18．如图，已知直线经过点、，直线（）． (1)求直线的解析式； (2)若，直线与轴交于点，直线与交于点． ①求点的坐标； ②直接写出面积． 19．如图1，延安既是华夏民族的发祥地之一，又是中国革命圣地，曾被喻为中国革命的灯塔，是国务院首批公布的历史文化名城．为了追寻红色印记，传承红色基因，某校组织一批学生前往延安进行为期一周的红色研学活动，他们从汉中出发匀速行驶至西安后，停车休息了2小时，然后从西安出发继续匀速行驶至延安，他们距离延安的路程与行驶时间x（小时）之间的关系如图2所示． 请你根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段y与x之间的函数关系式； (2)他们从西安出发多久后，距离延安的路程还剩？ 20．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、点，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，连接，过点作交直线于点，求证：； (3)若点是直线上一点，点是轴上一点（点不与点重合），当与全等时，在线段上求出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第5章 一次函数 暑假预习2025-2026学年苏科版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A A B A C B C 1．B 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的一般形式，当时，图象经过第二、四象限，且随的增大而减小．通过代入点坐标验证选项，结合函数性质逐一排除错误选项即可． 【详解】A．当时，，图象不经过点，错误； B．因，函数图象经过第二、四象限，正确； C．因，随的增大而减小，错误； D．当时，，此时不小于0，错误． 2．C 【分析】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据得到y随x的增大而减小，据此比较判断即可解答． 【详解】解：∵点，都在直线上， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，将选项中所给点的坐标代入验证，符合的特征即可，据此可解决问题． 【详解】解：将点代入得，，不符合的形式，所以A选项不符合题意． 将点代入得，，不符合的形式，所以B选项不符合题意． 将点代入得，，即，不符合的形式，所以C选项不符合题意． 将点代入得，，即，符合的形式， 所以D选项符合题意． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，理解题意，得到点的坐标，代入计算即可． 【详解】解：一次函数的图象与的图象相交于点A，A的横坐标为2， ∴把代入得，， ∴， 把点代入得，， 解得，， 故选：A ． 5．A 【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形内部，不符合题意， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了一次函数交点问题． 由两函数交点横坐标为1且在第四象限，可得交点坐标为，且．联立方程可得，结合代数恒等式推导出，从而确定正确选项． 【详解】解：∵两函数交点横坐标是1， ∴一次函数交点纵坐标，正比例函数交点纵坐标 即交点坐标为， ∵交点在第四象限， ∴． 由交点处函数值相等，得： ∵， ∴， ∴ ∴ 故选：B． 7．A 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴当时，， 选项中只有3符合要求， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是从图中获取信息来求解，根据到的距离大于到的距离，得到到的距离为，理由待定系数法求出与之间的函数关系式，再根据两架无人机用的时间相同，即可解答． 【详解】解：设与之间的函数关系式为， 根据题意得：， 解得， 与之间的函数关系式为， 当时，，解得； 故甲无人机的速度为：， 驿站离驿站的距离是：． 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了利用一次函数的图象求不等式的解集，根据直线与直线的交点坐标是，由图象可知不等式的解集是． 【详解】解：由图象可知：直线与直线的交点坐标是， 在交点的左侧，即时，，即， 在交点的右侧，即时，，即， 关于的不等式的解集为． 故选：B． 10．C 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴，故①正确； ∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于， ∴，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确； ∴正确的一共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 11． 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点情况，解一元一次方程，根据直线与x轴的交点坐标纵坐标建立等式求解，即可解题． 【详解】解∶当时，， 解得， ∴直线与轴的交点坐标为， 故答案为∶． 12． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称——最短路线问题，根据轴对称的性质作出图形是关键； 取A关于y轴的对称点，取B关于x轴的对称点 ，连接，交x轴于C，交y轴于D，根据轴对称和两点之间线段最短可得的长即为的最小值，根据点、点坐标即可得出直线解析式． 【详解】解：如图，取A关于y轴的对称点，取B关于x轴的对称点 ，连接，交x轴于C，交y轴于D，此时的长即为的最小值，即四边形的周长最小， 设直线的解析式为，点关于y轴的对称点的坐标是，点关于x轴的对称点的坐标是， ， 解得， 直线的解析式为， 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查根据两直线的交点求不等式的解集，先求得交点坐标为，然后找出正比例函数图象位于一次函数图象上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】解：由题意，将代入中，得，解得， ∴， 由图可得，当时，正比例函数图象位于一次函数图象上方部分， ∴关于x的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 14．、或 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以求得点A和点的坐标，再根据勾股定理，可以得到的长，然后利用分类讨论的方法可以求得点的坐标． 【详解】解：一次函数， 当时，，当时，， 点A的坐标为，点的坐标为， ，， ， 当点在点上方时，此时， 点的坐标为； 当点在点的下方时，此时， 点的坐标为； 当时，点在轴的负半轴上时，此时点的坐标为； 由上可得，点的坐标为、或， 故答案为：、或． 15． 【分析】本题考查了一次函数与不等式的应用，先求得的值，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：∵在上， ∴ 解得： 根据函数图象可得，当时， 溶解氧浓度不低于污染物浓度， 故答案为：． 16．(1)，， (2) (3)或或或 【分析】本题属于一次函数综合题，涉及知识点有运用待定系数法求一次函数解析式、两直线的交点坐标、等腰三角形的性质、坐标与图形性质，勾股定理等知识点，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． （1）对于直线，令求出的值，确定出的坐标，把坐标代入中求出的值，再将坐标代入求出的值，进而将坐标代入求出的值即可； （2）过作垂直于轴，如图1所示，四边形面积等于梯形面积减去三角形面积，求出即可； （3）设，求出，，，分三种情况，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，得到，即， 把代入中，得：， 把代入得：，即， 把坐标代入中得：，即； （2）解：过作轴，垂足为，如图1所示， 由（1）可知：直线的解析式为， ∴令，解得：， ∴， ， ； （3）解：设， ∵， ∴，，， ①当时，则， ∴，即， ∴， ∴或（与点B重合，舍去）， ∴； ②当时，则， ∴， ∴， ∴或， ∴或； ③当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述点P的坐标为或或或． 17．(1)420，100，60 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了函数图象、一次函数应用以及一元一次方程的应用，通过函数图象获得所需信息是解题关键． （1）由图象可知，A、C两地的距离为，B、C两地的距离为，再分别确定乙车行驶速度时间和甲车行驶时间，然后根据“速度路程时间”求解即可； （2）设乙车出发小时，分甲车到达B地前和甲车到达B地后两种情况，分别列方程求解即可； （3）首先确定点的坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由图像可知，A、C两地的距离为， B、C两地的距离为，则乙车行驶速度为， ∵乙车比甲车早小时到达目的地， ∴甲车行驶总时间为， ∴甲车行驶速度为， 故答案为：420，100，60； （2）解：设乙车出发小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍， 当甲车到达B地前，可有， 解得， 当甲车到达B地后，可有， 解得， ∴乙车出发小时或小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍； （3）解：由（1）可知，甲车行驶速度为， 则点的纵坐标为，即， 两车相遇的时间为， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴线段所在直线的函数解析式为． 18．(1) (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）①联立得，求解即可；②设直线与y轴交于点M，求出，，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线经过点， ， ， ∴直线的解析式为； （2）解：①当时，直线 联立得：， 解得：， ∴点坐标为， 故答案为：， ②，理由如下： 如图，设直线与y轴交于点M， 在中，当时，，当时，， ，， ，， ， ． 19．(1) (2)3小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题关键是掌握待定系数法求一次函数的解析式． （1）利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）中解析式即可． 【详解】（1）解：设图中段y与x之间的函数关系式为． 根据题意可得点C的横坐标为， ∴，， ∴， 解得：， ∴图中段y与x之间的函数关系式为； （2）解：令，得， 解得， （小时）， ∴他们从西安出发3小时后，距离延安的路程还剩． 20．(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）先求得直线与两坐标轴的交点，再根据旋转的性质得出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，设的解析式，利用待定系数法可求得其解析式； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得，再接合，可得； （3）当与全等时，分，，，三种情况，分别求出P点的坐标． 【详解】（1）解：由直线， 当时，； 当时，，解得：， ∴， 绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴， ， ∴， 设的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为：； （2）∵将绕坐标原点逆时针旋转得到， ，， 又， ， ， ， ， ， 又， ； （3）如图， ， ， ， ，， ，， ， ∴， 作轴， 则， ∴， ∴点坐标； ②， ， ，， ∴点坐标； ③， ， ，， ∴，， ∴， ∴点P坐标； 综上所述，和全等时，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形与坐标，勾股定理，一次函数的综合应用，解题关键是利用待定系数法求出一次函数解析式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$