专题02 分式与分式方程中的规律探究和新定义型问题的四种考法（压轴题专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题02 分式与分式方程中的规律探究和新定义型问题的四种考法 目录 1 类型一、分式中的规律探究问题 1 类型二、分式方程中的规律探究问题 2 类型三、分式中的新定义型问题 4 类型四、分式方程中的新定义型问题 7 10 类型一、分式中的规律探究问题 分式规律探究题解题技巧：先观察分式结构，找分子分母数字变化规律，如等差、等比等。再尝试代入简单数值验证规律，确定通项公式。 例1．设是实数，不大于的最大整数记作，如，令，则的值为（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 变式1-1．一列数，，，……满足，，，……以此类推，且规定：，，，……，其中m为正整数，则以下说法中正确的有（    ） ① ②当时， ③若恒成立，则 A．0 B．1 C．2 D．3 变式1-2．已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为； （即，） 第二次操作：将，作和，结果记为：作差，结果记为； （即，） 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：． ①；②当时，；③若，则； ④在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值： ⑤在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，； 以上结论正确的个数有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 变式1-3已知．即当为于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 类型二、分式方程中的规律探究问题 解分式方程规律探究题，先找分式方程中各分式系数、次数等变化规律。代入简单数值求解，观察解的规律。总结规律，写出通式。验证通式，确保正确。 例2．观察下列等式：； ； ； …… (1)【观察猜想】根据以上规律归纳出： ①______________．（不填中间式子） ②_______________．（不填中间式子） (2)【论证猜想】请证明②这个等式． (3)【拓展运用】根据以上规律，求的值． 变式2-1．观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：_____； (2)写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明． 变式2-2．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，…，则依据此规律 ； ②请你利用十字相乘法进行因式分解： ； (2)若、满足．求的值； (3)受此启发，解方程． 变式2-3．观察下列算式： 、、 (1)由此可推断：_______； (2)请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； (3)仿照以上方法可推断：_______； (4)仿照以上方法解方程：． 类型三、分式中的新定义型问题 解分式中的新定义型问题，先理解新定义含义，将新定义转化为数学表达式。根据新定义，代入给定值进行计算。观察计算结果，找出规律。将规律应用于问题求解，验证答案正确性。 例3．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：．以下结论： ①；②；③存在4个整数使得的值为整数． 正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式3-1．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 变式3-2材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 变式3-3阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 类型四、分式方程中的新定义型问题 解分式方程新定义题，先精准理解新定义，将其转化为分式方程形式。依定义代入数据，规范解方程，注意检验根合理性。总结解题规律，灵活运用新定义解题，确保答案准确。 例4．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 变式4-1阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 变式4-2新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 变式4-3阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 一、单选题 1．对分式进行如下操作：将与相加，结果记为，称为第一次操作；将第一次操作的结果减去，结果记为，称为第二次操作；将第二次操作的结果与相加，结果记为，称为第三次操作；…，以此类推，下列说法： ①第七次操作的结果． ②若成立，则的值有且只有1个； ③若存在唯一的值使得（，且为整数）成立，则． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．对于实数a和b，定义一种新运算“⊗”即这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 3．观察下列方程及其解：①，②，③．（①由，得或，②由，得或，③由，得或．）找出其中的规律，求关于x的方程（n为正整数）的解是 ． 4．定义：形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为，则，．如果关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，且），那么 三、解答题 5．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 6．观察：； ； ； (1)计算：； (2)若的值是，求的值． 7．阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与、与都是“臻美数对”． 解决如下问题： (1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由； (2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数． 8．给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 9．定义：若两个分式的差的绝对值为，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与，其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”； (3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 10.【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 分式与分式方程中的规律探究和新定义型问题的四种考法 目录 1 类型一、分式中的规律探究问题 1 类型二、分式方程中的规律探究问题 6 类型三、分式中的新定义型问题 11 类型四、分式方程中的新定义型问题 16 24 类型一、分式中的规律探究问题 分式规律探究题解题技巧：先观察分式结构，找分子分母数字变化规律，如等差、等比等。再尝试代入简单数值验证规律，确定通项公式。 例1．设是实数，不大于的最大整数记作，如，令，则的值为（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算，数字规律的探究．先找到规律，利用裂项相消法求得，再计算得到，据此求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， 故选：A． 变式1-1．一列数，，，……满足，，，……以此类推，且规定：，，，……，其中m为正整数，则以下说法中正确的有（    ） ① ②当时， ③若恒成立，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了分式的规律性问题； ①根据题意求出，再根据和之间的关系求和即可；②根据题意求出，表示出 ，然后计算时的值即可；③根据得出，移项得，求出的最值，即可得到m的取值范围． 【详解】解：①由题意得：，，，…， ∴， ∴， ∴，正确； ②由题意得：， ， ，…， ∴， ∴ ， ∴当时，，错误； ③∵，恒成立， ∴恒成立，即， ∵， ∴，正确； 综上，正确的有2个， 故选：C． 变式1-2．已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为； （即，） 第二次操作：将，作和，结果记为：作差，结果记为； （即，） 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：． ①；②当时，；③若，则； ④在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值： ⑤在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，； 以上结论正确的个数有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】通过计算确定第2n个式子的变化规律和第2n-1个式子的变化规律，然后确定一般形式，进行判定即可． 【详解】解： ， ， ，， ， ， ，， …… 当2n-1为奇数时（1除外）， ，， 当2n为偶数时， ，， ∵，故①正确； 当x=1时，M2+M4+M6+M8==30 ，故②错误； ，解得x=1或-2（不合题意，舍去），故③正确； 当n=2k-2时，=x，x不是定值，故④错误； 由规律知，⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题考查分式的化简以及探究式子的规律，解决问题的关键是确定式子的变化规律． 变式1-3已知．即当为于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】先找到规律的值每6个一循环，再求出，由，可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， …， ∴的值每6个一循环， ∵ ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每6个一循环是解题的关键． 类型二、分式方程中的规律探究问题 解分式方程规律探究题，先找分式方程中各分式系数、次数等变化规律。代入简单数值求解，观察解的规律。总结规律，写出通式。验证通式，确保正确。 例2．观察下列等式：； ； ； …… (1)【观察猜想】根据以上规律归纳出： ①______________．（不填中间式子） ②_______________．（不填中间式子） (2)【论证猜想】请证明②这个等式． (3)【拓展运用】根据以上规律，求的值． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）①x右下角的角码是第一个幂分母的底数，角码加上1就是第二个幂分母的底数，结果是常数1加上角码与相邻较大的整数积的倒数，找到规律，计算即可． ②角码为n，相邻整数n+1，规律一般化即可． （2）通分，运用完全平方公式计算即可． （3）根据计算后，两边分别求和计算即可． 【详解】（1）①； 故答案为：． ②， 故答案为：． （2）证明：左边 右边． （3）由题意可知，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了等式中规律问题，正确发现恒等式中的规律是解题的关键． 变式2-1．观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：_____； (2)写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已有等式的形式求解即可； （2）根据等式推出一般性规律，求解，证明即可． 【详解】（1）解：由题意得：第个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第个等式：，整理得：， 第个等式：，整理得：， 第个等式：，整理得：， ∴第个等式为：， 证明：， ， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式规律的探究．解题的关键在于根据已知的等式形式推导出一般性规律． 变式2-2．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，…，则依据此规律 ； ②请你利用十字相乘法进行因式分解： ； (2)若、满足．求的值； (3)受此启发，解方程． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得． ②． 故答案为：①；②； （2）解：∵，满足，即 ∴，， 解得：，． ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 变式2-3．观察下列算式： 、、 (1)由此可推断：_______； (2)请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； (3)仿照以上方法可推断：_______； (4)仿照以上方法解方程：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查数字找规律问题．，以及解分式方程，解题关键是根据已知分析发现蕴含的规律． （1）根据题意将42分解为得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律得出答案； （3）本题的分子是2，可以考虑把分母写成相差为2的两个数相差，然后仿照算式规律写成即可． （4）本题的分子是3，分母两个数的差是3，故同样可以用算式规律，需要注意，比大，放在前面． 【详解】（1）解：， （2）根据题意可得： （3） （4） 即， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 类型三、分式中的新定义型问题 解分式中的新定义型问题，先理解新定义含义，将新定义转化为数学表达式。根据新定义，代入给定值进行计算。观察计算结果，找出规律。将规律应用于问题求解，验证答案正确性。 例3．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：．以下结论： ①；②；③存在4个整数使得的值为整数． 正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式化简、整数解的存在性问题等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． ①先根据题意求得即可判定①；②设，进而得到、，然后求和即可判断②；需逐一验证三个结论的正确性；③先求出，进而得到，即为整数，据此确定x的可能取值即可判定③． 【详解】解：①由递推式，代入得：，故结论①正确． ②设，由递推式得．初始值．依次计算： ，求和得： ，故结论②错误． ③：由，故．比值需为整数．变形为：，要求为整数，即为的约数（）．解得为整数且分母非零的情况有： ，解得：； ，解得：； ，解得：； 共3个整数解，但题目中结论为“存在4个整数”，故结论③错误． 综上，仅结论①正确． 答案选B． 变式3-1．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】(1)①③ (2)； (3)3 (4)2或8 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． （4）解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 变式3-2材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 【答案】(1) (2)或0 (3)3 【分析】（1）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后得出结果； （2）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后，根据分式的值为整数和x是整数，得到关于x的方程求解； （3）设，则，将它代入，再化简，然后将，代回，配方后求出最小值． 【详解】（1）解：设，则， ∴原式， ∴； （2）解：设，则， ∴原式， ∴， ∵分式的值为整数， ∴ 或或， 又x是整数， ∴ ，解得：或0； （3）解：设，则， ∴原式， ∴， 当时，解得，满足，此时代数式有最小值3． 【点睛】本题考查了分式加减乘除混合运算，通过对完全平方公式变形求值，利用完全平方式来求解，分式最值等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 变式3-3阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式 (2) (3)时，最大值为7 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，约分即可得到答案； （3）由（2）可得：，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等，则是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： （3）由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 类型四、分式方程中的新定义型问题 解分式方程新定义题，先精准理解新定义，将其转化为分式方程形式。依定义代入数据，规范解方程，注意检验根合理性。总结解题规律，灵活运用新定义解题，确保答案准确。 例4．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 变式4-1阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 【答案】(1)，； (2)这的水不能倒完，理由见解析； (3)经过次操作之后能达到． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断； （3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：∵ ， ∴这的水不能倒完； （3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为 ， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴经过次操作之后能达到． 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 变式4-2新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 变式4-3阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 一、单选题 1．对分式进行如下操作：将与相加，结果记为，称为第一次操作；将第一次操作的结果减去，结果记为，称为第二次操作；将第二次操作的结果与相加，结果记为，称为第三次操作；…，以此类推，下列说法： ①第七次操作的结果． ②若成立，则的值有且只有1个； ③若存在唯一的值使得（，且为整数）成立，则． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减法运算，根据题意找出数字的变化规律式解题的关键． 根据题意找规律，再进行分式的运算求解． ①通过计算前七次操作的结果，发现每次操作所添加x系数绝对值递增1，符号交替变化，第七次操作结果正确． ②若所有操作结果相等，可由，得，解得唯一解． ③当k为偶数时，设（n正整数），由，得，，得，由存在唯一的值，得，得，；当k为奇数时，设，得，得，，n不存在，k不存在； 题目中不满足，故③错误． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ， 正确． ②若，则每次操作后结果不变． 由，得，即， 解得时成立． 代入验证所有， 唯一解成立． ③当k为偶数时，设（n正整数）， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵存在唯一的值， ∴， ∴， ∴（舍去）， 或， ∴， ∴； 当k为奇数时，设， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去）， 或， ∴（舍去）， ∴n不存在，k不存在； 综上，， 不正确， 故③错误． 综上，正确说法为①和②，共2个， 故选：C． 2．对于实数a和b，定义一种新运算“⊗”即这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故选：A． 2、 填空题 3．观察下列方程及其解：①，②，③．（①由，得或，②由，得或，③由，得或．）找出其中的规律，求关于x的方程（n为正整数）的解是 ． 【答案】或 【分析】先写出第个方程及其解，将所求方程转化为，再将作为整体写出方程的解即可． 【详解】解：根据题意，得： 第个方程为， 解为：或， 方程可化为： 即， 或， 解得：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了解分式方程及分式方程的解，弄清楚题目中的规律再由整体思想进行解方程是解题关键． 4．定义：形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为，则，．如果关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，且），那么 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、分式方程等知识点；理解“十字分式方程”的定义以及题目中的答题方法是解题的关键．把原方程变形为，再结合运用“十字分式方程”求得，最后代入运算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题 5．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要查了分式的混合运算，解分式方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据异分母分式减法法则计算即可； （2）根据新定义，列出方程，即可求解； （3）根据题意可得，再由新定义，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴A与B是互为“差离分式”，差离值为2； （2）解：由题意可得：， 即， ∴， 即， ∴， 解得：； （3）解： ； ∵P与Q互为“差离分式”，， ∴， ∴， ∴． 6．观察：； ； ； (1)计算：； (2)若的值是，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用拆项法变形计算即可求解； （）利用拆项法变形得到原式为，再根据值是，得到分式方程，解方程即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，解分式方程，掌握拆项法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴． 7．阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与、与都是“臻美数对”． 解决如下问题： (1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由； (2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1)是，理由见详解 (2)，理由见详解；证明见详解 (3) 【分析】本题考查了整式的加减、分式的运算和分式方程，读懂题意是解题关键． （1）根据“臻美数对”的定义即可求解； （2）结合“臻美数对”的定义及整式的加减即可求解； （3）由（2）的结合分式的加减即可求解． 【详解】（1）解：将与各自的十位数字和个位数字交换位置可得：， ， 与是“臻美数对； （2），理由如下： 由题意得： ， 移项合并同类项可得： ， 左右两边同时除以9可得： ； 两“臻美数对”的和为： 两“臻美数对”的和是的倍数； （3）这两个数为“臻美数对”， 即 解得：， ，； ，， 这两个数分别为：． 8．给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可； （2）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入方程中求解即可； （3）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入分式方程中求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， ∴是关于的分式方程的“方程数对”； ②当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， 故不是关于的分式方程的“方程数对”， 故答案为：①； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 解得； （3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 则， ∵， ∴． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解题中定义，掌握分式方程的解满足分式方程是解答的关键． 9．定义：若两个分式的差的绝对值为，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与，其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”； (3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 【答案】(1)②③； (2)见解析； (3)或． 【分析】（1）根据分式运算，“友好分式组”的定义即可求解； （2）根据“友好分式组”的定义，分式的运算法则即可求证； （3）根据“友好分式组”的定义，求出的关系，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ∴属于“友好分式组”的有②③， 故答案为：②③． （2）解：∵互为倒数， ∴，， ∴ ， ∴分式与属于“友好分式组”． （3）解：∵ ， ∵与属于“友好分式组”， ∴， ∴或， ①，②， 把①代入， 把②代入， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题主要考查定义新运算，理解定义新运算的法则，掌握分式的运算法则是解题的关键． 10.【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①；②． 【分析】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键． （1）根据友好分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】解：（1）∵, ∴与是“友好分式” 故答案为：是； （1）设的“友好分式”为N，则， ， ； （3）①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为：； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 据此可得， 整理得 ∴． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$