3.2.2奇偶性 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

从生活中这些图片中你感受到了什么? ？ 一、欣赏引入 对称美 这些几何图形中又体现了什么 我们学过的函数图象中,有没有具有对称性的图象? x y 1 -1 x y 1 -1 x y 1 -1 y x o 3.2.2奇偶性 3.2 函数的基本性质 x y 1 -1 从形上看函数的图象关于y轴的对称, f(-x) ＝ f(x) x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … … y x o … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … … 那么形的特征反映在数上又有什么规律? 当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等 偶函数 6 4 2 0 2 4 6 二、新知探究 函数y=f(x)的图象 关于y轴对称 1.对定义域中的任意一 个x， -x也是在定义域内； 2.都有f(x)=f(-x) 一般地，设函数f(x) 的定义域为I，如果∀x∈ I ，都有-x∈ I ，且f(-x)= f(x)，那么函数y=f(x) 就叫做偶函数. 偶函数 定义中， f(-x)= f(x)的常见变形有：   一般地，设函数f(x) 的定义域为I，如果∀x∈ I ，都有-x∈ I ，且f(-x)= f(x)，那么函数y=f(x) 就叫做偶函数. 由定义知，偶函数的定义域关于原点对称. 一般地，设函数f(x) 的定义域为I，如果∀x∈ I ，都有-x∈ I ，且f(-x)= f(x)，那么函数y=f(x) 就叫做偶函数. 自主探究 （1）函数f(x)=x2， x R 是不是偶函数？ （2）函数f(x)=x2，x [-2,3]是不是偶函数？ （3）函数f(x)=x2，x [-3,3]是不是偶函数？ O x y -3 3 偶函数的定义域应该满足什么条件？ 是 不是 是 O x y O x y -2 3 2 9 1.下列说法是否正确，为什么？ （1）若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数． （2）若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x)不是偶函数． 。 （A） （B） （C） 2.下列函数是否为偶函数，为什么？ 【思考】 要点强调 ☆ 对偶函数前提条件的特别说明 定义域关于原点对称。 [a ,b] [-b,-a] x o 即对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量 判断是不是偶函数？ 图像特征：关于y轴对称。 （2）解析式：f（-x）=f（x） （1）定义域：关于原点对称（前提） 偶函数满足的条件 O x y 12 x y x -x x y x -x 观察下列两个函数图象并思考以下问题： x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？ f(-x) ＝-f(x) 当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值也是相反数. 函数y=f(x)的图象 关于原点对称 1.对定义域中的每一个x， -x是也在定义域内； 2.都有f(-x)=-f(x) 一般地，设函数f(x) 的定义域为I，如果∀x∈ I,都有-x∈ I ，且f(-x)= -f(x)，那么函数y=f(x) 就叫做奇函数. 奇函数 定义中， f(-x)= -f(x)的常见变形有：   一般地，设函数f(x) 的定义域为I，如果∀x∈ I,都有-x∈ I ，且f(-x)= -f(x)，那么函数y=f(x) 就叫做奇函数. 如果奇函数在 x=0处有定义，则f(0)=0. 由定义知，奇函数的定义域关于原点对称. 一般地，设函数f(x) 的定义域为I，如果∀x∈ I,都有-x∈ I ，且f(-x)= -f(x)，那么函数y=f(x) 就叫做奇函数. 例1：请判断下列函数的奇偶性 判定函数奇偶性基本方法: ①定义法: 先看定义域是否关于原点对称, 再看f(-x)与f(x)的关系. ②图象法: 看图象是否关于原点或y轴对称. 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性. 用定义判断函数奇偶性的步骤： 求定义域 定义域 是否关于 原点对称 非奇非偶函数 看f(x) 与f(-x)的关系 若f（-x）=f（x）， 则为偶函数 若f（-x）=-f（x），则为奇函数 Y N 若f（-x）=f（x）且 f（-x）= -f（x）， 则为既奇又偶函数 判断 若f（-x）f（x）且 f（-x） - f（x）， 则为非奇非偶函数 例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性. y x y x y x x y 练习： （1）函数 　　　　的大致图象可能是（　）　　　　　　 　 (2)判断函数　 的奇偶性;如图是函数　　　　　图象的一部分，请根据函数奇偶性画出它在y轴左侧的部分。 例2.判断下列函数的奇偶性： (1) (2) (3) (4) 偶函数 非奇非偶函数 奇函数 非奇非偶函数 判断下列函数的奇偶性 o o o o x x x x y y y y ５ y＝５ 0 y x 偶函数 y x 0 y＝０ 是奇函数也是偶函数 (5) (6) 函数按奇偶性可分为四类 25 用定义法判断函数奇偶性解题步骤: (1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称; (2)求f(-x)，找 f(x)与f(-x)的关系; 若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x),则f(x)是奇函数. (3)下结论. f(x)是偶函数或奇函数 或非奇非偶函数或既是奇函数又是偶函数。 给出函数 判断定义域 是否对称 结论 是 f(-x)与f(x) 否 常见函数（一次函数，反比例函数，二次函数）的奇偶性： 28 解 29 例3.已知y=f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2 +2x-1 ， (1)求f(-1). (2)当x<0时，求f(x). (3) 求f(x)在R上的表达式. 求函数解析式 定义法求函数解析式的注意事项 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)． 31 x(x＋1) 32 类型二　如何判断函数的奇偶性 例2　(1)f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性； 解析答案 解　∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数. f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数. f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数. 解析答案 跟踪训练2　(1)f(x)，g(x)定义在R上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，试判断y＝f(x)g(x)，y＝f [g(x)]的奇偶性； 解　∵f(x)，g(x)定义在R上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是奇函数. f [g(－x)]＝f [g(x)]，y＝f [g(x)]是偶函数. 函数奇偶性的性质 (3) (4) (5) 变式训练 2 已知函数f(x)是R上的偶函数，在（-  ，0]上的图像如图，你能试作出[0,+  ）的图像吗？ y x 0 36 变式训练 3 已知函数f(x)是R上的奇函数，在（-  ，0]上的图像如图，你能试作出[0,+  ）的图像吗？ y x 0 37 小结 1.根据图象判断函数的奇偶性 2.根据定义判断函数的奇偶性 3.根据性质判断图象的奇偶性 4.根据奇偶性求函数解析式 5.奇偶性和单调性的综合应用 函数 奇偶性 一次函数y=kx+b(k≠0) 当b=0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数 奇函数 二次函数 当b=0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 练习　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|；(2)f(x)＝eq \f(\r(2－x2),|x＋2|－2)；(3)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x>0，,0，x＝0，,－x2－2，x<0.)) 解：(1)f(x)的定义域是R，关于原点对称， 又f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，故f(x)是偶函数． (2)x的取值必须满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x2≥0，,|x＋2|－2≠0，))解得－eq \r(2)≤x<0或0<x≤eq \r(2)， 它关于原点对称．于是|x＋2|－2＝x＋2－2＝x，从而f(x)＝eq \f(\r(2－x2),x)， 显然它是奇函数． (3)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当x＝0时，f(0)＝0. 故f(x)为奇函数． 练习：已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)， 则当x>0时，f(x)＝________． 解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)·(－x－1)＝x(x＋1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以当x>0时，f(x)＝x(x＋1)． $$