4.2 认识一次函数 导学案 2025-2026学年 北师大版数学八年级上册

4．2认识一次函数 导学案 【学习目标】理解正比例函数和一次函数的概念，会判断一个函数是否是一次函数或正比例函数. 【学习重难点】能根据条件列出函数关系式，能用一次函数与正比例函数解决简单的实际问题. 【导学过程】一.知识回顾: 1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是（　　） A．B．C．D． 2．使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．x≤6 D．x≤0 3．某长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（x＞0），面积为ycm2，则y与x的关系式为________． 二.探究新知： 引例1.某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm. (1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表: x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm (2)写出y与x之间的关系式.解：________. 引例2.某辆汽车油箱中原有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L. (1)完成下表: 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 250 耗油量y/L (2)写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式.__________. (3)写出邮箱剩余油量Z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式.________ (4)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢? 答： ( 一次函数的定义 ： 若两个变量x,y间的 对应 关系可以表示成 y=kx+b ( k,b 为常数, k ≠ 0) 的形式,则称 y 是 x 的一次函数( x 是自变量, y 为因变量).特别地,当 b=0 时, 称 y 是 x 的正比例函数. )思考：这些函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和. 练习：1.下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ （1）y=-x-4________________________.（2）y=5x2+6_______________________ (3)y=2πx_______________________. (4) _______________________. 2.下列说法正确的是（ ）A.一次函数是正比例函数.B.正比例函数不是一次函数. C.不是正比例函数就不是一次函数.D.正比例函数是一次函数. 注意：①k≠0；②x的次数为1；③常数k可以取任意非零实数；④正比例函数是一种特殊的一次函数. 三.典例与练习： 例1.写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数? (1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系； 解：__________________________________________________ (2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系； 解：___________________________________________________ (3)某水池里有水15m3 ，先打开进水管进水，进水水速为5m3/h，x小时后，水池内有水ym3 . 解：__________________________________________________ 练习1.当______时，函数y=(6+3m)x+4n-4是一次函数；当______时函数y=(6+3m)x+4n-4是正比例函数. 练习2.甲乙两地相距264千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶24千米，t小时后，停在途中加水，则所剩路程s与行驶时间t之间的关系式是______，s是t的____函数. 例2.某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3分钟),超过50次后,每次0.2元. (1)写出每月电话费y(元)与通话次数x(x＞50)的函数关系式； (2)求出月通话150次的电话费；(3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数. 解： 四.课堂小结：一次函数、正比例函数定义及一般形式. 五.分层过关： 1.（1）y＝πx，（2）y＝2﹣1﹣3x，（3）y＝2﹣3x2，（4）y＝﹣x+2，（5）y＝ 一次函数共有（ ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 2.下列函数中，是正比例函数的是（ ） A．y＝x﹣2 B．y＝ C．y＝﹣8x D．y＝2x2﹣1 3．若函数y＝2+（k+1）是关于y是x的一次函数，则k＝____； 若关于y是x的正比例函数，则k＝___． 4.已知点（a-2，4）的坐标符合正比例函数y=2x(k≠0)，则a=___. 5．已知：y与x﹣1成正比例，且当x＝2时，y＝﹣4． （1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，2）的坐标符合这个函数关系式，求a的值． 解： 6．已知y是关于x的一次函数，下列表列出了部分对应值： x … ﹣2 ﹣1 0 1 a … y … ﹣3 m 1 3 5 … 求此一次函数的表达式及a，m的值． 解： 7．出租车车费计价标准为：3km以内（含3km）8元，超出3km的部分1.6元/km． （1）佳佳乘出租车行驶4km，应付车费多少元?（2）佳佳付车费16元，那么出租车行驶了多少km? （3）直接写出车费y(元)与行驶路程x(km)之间的关系式．(其中x≥3) 解 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4．2认识一次函数 导学案 【学习目标】理解正比例函数和一次函数的概念，会判断一个函数是否是一次函数或正比例函数. 【学习重难点】能根据条件列出函数关系式，能用一次函数与正比例函数解决简单的实际问题. 【导学过程】一.知识回顾: 1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是（　C　） A． B． C． D． 2．使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是（　C　） A．x≥6 B．x≥0 C．x≤6 D．x≤0 3．某长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（x＞0），面积为ycm2，则y与x的关系式为y=x(12-x)． 二.探究新知： 引例1.某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm. (1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表: x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3 3+0.5 3+0.5×2 3+0.5×3 3+0.5×4 3+0.5×5 (2)写出y与x之间的关系式.解：y=3+0.5x 引例2.某辆汽车油箱中原有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L. (1)完成下表: 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 250 耗油量y/L 0 6×1 6×2 6×3 6×4 6×5 (2)写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式.y= (3)写出邮箱剩余油量Z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式.z=60- (4)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢? 答：汽车行驶路程x不可能无限增大,∵汽油只有60L,每行驶50km耗油6L,行驶500km后,z=0,∴x≤500,0≤z≤60. ( 一次函数的定义 ： 若两个变量x,y间的 对应 关系可以表示成 y=kx+b ( k,b 为常数, k ≠ 0) 的形式,则称 y 是 x 的一次函数( x 是自变量, y 为因变量).特别地,当 b=0 时, 称 y 是 x 的正比例函数. )思考：这些函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和. 练习：1.下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ （1）y=-x-4 它是一次函数，不是正比例函数.（2）y=5x2+6 它不是一次函数，也不是正比例函数 （3）y=2πx 它是一次函数，也是正比例函数.（4） 它不是一次函数，也不是正比例函数. 2.下列说法正确的是（ D ）A.一次函数是正比例函数.B.正比例函数不是一次函数. C.不是正比例函数就不是一次函数.D.正比例函数是一次函数. 注意：①k≠0；②x的次数为1；③常数k可以取任意非零实数；④正比例函数是一种特殊的一次函数. 三.典例与练习： 例1.写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数? (1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系； 解：由路程=速度×时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数； (2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系； 解：由圆的面积公式,得y=πx2,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数； (3)某水池里有水15m3 ，先打开进水管进水，进水水速为5m3/h，x小时后，水池内有水ym3 . 解：y=5x+15，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数. 练习1.当m≠-2时，函数y=(6+3m)x+4n-4是一次函数；当m≠-2,n=1时函数y=(6+3m)x+4n-4是正比例函数. 练习2.甲乙两地相距264千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶24千米，t小时后，停在途中加水，则所剩路程s与行驶时间t之间的关系式是S=264-24t，s是t的一次函数. 例2.某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3分钟),超过50次后,每次0.2元. (1)写出每月电话费y(元)与通话次数x(x＞50)的函数关系式； (2)求出月通话150次的电话费；(3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数. 解：(1)根据题意得:y=25+(x-50)×0.2,即y=0.2x+15；（x>50）(2)当x=150时,y=0.2×150+15=45； (3)∵53.6＞25,可知通话次数大于50次,即当y=53.6时,求x的值,53.6=0.2x+15,解得x=193（次）. 四.课堂小结：一次函数、正比例函数定义及一般形式. 五.分层过关： 1.（1）y＝πx，（2）y＝2﹣1﹣3x，（3）y＝2﹣3x2，（4）y＝﹣x+2，（5）y＝ 一次函数共有（B）个． A．4 B．3 C．2 D．1 2．下列函数中，是正比例函数的是（C）A．y＝x﹣2 B．y＝ C．y＝﹣8x D．y＝2x2﹣1 3．若函数y＝2+（k+1）是关于y是x的一次函数，则k＝±1；若关于y是x的正比例函数，则k＝-1． 4.已知点（a-2，4）的坐标符合正比例函数y=2x(k≠0)，则a=4. 5．已知：y与x﹣1成正比例，且当x＝2时，y＝﹣4． （1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，2）的坐标符合这个函数关系式，求a的值． 解：(1)设y=k(x-1)(k≠0),当x=2时，y=-4,即：-4=k(2-1),∴k=-4 ∴这个函数关系式为：y=-4(x-1),即：y=-4x+4. (2)把点(a,2)代入解析式得：2=-4a+4,解得：a=0.5 6．已知y是关于x的一次函数，下列表列出了部分对应值： x … ﹣2 ﹣1 0 1 a … y … ﹣3 m 1 3 5 … 求此一次函数的表达式及a，m的值． 解：设y=kx+b(k,b是常数，k≠0),当x=0时，y=1,即得:b=1;当x=1时，y=3,即得：k=2,∴一次函数表达式为：y=2x+1.当x=-1时，y=m，即得：m=-1;当x=a时，y=5,即得：a=2. 7．出租车车费计价标准为：3km以内（含3km）8元，超出3km的部分1.6元/km． （1）佳佳乘出租车行驶4km，应付车费多少元?（2）佳佳付车费16元，那么出租车行驶了多少km? （3）直接写出车费y(元)与行驶路程x(km)之间的关系式．(其中x≥3) 解（1）8+1.6=9.6元,（2）设出租车行驶xkm（x大于3）8+（x-3）×1.6=16解得x=8出租车行驶8km （3）y=（x-3）×1.6+8 =1.6x+3.2（x≥3） www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$