2025年四川省达州市中考数学试卷

2025年四川省达州市中考数学试卷 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1．（4分）如果收入100元记作+100元，那么支出40元应记作（　　） A．+60元 B．+40元 C．﹣40元 D．﹣60元 2．（4分）如图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形．其主视图为（　　） A． B． C． D． 3．（4分）“悟空”号全海深AUV是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器．具备在11000米深海自主作业的能力．数据11000用科学记数法表示为（　　） A．0.11×105 B．1.1×104 C．1.1×105 D．11×103 4．（4分）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若∠1+∠2＝35°，则∠AFB的度数为（　　） A．35° B．55° C．70° D．145° 5．（4分）下列各式运算结果为a6的是（　　） A．a3+a3 B．a3•a3 C．a12÷a2 D．（a3）3 6．（4分）小明随机抽查爱民小区6户家庭几均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：m3）．关于这组数据，下列说法正确的是（　　） A．众数是5 B．中位数是6 C．平均数是6 D．极差是3 7．（4分）《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（4分）下列说法正确的是（　　） A．两点之间线段最短 B．平行四边形是轴对称图形 C．若有意义，则x的取值范围是全体实数 D．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分 9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（　　） A．21 B．14 C．13 D．9 10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题4分.共20分） 11．（4分）因式分解：m2+2m＝　 　 ． 12．（4分）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　 　 ． 13．（4分）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是 　 　 ． 14．（4分）化简： 　 　 ． 15．（4分）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换．现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2为第二次变换，…，经γ（n，180°）变换得△AnBn∁n，则点C2025的坐标是　 　 ． 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16．（12分）（1）计算：（1）0﹣（﹣1）2+|﹣2|； （2）解不等式：，并把解集表示在数轴上． 17．（10分）项目调研 项目主题 阳光学校学生研学需求情况调查 调查人员 数学兴趣小组 调查方法 抽样调查 调研内容 阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学.5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔． 数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地） 统计数据 请阅读上述材料，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整，查向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是 　 　 ； （2）若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数； （3）甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率． 18．（7分）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作∠AOB的平分线OP 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上，即得OP为∠AOB的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 　 　 ； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS，ASA或HL，②　 　 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务：（1）请你将上述讨论得出的依据补充完整； （2）完成对丙同学作法的验证． 已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求证：OP平分∠AOB． 19．（8分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y（m≠0）交于点A（2，2），点B（﹣4，a）． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点P在x轴上，S△AOP＝3，求点P的坐标． 20．（8分） 为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值） 21．（9分）归纳与应用 归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙． （1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质 ①　 　 ； ②　 　 ； ③　 　 ． （2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，BE∥AC，AE∥BD，试帮他判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论． 22．（8分）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　 　 件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 23．（8分）如图．在⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切线，PA＝PB，点C，D，E分别是线段AB，AP，BP上的动点．连接CD，CE，∠DCE＝∠P＝α． （1）试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若α＝60°，CD：CE＝1：2，试求4AD+BE与⊙O半径r的数量关系． 24．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，3），顶点为M． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BC，过第四象限内抛物线上一点作BC的平行线．交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接AF，当∠AFE＝90°时，求Rt△AFE内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接CA，CE，当点F在△AEC的内角平分线上，BC上的动点P满足MPBP的值最小时，求△BPE的面积． 25．（10分）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的效量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在△ABC中，AC＝BC，P是AB边上一点，过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F，连结CP，由图形面积分割法得：S△ABC＝S△APC+　 　 ，则AF＝　 　 +　 　 ； 实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC＝3，点G是AB边上一点．连结CG，将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，连结GF交BC于P，过点P作PD⊥GC于D，PE⊥CF于E，当AG＝1时，求PD+PE的值； 拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，AC，BE是弦，AC＝BE，P是AB上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB＝10，AD＝2，BD＝4，求S△PAC+S△PBE的值． 2025年四川省达州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C． B B． A B A A A C D 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1．（4分）如果收入100元记作+100元，那么支出40元应记作（　　） A．+60元 B．+40元 C．﹣40元 D．﹣60元 【解析】解：“正”和“负”相对，所以，如果收入100元记作+100元，那么支出40元应记作﹣40元． 故选：C． 2．（4分）如图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形．其主视图为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：从正面看该组合体，底层是两个正方形，上层的右边是一个正方形． 故选：B． 3．（4分）“悟空”号全海深AUV是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器．具备在11000米深海自主作业的能力．数据11000用科学记数法表示为（　　） A．0.11×105 B．1.1×104 C．1.1×105 D．11×103 【解析】解：11000＝1.1×104． 故选：B． 4．（4分）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若∠1+∠2＝35°，则∠AFB的度数为（　　） A．35° B．55° C．70° D．145° 【解析】解：∵AC∥OF， ∴∠1＝∠AFO， ∵BC∥OF， ∴∠2＝∠BFO， ∵∠1+∠2＝35°， ∴∠AFB＝∠AFO+∠BFO＝∠1+∠2＝35°， 故选：A． 5．（4分）下列各式运算结果为a6的是（　　） A．a3+a3 B．a3•a3 C．a12÷a2 D．（a3）3 【解析】解：A．原式＝2a3，故本选项不符合题意； B．原式＝a6，故本选项符合题意； C．原式＝a10，故本选项不符合题意； D．原式＝a9，故本选项不符合题意． 故选：B． 6．（4分）小明随机抽查爱民小区6户家庭几均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：m3）．关于这组数据，下列说法正确的是（　　） A．众数是5 B．中位数是6 C．平均数是6 D．极差是3 【解析】解：将数据按照从小到大排列为：3，4，5，5，6，7， A．众数是5，说法正确，符合题意； B．中位数是5，原说法错误，不符合题意； C．平均数是5，原说法错误，不符合题意； D．极差是：7﹣3＝4，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 7．（4分）《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设每头牛值x金，每头羊值y金， ∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金， ∴， 故选：A． 8．（4分）下列说法正确的是（　　） A．两点之间线段最短 B．平行四边形是轴对称图形 C．若有意义，则x的取值范围是全体实数 D．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分 【解析】解：A、两点之间线段最短，故A符合题意； B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意； C、若有意义，则x的取值范围是x≥1，故C不符合题意； D、三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分，故D不符合题意； 故选：A． 9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（　　） A．21 B．14 C．13 D．9 【解析】解：∵DE垂直平分线段AB， ∴BD＝AD， ∴△BDC的周长＝BC+DB+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝8+5＝13． 故选：C． 10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，c＞0， ∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0）， 当x＝﹣1时y＞0， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故结论③④正确； ∴，即b＝﹣4a＜0，b+4a＝0，故结论②正确； ∴abc＜0，故结论①正确， 综上，说法正确的有4个， 故选：D． 二、填空题（每小题4分.共20分） 11．（4分）因式分解：m2+2m＝　m（m+2）　 ． 【解析】解：m2+2m＝m（m+2）． 故答案为：m（m+2）． 12．（4分）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　2　 ． 【解析】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 13．（4分）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是 　4π　 ． 【解析】解：∵圆锥的底面半径为2， ∴扇形的弧长为2π×2＝4π． 故答案为：4π． 14．（4分）化简： 　　 ． 【解析】解：∵ ， 故答案为：． 15．（4分）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换．现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2为第二次变换，…，经γ（n，180°）变换得△AnBn∁n，则点C2025的坐标是　　 ． 【解析】解：过点C作CD⊥x轴， ∵△ABC为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴C1是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转180°，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，，⋯， ∴，，，…， ∴， ∵2025＝2×1013﹣1， ∴， 即， 故答案为：． 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16．（12分）（1）计算：（1）0﹣（﹣1）2+|﹣2|； （2）解不等式：，并把解集表示在数轴上． 【解析】解：（1）（1）0﹣（﹣1）2+|﹣2| ＝1﹣1+2 ＝2； （2）， 3（3x﹣1）≤2（2x+1）， 9x﹣3≤4x+2， 9x﹣4x≤2+3， 5x≤5， x≤1， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 17．（10分）项目调研 项目主题 阳光学校学生研学需求情况调查 调查人员 数学兴趣小组 调查方法 抽样调查 调研内容 阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学.5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔． 数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地） 统计数据 请阅读上述材料，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整，查向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是 　90°　 ； （2）若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数； （3）甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率． 【解析】解：（1）参加研学的总人数为20÷10%＝200（名）， 参加D研学基地人数为200×15%＝30（名）， 参加A研学基地人数为200﹣50﹣40﹣30﹣10＝60（名）， 条形统计图补充为： 参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数为360°90°， 故答案为：90°； （2）2000600（名）， 所以估计全校参加A研学基地的学生人数为600名； （3）画树状图为： 共有6种等可能的结果，两位同学选择相同研学基地的结果数为2， 所以两位同学选择相同研学基地的概率． 18．（7分）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作∠AOB的平分线OP 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上，即得OP为∠AOB的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 　SSS　 ； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS，ASA或HL，②　等腰三角形的三线合一　 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务：（1）请你将上述讨论得出的依据补充完整； （2）完成对丙同学作法的验证． 已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求证：OP平分∠AOB． 【解析】（1）解：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是SSS； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS，ASA或HI，②等腰三角形的三线合一． 故答案为：SSS，等腰三角形的三线合一； （2）证明：∵∠AED＝∠AOB， ∴ED∥OB， ∴∠EPO＝∠POB， ∵EO＝EP， ∴∠EOP＝∠EPO， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴OP平分∠AOB． 19．（8分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y（m≠0）交于点A（2，2），点B（﹣4，a）． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点P在x轴上，S△AOP＝3，求点P的坐标． 【解析】解：（1）∵双曲线经过点A（2，2），B（﹣4，a）， ∴m＝2×2＝4＝﹣4a， ∴a＝﹣1， ∴B（﹣4，﹣1），反比例函数解析式为：， ∵直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（2，2），点B（﹣4，﹣1）， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）∵点P在x轴上，S△AOP＝3， ∴， ∴， ∴OP＝3， ∴点P的坐标为（3，0）或（﹣3，0）． 20．（8分） 为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值） 【解析】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 设BD＝x米， ∵AB＝x米， ∴AD＝AB+BD＝（x+30）米， 在Rt△ACD中，∠CAD＝30°， ∴CD＝AD•tan30°（x+30）米， 在Rt△BCD中，∠CBD＝45°， ∴CD＝BD•tan45°＝x（米）， ∴x（x+30）， 解得：x＝1515， ∴CD＝（1515）米， ∴无人机离湖面的高度为（1515）米． 21．（9分）归纳与应用 归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙． （1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质 ①　a2+b2＝c2　 ； ②　∠A+∠B＝90°　 ； ③　sinA，cosA，tanA　 ． （2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，BE∥AC，AE∥BD，试帮他判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论． 【解析】解：（1）①a2+b2＝c2， ②∠A+∠B＝90°； ③sinA，cosA，tanA； 故答案为：a2+b2＝c2；∠A+∠B＝90°；sinA，cosA，tanA； （2）四边形ADBE是菱形， 证明：∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形ADBE是平行四边形， ∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点， ∴BD＝ADAC， ∴四边形ADBE是菱形． 22．（8分）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　（60+10x）　 件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【解析】解：（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 （60+10x） 件， 故答案为：（60+10x）； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：（40﹣30﹣x）（60+10x）＝630， 整理可得：x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， 由于要让利于游客，x＝1 舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则W＝（40﹣30﹣x）（60+10x） ＝（10﹣x）（60+10x） ＝﹣10x2+40x+600 ＝﹣10（x﹣2）2+640， ∵﹣10＜0， ∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 23．（8分）如图．在⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切线，PA＝PB，点C，D，E分别是线段AB，AP，BP上的动点．连接CD，CE，∠DCE＝∠P＝α． （1）试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若α＝60°，CD：CE＝1：2，试求4AD+BE与⊙O半径r的数量关系． 【解析】解：（1）PB是⊙O的切线，理由如下： 如图，连接OA，OB， ∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO， ∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA， ∵PA是⊙O的切线， ∴∠PAO＝∠BAO+∠PAB＝90°， ∴∠PBO＝∠ABO+∠PBA＝90°， 又∵OB是⊙O的半径， ∴PB是⊙O的切线； （2）∵∠P＝60°，PA＝PB， ∴△ABP是等边三角形， ∴AB＝PA＝PB，∠PAB＝∠PBA＝60°， ∵∠DCE＝60°， ∴∠BCE+∠ACD＝180°﹣∠DCE＝120°， ∴∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠PAB＝120°， ∴∠ADC＝∠BCE， ∴△ADC∽△BCE， ∴， ∵， ∴，AC， ∴4AD+BE＝2BC+2AC＝2AB， 如图，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于点F，则， ∵PA是⊙O的切线， ∴∠PAO＝90°， ∴∠OAF＝∠PAO﹣∠PAB＝90°﹣60°＝30°， ∴在Rt△AOF中，AO＝r，， ∴， ∴， ∴． 24．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，3），顶点为M． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BC，过第四象限内抛物线上一点作BC的平行线．交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接AF，当∠AFE＝90°时，求Rt△AFE内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接CA，CE，当点F在△AEC的内角平分线上，BC上的动点P满足MPBP的值最小时，求△BPE的面积． 【解析】解：（1）把B的坐标（3，0），C的坐标（0，3）代入抛物线的解析式， 得， 解得， ∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3； （2）①令y＝﹣x2+2x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OBC＝45°， ∵EF∥BC， ∴∠FEA＝∠CBO＝45°， ∴当∠AFE＝90°时，△AEF是等腰直角三角形，且FA＝FE， ∴EO＝AO＝FO＝1， ∴△AEF的外接圆直径是 AE＝2， ∴则其外接圆的半径 R＝1， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ②∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点M的坐标是（1，4）， ∴直线x＝1与x轴的交点T的坐标是（1，0）， 作PQ⊥x轴于点P， 则在直角三角形BPQ中，， ∴， ∴当M、P、Q三点共线且MQ⊥x轴时，的值最小，此时Q、T重合， 当点F在△AEC的内角∠ACE的平分线上即∠ACO＝∠ECO时，如图， ∵∠COA＝∠COE＝90°，CO＝CO， ∴△ACO≌△ECO， ∴AO＝EO＝1， ∴E、T重合， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴直线BC的解析式是y＝﹣x+3， 当x＝1时，y＝2， ∴点P的坐标是（1，2）， ∴BE＝PE＝2， ∴， 当点F在△AEC的内角∠CAE的平分线上时， 如图，作FK⊥AC于点K，则OF＝KF， 设OF＝KF＝a，则CF＝3﹣a， ∵sir，且， ∴， 解得， ∴， ∵EF∥BC， ∴∠OEF＝∠OBC＝45°， ∴， ∴， ∴， 由于∠OEF＝45°，∠OEC＜90°， ∴点F不可能在△AEC 的内角∠AEC 的平分线上， 当点E，F重合于点O时，此时OF平分∠AEC即点F在∠AEC的平分线上， 符合题意，则BE＝BO＝3， ∴， 综上：△BPE 的面积为2或3或． 25．（10分）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的效量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在△ABC中，AC＝BC，P是AB边上一点，过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F，连结CP，由图形面积分割法得：S△ABC＝S△APC+　S△BPC　 ，则AF＝　PD　 +　PE　 ； 实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC＝3，点G是AB边上一点．连结CG，将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，连结GF交BC于P，过点P作PD⊥GC于D，PE⊥CF于E，当AG＝1时，求PD+PE的值； 拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，AC，BE是弦，AC＝BE，P是AB上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB＝10，AD＝2，BD＝4，求S△PAC+S△PBE的值． 【解析】解：探究发现：由图可知S△ABC＝S△APC+S△BPC AC•PDBC•PE BC•（PD+PE） ， ∴AF＝PD+PE， 故答案为：S△BPC，PD，PE； 实践应用：如图，过G作GM⊥AG于点M， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， 在Rt△AMG中，AG＝1， ∴AM＝AG•cos30°，GM＝AG•sin60°， ∵AC＝3， ∴CM＝AC﹣AM， 在Rt△CGM中，CG， ∵线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF， ∴CG＝CF，∠GCF＝60°， ∴△CGF为等边三角形， ∴GF＝CF＝CG，∠F＝60°， 过G作GN⊥CF于点N， 在Rt△GFN中，GN＝GF•sin60°， 由（探究发现）可知PD+PE＝GN； 拓展延伸：如图，延长AC、BE交于点Q，连接BC，过P作PM⊥BE于点M， 设CD＝x，则AC＝2+x， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝10，BD＝4， ∴在Rt△ACB中，BC2＝AB2﹣AC2＝100﹣（2+x）2， 在Rt△BCD中，BC2＝BD2﹣CD2＝（4）2﹣x2， ∴100﹣（2+x）2＝（4）2﹣x2， 解得x＝4； ∵BE＝AC＝2+4＝6， ∴， ∴，即， ∴∠ABE＝∠BAC， ∴△ABQ为等腰三角形， ∵AC⊥DP，BC⊥AC，PM⊥BE， ∴由（探究发现）可知BC＝PD+PM， 在Rt△ABC中，BC8， ∴PD+PM＝8， ∴S△PAC+S△PBE AC•PDBE•PM ＝3（PD+PM） ＝3×8 ＝24． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$