2025年山东省枣庄市中考数学试卷

2025年山东省枣庄市中考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 3．（3分）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为（　　） A．9×107 B．0.9×108 C．9×108 D．0.9×109 5．（3分）已知a≠0，则下列运算正确的是（　　） A．﹣2a+3a＝5a B．（﹣2a3）2＝4a6 C．a2﹣a＝a D．a6÷a2＝a3 6．（3分）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形．若函数y（x＞0）的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为（　　） A．0＜x≤2 B．x≥2 C．0＜x≤4 D．x≥4 10．（3分）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x＝2000时，y有最大值 C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y＝0.4时，x＝600 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）写出使分式有意义的x的一个值　 　 ． 12．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移2个单位长度，得到的对应点P′的坐标是　 　 ． 13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　 ． 14．（3分）取直线y＝﹣x上一点A（x1，y1），①过点A1作x轴的垂线，交y于点A（x2，y2）；②过点A2作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A3（x3，y3）；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点A1的坐标为（1，﹣1），则点A2025的坐标是 　 　 ． 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是 　 　 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（8分）（1）计算：||π0；（2）先化简，再求值：（x2﹣1）（1），其中x＝2． 17．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，如图1． （1）求∠ADC的度数； （2）已知AB＝3，分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F．如图2，求DF的长． 18．（8分）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． （1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； （2）已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？ 19．（10分）在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的pH值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的pH值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的pH值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 7.00≤x＜7.30 7.30≤x＜7.60 7.60≤x＜7.90 7.90≤x＜8.20 8.20≤x≤8.50 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：b＝　 　 ，c＝　 　 ； （3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由； （4）已知两基地对水体pH值的日变化量（pH值最大值与最小值的差）要求为0.5～1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求． 20．（10分）如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D．AC是∠BAD的平分线． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，∠AOB＝45°，求CB的长． 21．（9分）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D．用游标卡尺测量出CC′的长度y． 【问题解决】 已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的长度要求是1.9cm∼2.1cm． （1）求∠BAO的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y＝7.52cm．根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求．（参考数据：1.73） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 22．（11分）已知二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b），其中a，b为两个不相等的实数． （1）当a＝0、b＝3时，求此函数图象的对称轴； （2）当b＝2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）若点A（a，y1），B（，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得y1+my2+y3＝0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 23．（11分）【图形感知】 如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，AD＝2，AB＝4． （1）求CD的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段CD上取一点E，连接BE．将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D′分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D′恰好落在边BC上，延长A′D′交CD于点F，如图2．判断四边形DBA′F的形状，并说明理由； ②乙：点A′恰好落在边BC上，如图3．求DE的长； （3）如图4，连接DD′交BE于点P，连接CP．当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 2025年山东省枣庄市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C． B A D D A B 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 【解析】解：数轴上表示﹣2的点是M． 故选：A． 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：A、C、D中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A、C、D不符合题意； B、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意． 故选：B． 3．（3分）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：从正面看，是一行三个相邻的矩形． 故选：C． 4．（3分）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为（　　） A．9×107 B．0.9×108 C．9×108 D．0.9×109 【解析】解：9亿＝900000000＝9×108． 故选：C． 5．（3分）已知a≠0，则下列运算正确的是（　　） A．﹣2a+3a＝5a B．（﹣2a3）2＝4a6 C．a2﹣a＝a D．a6÷a2＝a3 【解析】解：A、﹣2a+3a＝a，故该项不正确，不符合题意； B、（﹣2a3）2＝4a6，故该项正确，符合题意； C、a2与a不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意； D、a6÷a2＝a4，故该项不正确，不符合题意； 故选：B． 6．（3分）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：把以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品分别记为A、B、C， 列表如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的结果有1种， ∴甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是， 故选：A． 7．（3分）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：根据题意得：， 故选：D． 8．（3分）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 【解析】解：如图：连接AB、DC相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴AC＝BC＝4，OA＝OB， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：D． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形．若函数y（x＞0）的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为（　　） A．0＜x≤2 B．x≥2 C．0＜x≤4 D．x≥4 【解析】解：∵四边形OABC是面积为4的正方形，设点B的坐标为（b，b）， ∴b2＝4，解得：b＝2（已舍弃负值）， ∴点B的坐标为 （2，2）， ∵函数的图象经过点B， 满足y≥2的x的取值范围为0＜x≤2， 故选：A． 10．（3分）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x＝2000时，y有最大值 C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y＝0.4时，x＝600 【解析】解：A、当x≥1000时，y随x的增大先增大，后减小，故A选项错误，不符合题意； B、∵抛物线过点（1000，0.6），（3000.0.6）， ∴抛物线的对称轴为：直线x2000， ∵抛物线的开口向下， ∴x＝2000时，y有最大值， 故B选项正确，符合题意； C、由图象可得：当y＝0.6时，x1＝1000，x2＝3000， ∴当y≥0.6时，1000≤x≤3000， 故C选项错误，不符合题意； D、由图象可得当y＝0.4时，x对应的值有2个，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）写出使分式有意义的x的一个值　2（答案不唯一）　 ． 【解析】解：若分式有意义， 则2x﹣3≠0， 那么x≠1.5， 因此x＝2， 故答案为：2（答案不唯一）． 12．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移2个单位长度，得到的对应点P′的坐标是　（3，2）　 ． 【解析】解：由题知， 将点P（3，4）向下平移2个单位长度后，所得点P′的坐标是（3，2）． 故答案为：（3，2）． 13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　m＞﹣4　 ． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0， 即Δ＝42+4m＞0， 解得m＞﹣4． 故答案为：m＞﹣4． 14．（3分）取直线y＝﹣x上一点A（x1，y1），①过点A1作x轴的垂线，交y于点A（x2，y2）；②过点A2作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A3（x3，y3）；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点A1的坐标为（1，﹣1），则点A2025的坐标是 　（1，﹣1）　 ． 【解析】解：已知A1（1，﹣1），过点A1作x轴的垂线，交y于点A2， ∵作x轴垂线时，横坐标不变， ∴A2的横坐标x2＝1， 把x＝1代入y，得y21， ∴A2（1，1）． 过点A2作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A3，作y轴垂线时，纵坐标不变， ∴A3的纵坐标为y3＝1， 把y＝1代入y＝﹣x，得1＝﹣x，即x3＝﹣1， ∴x3＝﹣1， ∴A3（﹣1，1）， 过点A3作y轴的垂线，交y于点A4， 作x轴垂线时，横坐标不变， ∴A4的横坐标x4＝﹣1， 把x＝﹣1代入y，得y41， ∴A4（﹣1，﹣1）， 过点A4作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A5， 作y轴垂线时，纵坐标不变， ∴A5的纵坐标y5＝﹣1， 把y＝﹣1代入y＝﹣x，得﹣1＝﹣x，即x5＝1， ∴A5（1，﹣1）， ∴观察可得，每4个点为一个循环周期， ∴2025÷4＝506…1， ∴A2025坐标与A1相同， ∴A2025的坐标为（1，﹣1）， 故答案为：（1，﹣1）． 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是 　4.8　 ． 【解析】解：如图，过M作MN⊥AP于N， ∴∠ANM＝∠ABC＝90°， ∵∠MAN＝∠CAB， ∴△AMN∽△ACB， ∴MN：BC＝AM：AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∵四边形PAQB是平行四边形， ∴AMAB＝3，PQ＝2PM， ∴MN：8＝3：10， ∴MN＝2.4， ∵PM≥MN， ∴PQ≥2MN＝4.8， ∴PQ的最小值是4.8． 故答案为：4.8． 三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（8分）（1）计算：||π0； （2）先化简，再求值：（x2﹣1）（1），其中x＝2． 【解析】解：（1）原式3+1 ＝1+1 ＝2； （2）原式＝（x+1）（x﹣1）（） ＝（x+1）（x﹣1）• ＝（x﹣1）（x+2） ＝x2+x﹣2， 当x＝2时， 原式＝4+2﹣2＝4． 17．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，如图1． （1）求∠ADC的度数； （2）已知AB＝3，分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F．如图2，求DF的长． 【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵∠BAC的平分线AD交BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠ADC＝180°﹣30°﹣30°＝120°； （2）由（1）知：∠ACD＝∠CAD＝30°， ∴AD＝CD，∠ADB＝60°， ∴∠CDF＝60°， 如图2，连接CF， 由作图过程可知：MN是CD的垂直平分线， ∴FC＝FD， ∴△CDF是等边三角形， ∴FC＝FD＝CD＝AD， ∵AB＝3，∠BAD＝30°， ∴AD2， ∴DF＝AD＝2． 18．（8分）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． （1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； （2）已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？ 【解析】解：（1）y＝6x+5， ∴蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式为y＝6x+5． （2）根据题意，得0.4（6x+5）×0.3＝4.2， 解得x＝5． 答：注水5小时可供发电4.2万千瓦时． 19．（10分）在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的pH值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的pH值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的pH值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 7.00≤x＜7.30 7.30≤x＜7.60 7.60≤x＜7.90 7.90≤x＜8.20 8.20≤x≤8.50 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：b＝　7.67　 ，c＝　7.79　 ； （3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由； （4）已知两基地对水体pH值的日变化量（pH值最大值与最小值的差）要求为0.5～1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求． 【解析】解：（1）由题意得：a＝24﹣4﹣2﹣9﹣2＝7， 补全频数分布直方图如下： （2）在甲基地水体的pH值数据中7.67出现的次数最多，故众数b＝7.67； 把乙甲基地水体的pH值数据从小到大排列，排在中间的两个数分别是7.77，7.81，故中位数c7.79， 故答案为：7.67，7.79； （3）甲基地水体的pH值更稳定，理由： 因为甲基地水体的pH值的方差比乙基地水体的pH值的方差小，所以甲基地水体的pH值更稳定； （4）甲基地水体的pH值的极差为：8.26﹣7.27＝0.99＜1，乙基地水体的pH值的极差为：8.21﹣7.11＝1.1＞1， 所以甲基地的pH值符合要求，乙基地的pH值不符合要求． 20．（10分）如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D．AC是∠BAD的平分线． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，∠AOB＝45°，求CB的长． 【解析】（1）证明：∵AD⊥OB于点D， ∴∠ADB＝90°， ∵AC是∠BAD的平分线， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝∠OAD+∠BAC，∠OCA＝∠B+∠BAC， ∴∠OAD+∠BAC＝∠B+∠BAC， ∴∠OAD＝∠B， ∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠B+∠BAD＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AB⊥OA， ∴AB为⊙O的切线． （2）解：∵∠OAB＝90°，∠AOB＝45°， ∴∠B＝∠AOB＝45°， ∴AB＝OA， ∵⊙O的半径为2， ∴AB＝OA＝OC＝2， ∴OBOA＝2， ∴CB＝OB﹣OC＝22， ∴CB的长是22． 21．（9分）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D．用游标卡尺测量出CC′的长度y． 【问题解决】 已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的长度要求是1.9cm∼2.1cm． （1）求∠BAO的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y＝7.52cm．根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求．（参考数据：1.73） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 【解析】解：（1）∵⊙O分别与AC，AD相切于点B，D， ∴AB＝AD，； （2）∵钢柱的底面圆半径为1cm， ∴BC＝OB＝1， ∵∠OAB＝30°，∠OBA＝90°， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵1.9＜2.06＜2.1， 该部件l的长度符合要求； （3）能，将圆柱换成正方体． 22．（11分）已知二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b），其中a，b为两个不相等的实数． （1）当a＝0、b＝3时，求此函数图象的对称轴； （2）当b＝2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）若点A（a，y1），B（，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得y1+my2+y3＝0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【解析】解：（1）当a＝0，b＝3 时，二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）可化为：y＝x（x﹣0）+（x﹣0）（x﹣3）+x（x﹣3）＝3x2﹣6x， ∴此函数图象的对称轴为直线； （2）当 b＝2a时，二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）可化为：y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣2a）+x（x﹣2a）＝3x2﹣6ax+2a2， ∴抛物线对称轴为直线， ∵3＞0， ∴抛物线开口方向向上， ∵在0≤x≤1时，y随x的增大而减小， ∴a≥1， ∵在3≤x≤4时，y随x的增大而增大， ∴a≤3， ∴1≤a≤3； （3）若点A（a，y1），B（，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上， ∴y＝a（a﹣a）+（a﹣a）（a﹣b）+a（a﹣b）＝a2﹣ab， y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）＝3x2﹣2（a+b）x+ab， ∴ ， ； ∵y1+my2+y3＝0， ∴， 整理得：， ∵a，b为两个不相等的实数， ∴a﹣b≠0， ∴，解得：m＝4． 23．（11分）【图形感知】 如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，AD＝2，AB＝4． （1）求CD的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段CD上取一点E，连接BE．将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D′分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D′恰好落在边BC上，延长A′D′交CD于点F，如图2．判断四边形DBA′F的形状，并说明理由； ②乙：点A′恰好落在边BC上，如图3．求DE的长； （3）如图4，连接DD′交BE于点P，连接CP．当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【解析】解：（1）∵∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴△ADB∽△DBC， ∴， ∵∠BAD＝90°，AD＝2，AB＝4， ∴， ∴， ∴； （2）①四边形DBA'F是矩形，理由如下， 由折叠的性质得∠A＝∠A'＝90°，∠ABD＝∠A'BD'， ∵∠ABD+∠DBC＝∠ABC＝90°， ∴∠A'BD＝∠A'BD'+∠DBC＝90°， ∴四边形DBA'F是矩形； ②延长AD和A'D'相交于点Q，连接BQ， 由折叠的性质得∠A＝∠A'＝90°，∠ABD＝∠A'BD'，∠EBD＝∠EBD'， ∵点A'恰好落在边BC上， ∴AB＝A'B＝4，∠ABA'＝90°， ∴四边形ABA'Q是矩形， ∵AB＝A'B＝4， ∴四边形ABA'Q是正方形， ∵∠ABE＝∠ABD+∠EBD＝∠A'BD'+∠EBD′＝∠A'BE＝0.5×90°＝45°， ∴点E在对角线BQ上， ∴DQ＝AQ﹣AD＝2，， ∵四边形ABA'Q是正方形， ∴AQ∥CB， ∴△DQE∽△CBE， ∴， ∴； （3）由折叠的性质得∠EBD＝∠EBD'，BD＝BD'， ∴BE是线段DD'的垂直平分线， ∴∠BPD＝90°， ∴点P在以BD为直径的⊙O上，连接OC，OP， ∴CP≥OC﹣OP，即点P在OC上时，线段CP存在最小值， ∵， 线段CP的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$