2025年广东省深圳市中考数学试卷

2025年广东省深圳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．（3分）节约水5吨记作+5吨，则浪费水2吨记作（　　） A．﹣3吨 B．+2吨 C．﹣2吨 D．+3吨 2．（3分）如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（　　） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同 3．（3分）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 5．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a4＝a6 B．a3•a3＝a6 C．（a2）3＝a5 D．（a+b）2＝a2+b2 6．（3分）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为（　　） A．22° B．32° C．35° D．122° 7．（3分）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（　　） A．3 B．3 C．2 D．2 8．（3分）如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．（3分）若关于x的方程x+a＝5的解为x＝1，则a＝　 　 ． 10．（3分）如图，将无人机沿着x轴向右平移3个单位，若无人机上一点P的坐标为（1，2），则平移后对应点P′的坐标为 　 　 ． 11．（3分）计算：　 　 ． 12．（3分）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y相交于点A和点B．若A的横坐标为1，则B的坐标为 　 　 ． 13．（3分）如图，以矩形ABCD的B点为圆心，BC的长为半径作⊙B，交AB于点F，点E为AD上一点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转至EG，点G落在⊙B上，且点F为EG中点．若AF＝1，AE＝3，则CD的长为　 　 ． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣3.14）0+（﹣1）2025． 15．（7分）解一元一次方程组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：　 　 ， 由不等式②得：　 　 ， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为 　 　 ． 16．（8分）某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次投票共 　 　 人参与，其中科技安全所占百分比为 　 　 ，并补全条形统计图． （2）为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下： 科技畅想 10 9 9 3 6 9 10 科技故事 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 科技畅想 a b 9 科技故事 8 8 c 求表中的数据：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ． （3）结合上述信息，班会课应该选择哪个科技主题，并说明理由． 17．（8分）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？ 18．（10分）如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE＝CD，AD＝EC． （1）求证：四边形ADCE为菱形； （2）如图2，若点O为AC上一点，且E，A，D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切于点D，①求∠ACD＝　 　 ；②若AC=4,求⊙O的半径r； （3）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线DF∥AC，交BC于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 19．（10分）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　 　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　 　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 20．（12分）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB＝AC，AC＝AD，∠D＝∠BAC．此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD＝CD，∠D＝∠BAC．求：①AD与BC的位置关系为：　 　 ；②AC2　 　 AD•BC．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【方法应用】①如图4，在△ABC中，AC＝BC．将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，cosB，AB＝5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由． 2025年广东省深圳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C D B B A D 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．（3分）节约水5吨记作+5吨，则浪费水2吨记作（　　） A．﹣3吨 B．+2吨 C．﹣2吨 D．+3吨 【解析】解：节约水5吨记作+5吨，则浪费水2吨记作﹣2吨， 故选：C． 2．（3分）如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（　　） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同 【解析】解：这个石墩的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：A． 3．（3分）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：∵某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动， ∴小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为， 故选：C． 4．（3分）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，BC＝10米，AC＝30米， ∴sinA． 故选：D． 5．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a4＝a6 B．a3•a3＝a6 C．（a2）3＝a5 D．（a+b）2＝a2+b2 【解析】解：a2与a4不是同类项，无法合并，则A不符合题意， a3•a3＝a6，则B符合题意， （a2）3＝a6，则C不符合题意， （a+b）2＝a2+2ab+b2，则D不符合题意， 故选：B． 6．（3分）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为（　　） A．22° B．32° C．35° D．122° 【解析】解：∵CB∥OA， ∴∠CBO＝∠BOA＝122°， ∵∠BON＝90°， ∴∠AON＝122°﹣90°＝32°， 故选：B． 7．（3分）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（　　） A．3 B．3 C．2 D．2 【解析】解：∵实际种植人数是原计划人数的2倍，且原计划人数为x人， ∴实际种植人数为2x人． 根据题意得：3． 故选：A． 8．（3分）如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°，OA＝OC， 由折叠可得， AO⊥EF，AG＝GO，∠EOA＝∠EAO＝45°，∠FOA＝∠FAO＝45°，AE＝OE，AF＝FO， ∴AE∥OF，AF∥OE，∠EOF＝90°， ∴四边形AEOF是正方形， ∴EF＝AO，GO＝AGOA， ∴CG＝CO+OG， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．（3分）若关于x的方程x+a＝5的解为x＝1，则a＝　4　 ． 【解析】解：∵关于x的方程x+a＝5的解为x＝1， ∴1+a＝5， 解得：a＝4． 故答案为：4． 10．（3分）如图，将无人机沿着x轴向右平移3个单位，若无人机上一点P的坐标为（1，2），则平移后对应点P′的坐标为 　（4，2）　 ． 【解析】解：由题意得：将点P（1，2）沿着x轴向右平移3个单位， ∴平移后点P的坐标为 （1+3，2），即 （4，2）， 故答案为：（4，2）． 11．（3分）计算：　a﹣1　 ． 【解析】解：原式 ＝a﹣1， 故答案为：a﹣1． 12．（3分）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y相交于点A和点B．若A的横坐标为1，则B的坐标为 　（﹣1，﹣1）　 ． 【解析】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数相交于点A和点B，A的横坐标为1，， ∴a＝1， ∴y＝x， ∴当x＝1时，y＝x＝1， ∴A（1，1）， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点A，B关于原点对称， ∴B（﹣1，﹣1）； 故答案为：（﹣1，﹣1）． 13．（3分）如图，以矩形ABCD的B点为圆心，BC的长为半径作⊙B，交AB于点F，点E为AD上一点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转至EG，点G落在⊙B上，且点F为EG中点．若AF＝1，AE＝3，则CD的长为　6　 ． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°； 在Rt△AEF中，AE＝3，AF＝1，∠A＝90， ∴， ∵点F是EG的中点， ∴， 由旋转得，，∠CEG＝90°， ∴∠AEF+∠CED＝90°， 又∵∠CED+∠DCE＝90°， ∴∠AEF＝∠DCE， 又∵∠D＝∠A＝90°， ∴△EAF∽△CDE， ∴， ∵AE＝3，AF＝1， ∴， 即CD＝3DE，设DE＝m，则CD＝3m， 在Rt△CDE中，DE2+CD2＝CE2， ∴， 解得x＝2 （负值舍去）， ∴CD＝3×2＝6． 故答案为：6． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣3.14）0+（﹣1）2025． 【解析】解：原式＝4+3+1﹣1 ＝8﹣1 ＝7． 15．（7分）解一元一次方程组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：　x≥﹣1　 ， 由不等式②得：　x＜4　 ， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为 　﹣1≤x＜4　 ． 【解析】解：， 解不等式①，得：x≥﹣1， 解不等式②，得：x＜4， 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜4， 故答案为：x≥﹣1；x＜4；﹣1≤x＜4． 16．（8分）某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次投票共 　50　 人参与，其中科技安全所占百分比为 　20%　 ，并补全条形统计图． （2）为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下： 科技畅想 10 9 9 3 6 9 10 科技故事 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 科技畅想 a b 9 科技故事 8 8 c 求表中的数据：a＝ 　8　 ，b＝ 　9　 ，c＝ 　8　 ． （3）结合上述信息，班会课应该选择哪个科技主题，并说明理由． 【解析】解：（1）本次投票人数为：5÷10%＝50（人），科技安全人数为：50﹣14﹣5﹣7﹣14＝10（人）， ∴占比为：， 补全条形统计图为： 故答案为：50，20%； （2）， 将“科技畅想”的打分排列为：3，6，9，9，9，10，10， 则中位数b＝9；在“科技故事”打分中，8分出现次数最多， ∴c＝8， 故答案为：8，9，8； （3）应该选择“科技畅想”，因为给“科技畅想”活动的打高分的人数最多，表示其更受欢迎（答案不唯一）． 17．（8分）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？ 【解析】解：（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元， 选择条件①②： 根据题意得：， 解得， 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； （2）设该学校购买篮球m个，则购买足球（10﹣m）个， 根据题意得：10﹣m≤2m， 解得m， 又∵m≤10， ∴m≤10， 设学校要购买篮球、足球的总费用为w元， 根据题意得：w＝60m+50（10﹣m）＝10m+500， ∵10＞0， ∴w随m的增大而增大， ∵m≤10，且m为正整数， ∴当m＝4时，w最小，最小值为540． 答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元． 18．（10分）如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE＝CD，AD＝EC． （1）求证：四边形ADCE为菱形； （2）如图2，若点O为AC上一点，且E，A，D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切于点D，①求∠ACD＝　30°　 ；②求⊙O的半径r； （3）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线DF∥AC，交BC于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【解析】（1）证明：∵AD＝CE，CD＝AE， ∴四边形ADCE为平行四边形， 又∵∠ACB＝90°，且D为AB中点， ∴， ∴平行四边形ADCE为菱形． （2）解：①∵四边形ADCE为菱形， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠ACD， 又∵OA＝OD＝r， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠COD＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD＝2∠OCD， ∵CD切⊙O于D， ∴∠CDO＝90°， ∴∠COD+∠ACD＝2∠ACD+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝30°； 故答案为：30°； ②设半径为r， ∵AC＝4， ∴OC＝4﹣r， ∵∠ACD＝30°，∠CDO＝90°， ∴， 解得：； （3）由题意，作图如下： 19．（10分）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　18x　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　w＝﹣x2+42x+100　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【解析】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100； 故答案为：18x，w＝﹣x2+42x+100； （2）w＝﹣x2+42x+100＝﹣（x﹣21）2+541， ∴当x＝21时，Wmax＝541； 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人； （3）设开了m条通道， 则：w＝y﹣6mx＝﹣x2+60x+100﹣6mx＝﹣x2+6（10﹣m）x+100， ∴对称轴为x＝3（10﹣m）， ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少， ∴0≤3（10﹣m）≤10，即：， 又∵最多开通9条， ∴， ∵m为正整数， ∴m最小值为7， ∴最少开7条通道． 20．（12分）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB＝AC，AC＝AD，∠D＝∠BAC．此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD＝CD，∠D＝∠BAC．求：①AD与BC的位置关系为：　平行　 ；②AC2　＝　 AD•BC．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【方法应用】①如图4，在△ABC中，AC＝BC．将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，cosB，AB＝5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由． 【解析】【问题解决】解：①∵AB＝AC，DA＝DC，∠BAC＝∠ADC， ∴，， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴AD∥BC； ②∵∠DAC＝∠ACB，∠BAC＝∠ADC， ∴△ABC∽△DAC， ∴， ∴AC2＝BC•CD， ∵CD＝AD， ∴AC2＝BC•AD； 故答案为：①平行；②＝； 【方法应用】①证明：∵△ADE为△ABC旋转得到， ∴AB＝AD， 令∠B＝α，则∠ADB＝α，∠BAD＝180°﹣2α， ∴∠ADE＝∠B＝a， 由旋转得，DE＝BC，AE＝AC， 又∵AC＝BC， ∴EA＝ED， ∴∠DAE＝∠ADE＝α， ∴∠E＝180°﹣2α， ∴∠E＝∠BAD， ∴四边形ABDE为双等四边形； ②解：作AH⊥BC于点H， ∴AB＝5， ∴BH＝3，AH＝4， 设CH＝x，则AC＝BC＝x+3， 在Rt△AHC中，CH2+AH2＝AC2， 即x2+42＝（x+3）2， 解得：， ∴，， 第一种情况：若∠B＝∠D＝∠CAD，CA＝CD时，CD＝AC； 第二种情况：若∠ACB＝∠D＝∠ACD，AD＝AC时， ∴AD＝AC， 作AM⊥CD于点M， ∴CM＝DM， ∴， ∴CMAC， ∴； 第三种情况：若∠D＝∠ACB，DA＝DC时，如图， ∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB＝∠ABC， ∴△CAB∽△DAC， ∴， ∴， ∴； 综上所述：满足条件时，或或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$