第21讲 诱导公式讲义（知识梳理+7大题型+强化训练）-2025年高一数学人教A版（2019）暑假提升

第21讲 诱导公式 目录： 一、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 诱导公式一、二、三、四 ……………………………………………………………1 知识点2 诱导公式五、六、七、八 ……………………………………………………………1 二、题型归纳…………………………………………………………………………1 题型一 给角求值 ………………………………………………………………………………2 题型二 给值（式）求值 ………………………………………………………………………3 题型三 利用诱导公式化简求值 ………………………………………………………………3 题型四 诱导公式的综合应用 …………………………………………………………………4 三、强化训练…………………………………………………………………………4 知识梳理 知识点1 诱导公式一、二、三、四 ……………………………………………………………1 公式一 公式二 公式三 公式四 知识点2 诱导公式五、六、七、八 ，； ，； ，； ， 题型归纳 题型一 给角求值 1．（24-25高一下·广东广州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·云南楚雄·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·全国·课后作业）求值： (1)； (2)； (3)． 【方法总结】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 ⑴“负化正”；⑵“大化小”；⑶“小化锐”；⑷“锐求值” 题型二 给值（式）求值 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（   ） A．     B．     C．     D． 2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江西南昌·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·全国·周测）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【方法总结】解决给值（式）求值问题的策略 ⑴首先要仔细观察条件式与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系. ⑵可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 题型三 利用诱导公式化简求值 1．（24-25高一下·浙江·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·周测）已知的终边上有一点，则的值为（   ） A． B． C． D．4 3．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D．2 4．（24-25高一下·河南周口·期中）已知. (1)化简；(2)若，求的值. 5．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）化简求值： (1)； (2)； (3)若，求的值． 题型四 利用诱导公式化简与证明 1．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 4．（20-21高一·全国·课后作业）求证：当或3时，. 【方法总结】证明三角恒等式的常用方法 ⑴从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到减. ⑵左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子. 题型五 诱导公式的综合应用 1．（24-25高一下·全国·周测）化简 . 2．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）化简： . 3．（24-25高一下·上海·期末）已知角终边上一点，则 ． 4．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知，则 ． 5．（24-25高一下·四川广安·阶段练习）平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 (1)求和的值； (2)若，化简并求值 强化训练 1．（24-25高一下·江西赣州·期中）（   ） A．1 B． C．0 D． 2．（24-25高一下·陕西·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C．-2 D．2 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖北十堰·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列各式正确的是（   ） A．       B． C．     D． 7．（多选）（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）定义：角和都是任意角，若，则称与“广义互余”．已知，满足下列条件的角中，可能与角广义互余的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知，则 . 10．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列各三角函数值. （1） ；（2） . 11．（24-25高一下·上海黄浦·期末）若，则的值为 ． 12．（24-25高一上·全国·周测）若为第二象限角，且，则 ． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则 .（用m表示）. 14．（24-25高一下·全国·课堂例题）求下列各值. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7). 15．（24-25高一下·河南新乡·期末）（1）已知，求的值； （2）化简： 16．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点，其中. (1)求的值； (2)若为第三象限角，求的值. 17．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）已知，且， (1)求的值. (2)化简. 18．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 19．（24-25高一下·贵州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，且点的坐标为，单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是面积的． (1)求的值；(2)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲 诱导公式 目录： 一、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 诱导公式一、二、三、四 ……………………………………………………………1 知识点2 诱导公式五、六、七、八 ……………………………………………………………1 二、题型归纳…………………………………………………………………………1 题型一 给角求值 ………………………………………………………………………………3 题型二 给值（式）求值 ………………………………………………………………………4 题型三 利用诱导公式化简求值 ………………………………………………………………6 题型四 诱导公式的综合应用 …………………………………………………………………7 三、强化训练…………………………………………………………………………9 知识梳理 知识点1 诱导公式一、二、三、四 ……………………………………………………………1 公式一 公式二 公式三 公式四 知识点2 诱导公式五、六、七、八 ，； ，； ，； ， 题型归纳 题型一 给角求值 1．（24-25高一下·广东广州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 2．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 故选：A. 3．（24-25高一下·四川成都·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故选：A. 4．（24-25高一下·云南楚雄·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选:C. 5．（23-24高一下·全国·课后作业）求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）； （2）； （3）． 【方法总结】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 ⑴“负化正”；⑵“大化小”；⑶“小化锐”；⑷“锐求值” 题型二 给值（式）求值 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（   ） A．     B．     C．     D． 【答案】C 【详解】由条件得，又经，所以，所以. 2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由. 故选：B. 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，. 故选：B 4．（24-25高一下·江西南昌·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，. 故选：A 5．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 6．（24-25高一下·全国·周测）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，且，则， 则， 则. 故选:C. 【方法总结】解决给值（式）求值问题的策略 ⑴首先要仔细观察条件式与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系. ⑵可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 题型三 利用诱导公式化简求值 1．（24-25高一下·浙江·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，故. 故选：B 2．（24-25高一下·全国·周测）已知的终边上有一点，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】因为的终边上有一点，所以，， 所以， 故选：C. 3．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】因为， 所以. 故选：D 4．（24-25高一下·河南周口·期中）已知. (1)化简；(2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）；. （2）， . 5．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）化简求值： (1)； (2)； (3)若，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）； （2） ； （3）由，得， 所以，又， 所以. 题型四 利用诱导公式化简与证明 1．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由角和的终边关于轴对称，可得，， 对于A，由，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确， 对于D，由，故D错误， 故选：C． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【详解】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【答案】证明见解析 【详解】左边右边， 所以． 4．（20-21高一·全国·课后作业）求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【详解】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 【方法总结】证明三角恒等式的常用方法 ⑴从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到减. ⑵左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子. 题型五 诱导公式的综合应用 1．（24-25高一下·全国·周测）化简 . 【答案】 【详解】 . 故答案为： 2．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）化简： . 【答案】 【详解】 . 故答案为： 3．（24-25高一下·上海·期末）已知角终边上一点，则 ． 【详解】由题设，，则， . 故答案为： 4．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得， 故． 故答案为： 5．（24-25高一下·四川广安·阶段练习）平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 (1)求和的值； (2)若，化简并求值 【答案】(1)，；(2)，4. 【详解】（1）由题设，， 所以； （2） 由题设. 强化训练 1．（24-25高一下·江西赣州·期中）（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 2．（24-25高一下·陕西·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C．-2 D．2 【答案】C 【详解】因为. 故选：C. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【详解】由已知得，即，于是. 4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C ，代入求解即可. 【详解】，故， ， . 故选：C 5．（24-25高一下·湖北十堰·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故选：A. 6．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列各式正确的是（   ） A．       B． C．     D． 【答案】ACD 【详解】，B错误.其余选项均正确. 7．（多选）（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 8．（多选）（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）定义：角和都是任意角，若，则称与“广义互余”．已知，满足下列条件的角中，可能与角广义互余的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于选项A，若角和广义互余，则，即， 则，故A错误； 对于选项B，若角和广义互余，则， 解得，则，故B错误； 对于选项C，若角和广义互余，则，故C正确； 对于选项D，若角和广义互余，则， 即满足的角可能与角广义互余，故D正确． 故选：CD． 9．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知，则 . 【答案】 【详解】由，得，所以. 故答案为： 10．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列各三角函数值. （1） ；（2） . 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）原式. （2） 原式. 11．（24-25高一下·上海黄浦·期末）若，则的值为 ． 【答案】5 【详解】由，得， 根据诱导公式，化简. 故答案为：5. 12．（24-25高一上·全国·周测）若为第二象限角，且，则 ． 【答案】 【详解】由，知， 原式 ， 因为为第二象限角，所以，且， 所以原式. 故答案为： 13．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则 .（用m表示）. 【答案】 【详解】解法1 原式 . 又，所以原式. 解法2  由，得， 原式 . 14．（24-25高一下·全国·课堂例题）求下列各值. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7). 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）. 15．（24-25高一下·河南新乡·期末）（1）已知，求的值； （2）化简： 【答案】（1）；（2）1 【详解】（1）因，则； （2）. 16．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点，其中. (1)求的值； (2)若为第三象限角，求的值. 【答案】(1)当时，；当时，；(2) 【详解】（1）因为在直角坐标系中，角的终边经过点， 所以. 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述：当时，；当时，. （2）若为第三象限角，则，所以， 所以 . 17．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）已知，且， (1)求的值. (2)化简. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意可得，， 解得或， 又，则，故，则， 故. （2）原式. 18．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【详解】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 19．（24-25高一下·贵州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，且点的坐标为，单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是面积的． (1)求的值；(2)求的值． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）因为在单位圆上，且位于第一象限， 所以且，解得，所以， 所以，； （2）因为的面积是的面积的倍， 所以， 又，所以，即，又， 解得或（舍去）； 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$