第20讲 三角函数的概念（知识梳理+7大题型+强化训练）-2025年高一数学人教A版（2019）暑假提升

第20讲 三角函数的概念 目录： 一、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 任意角三角函数的定义 ………………………………………………………………1 知识点2 三角函数值在各象限内的符号 ………………………………………………………2 知识点3 同角三角函数基本关系式 …………………………………………………………2 知识点4 同角三角函数基本关系式的变形……………………………………………………2 二、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 单位法圆求三角函数值 ………………………………………………………………3 题型二 坐标法圆求三角函数值 ………………………………………………………………3 题型三 判断三角函数的符号 …………………………………………………………………4 题型四 平方关系的应用…………………………………………………5 命题点1 已知、和其中两个量求另外一个量………………………………………5 命题点2 利用平方关系化简求值 ……………………………………………6 命题点3 利用平方关系求参数 ………………………………………………6 题型五 已知的值求含有与的式子的值 …………………………………6 命题点1 已知的值求或 ………………………………………………………6 命题点2 已知的值求形如的分式的值 ……………………………………6 命题点3 已知的值求关于与的齐次式的值………………………………………6 题型六 关于，的关系的求值 ……………………………………7 题型七 利用利用同角三角函数基本关系化简、证明…………………………………………8 三、强化训练 ………………………………………………………………………8 知识梳理 知识点1 任意角三角函数的定义 条件 如图，设是一个任意角，，它的终边OP与单位圆交于点 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即 余弦 点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即． 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角函数 正弦函数，； 余弦函数，； 正切函数，， 知识点2 三角函数值在各象限内的符号 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点3 同角三角函数基本关系式及其变形 （1） . （2） . 题型归纳 题型一 单位法圆求三角函数值 1．（21-22高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知角的终边与单位圆的交点，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一·全国·课后作业）已知角的终边与单位圆的交点为，则（        ） A． B． C． D． 3．（多选）（21-22高一上·河北·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·贵州·期中）如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限. (1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； (2)设，当，点的纵坐标为时，求的值. 【方法总结】用单位圆法求三角函数值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值. 题型二 坐标法圆求三角函数值 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D． 2．（24-25高一下·山东潍坊·阶段练习）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（  ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（20-21高一·全国·单元测试）若角的终边上有一点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知点是角α的终边上一点，则 ． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）当角的终边经过点时，角 （用弧度制表示）；当角的终边经过点时， ． 【方法总结】坐标法求三角函数值 ⑴已知角的终边上一点，第一步：先计算；第二步：由，，求值. ⑵当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 题型三 判断三角函数的符号 1．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知角θ满足：，且，则角θ的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一下·辽宁大连·期中）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则“”是“角为第一或第二象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（24-25高一下·河南南阳·期中）若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 5．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）若为第四象限角，且，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【方法总结】判断三角函数符号的常用方法 ⑴确定角：根据题目给出的条件，确定角所在的象限. ⑵定符号：根据角所在的象限，结合题目的具体特点，最终确定符号. 题型四 平方关系的应用 命题点1 已知、和其中两个量求另外一个量 1．（2021高二·湖北·学业考试）已知，且是第四象限角，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则 . 3．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，且是第四象限角，那么的值是 . 4．（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知在第二象限，则的值为 . 【方法总结】求同角三角函数值的一般步骤 ⑴根据已知三角函数值的符号，确定角所在符号； ⑵对角所在的象限进行分类讨论； ⑶利用两个同角三角函数的基本关系求出其余三角函数值； ⑷根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出其三角函数值. 命题点2 利用平方关系化简求值 1．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的值可能是（    ） A． B． C．0 D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 命题点3 利用平方关系求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设为第二象限角，且，则 . 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则 ． 题型五 已知的值求含有与的式子的值 命题点1 已知的值求或 1．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）若，且满足，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知是第二象限角，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 命题点2 已知的值求形如的分式的值 1．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）若，则（    ） A．1 B． C．9 D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则 ， . 命题点3 已知的值求关于与的齐次式的值 1．（2016·四川南充·一模）已知，则 ． 2．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）若，则 ， ． 3．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知，则 . 4．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知，则 ． 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则 . 6．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 【方法总结】已知，求关于，的齐次式的值，需要注意以下两点： ⑴不是分式的需要加上分母； ⑵分式的分子和分母同时除以，得到关于的表示式，然后代入. 题型六 关于，的关系的求值 1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知，，则 ． 4．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）已知，则 ． 5．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为 ． 6．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知，则 ． 7．（24-25高一下·北京朝阳·期中）已知，． (1)求值；(2)求的值． 【方法总结】，三个式子中，已知其中一个，可以求出其它两个，即“知一求一”，它们之间的关系是：. 【提醒】求或的值，要注意根据角的终边位置，判断它们的符号. 题型七 利用利用同角三角函数基本关系化简、证明 1．（21-22高一上·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 2．（20-21高一·全国·单元测试）求证:. 3．（22-23高一下·山东潍坊·阶段练习）（1）若，化简：； （2）求证：. 【方法总结】三角函数式的化简技巧 ⑴化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. ⑵对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. ⑶对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的. 强化训练 1．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 3．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）下列命题错误的是（   ） A．是第三象限角 B．角为第二或第三象限角的充要条件是 C．经过30分钟，钟表的分针转过弧度 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 5．（24-25高一下·北京海淀·期中）“”是“为第二或四象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一下·安徽·阶段练习）若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（多选）（24-25高一上·广东深圳·期末）若，则角的终边可能落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边在直线上，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）已知在中，，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·上海普陀·期中）若角终边上一点， 则 ． 11．（23-24高一下·山东日照·阶段练习）已知，则的值为 . 12．（24-25高一下·广东汕头·期中）若，则 ． 13．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知，则 14．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)的值. 15．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知是第二象限角，， (1)求； (2)求． 16．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为第二象限角. (1)若，求的值；(2)若，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 三角函数的概念 目录： 一、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 任意角三角函数的定义 ………………………………………………………………1 知识点2 三角函数值在各象限内的符号 ………………………………………………………2 知识点3 同角三角函数基本关系式 …………………………………………………………2 知识点4 同角三角函数基本关系式的变形……………………………………………………2 二、题型归纳…………………………………………………………………………2 题型一 单位法圆求三角函数值 ………………………………………………………………3 题型二 坐标法圆求三角函数值 ………………………………………………………………4 题型三 判断三角函数的符号 …………………………………………………………………6 题型四 平方关系的应用…………………………………………………8 命题点1 已知、和其中两个量求另外一个量………………………………………8 命题点2 利用平方关系化简求值……………………………………………10 命题点3 利用平方关系求参数………………………………………………10 题型五 已知的值求含有与的式子的值…………………………………11 命题点1 已知的值求或 ………………………………………………………11 命题点2 已知的值求形如的分式的值 …………………………………12 命题点3 已知的值求关于与的齐次式的值 ……………………………………12 题型六 关于，的关系的求值……………………………………14 题型七 利用利用同角三角函数基本关系化简、证明 ………………………………………17 三、强化训练 ………………………………………………………………………18 知识梳理 知识点1 任意角三角函数的定义 条件 如图，设是一个任意角，，它的终边OP与单位圆交于点 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即 余弦 点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即． 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角函数 正弦函数，； 余弦函数，； 正切函数，， 知识点2 三角函数值在各象限内的符号 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点3 同角三角函数基本关系式及其变形 （1） . （2） . 题型归纳 题型一 单位法圆求三角函数值 1．（21-22高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知角的终边与单位圆的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角的终边与单位圆的交点， 令， 所以， 所以， 故选：A. 2．（21-22高一·全国·课后作业）已知角的终边与单位圆的交点为，则（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知： 故选：B 3．（多选）（21-22高一上·河北·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】在单位圆中，，解得. 由三角函数的定义，可得. 故选：AD 4．（24-25高一下·贵州·期中）如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限. (1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； (2)设，当，点的纵坐标为时，求的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， 所以，， 所以． （2）设，由题知， 于是，， ． 即． 【方法总结】用单位圆法求三角函数值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值. 题型二 坐标法圆求三角函数值 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D． 【答案】A 【详解】依题意，，解得. 故选：A 2．（24-25高一下·山东潍坊·阶段练习）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，且， 解得，则， 故选：D. 3．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得，因为角的终边过点， 所以. 故选：. 4．（多选）（20-21高一·全国·单元测试）若角的终边上有一点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为角的终边上有一点，， 当时，， 当时，， 故选：AD. 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知点是角α的终边上一点，则 ． 【答案】 【详解】点即， 依题意，. 故答案为:. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）当角的终边经过点时，角 （用弧度制表示）；当角的终边经过点时， ． 【答案】 【详解】因为，所以角的终边与的终边相同，所以角，．当角的终边经过点时，若，则；若，则． 【方法总结】坐标法求三角函数值 ⑴已知角的终边上一点，第一步：先计算；第二步：由，，求值. ⑵当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 题型三 判断三角函数的符号 1．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知角θ满足：，且，则角θ的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由，得角的终边在轴下方，由，得角的终边在第二或第四象限， 所以当且时，角的终边在第四象限． 故选：D 2．（24-25高一下·辽宁大连·期中）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】因为，，且，所以弧度的角是第二象限角. 根据余弦函数的性质，在第二象限中，余弦值是负数，所以. 根据正切函数的性质，在第二象限中，正切值是负数，所以. 在平面直角坐标系中，横坐标小于且纵坐标小于的点在第三象限， 因为点中，，所以点在第三象限. 即点在平面直角坐标系中位于第三象限. 故选：. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则“”是“角为第一或第二象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】根据任意角三角函数的定义，知道“角为第一或第二象限角”能推出“”； 但“”，根据任意角三角函数的定义， 此时角的终边可能在第一象限， 也可能在第二象限，还可能在轴非负半轴上.不能推出“角为第一或第二象限角”. 由充分必要条件的定义可知，“”是“角为第一或第二象限角”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（24-25高一下·河南南阳·期中）若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 【答案】D 【详解】因，由可得, 则为第一象限角，即, 也即. 当时，,即为第一象限角； 当时，，即为第三象限角. 综上，角为第一或第三象限角. 故选：D 5．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）若为第四象限角，且，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】为第四象限角，，，则，.又，则为第四象限角， 故选：D. 【方法总结】判断三角函数符号的常用方法 ⑴确定角：根据题目给出的条件，确定角所在的象限. ⑵定符号：根据角所在的象限，结合题目的具体特点，最终确定符号. 题型四 平方关系的应用 命题点1 已知、和其中两个量求另外一个量 1．（2021高二·湖北·学业考试）已知，且是第四象限角，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 、【详解】因为，且是第四象限角，所以， 所以， 故选：A． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则 . 【答案】或 【详解】因为，所以α是第二或第三象限角.当α是第二象限角时，，此时，当α是第三象限角时，，此时. 3．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，且是第四象限角，那么的值是 . 【答案】 【详解】由，且是第四象限角，可得， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知在第二象限，则的值为 . 【答案】 【详解】由在第二象限，得， 所以. 故答案为：. 【方法总结】求同角三角函数值的一般步骤 ⑴根据已知三角函数值的符号，确定角所在符号； ⑵对角所在的象限进行分类讨论； ⑶利用两个同角三角函数的基本关系求出其余三角函数值； ⑷根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出其三角函数值. 命题点2 利用平方关系化简求值 1．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的值可能是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】AC 【详解】由题意可得解得或因此，或. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且， 所以. 故选：A 命题点3 利用平方关系求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设为第二象限角，且，则 . 【答案】 【详解】由，即，解得或.又为第二象限角，故且，所以. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则 ． 【答案】或 【详解】由，可得或， 当时，，，故； 当时，，，故. 故答案为：或 题型五 已知的值求含有与的式子的值 命题点1 已知的值求或 1．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件可知，解得：. 故选：C 2．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）若，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，可得， 由，即，解得， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知是第二象限角，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，移项可得. 根据三角函数平方关系，将代入可得： ，可得，得. 因为是第二象限角，，所以. 故选：D. 命题点2 已知的值求形如的分式的值 1．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）若，则（    ） A．1 B． C．9 D． 【答案】D 【详解】． 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则 ， . 【答案】 4； 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 【详解】因为，所以，所以. 命题点3 已知的值求关于与的齐次式的值 1．（2016·四川南充·一模）已知，则 ． 【答案】/0.3 【详解】，． 故答案为：. 2．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）若，则 ， ． 【答案】 / ；/0.3 【详解】； . 故答案为：；. 3．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知，则 . 【答案】/ 【详解】由，得. 故答案为： 4．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/ 【详解】由已知可知. 则. 代入可得， . 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则 . 【答案】/0.4 【详解】由，得. 故答案为： 6．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)3；(2)；(3) 【详解】（1）由，为第三象限角， 则； （2）由，为第三象限角， 则； （3）由，则， 因为，则，即， 则， 又为第三象限角，所以， 则. 【方法总结】已知，求关于，的齐次式的值，需要注意以下两点： ⑴不是分式的需要加上分母； ⑵分式的分子和分母同时除以，得到关于的表示式，然后代入. 题型六 关于，的关系的求值 1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在等式两边平方可得， 故， 所以. 故选：A. 2．（多选）（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，由，是方程的两根，则， ，即，解得， 此时，符合题意，因此，A错误； 对于B，由，，得，， ，B正确； 对于C，由选项B及已知得，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 3．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知，，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以， . 故答案为：. 4．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）已知，则 ． 【答案】 【详解】由， 平方可得， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 6．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【详解】由，则，故， 由，得， 所以，可得. 故答案为： 7．（24-25高一下·北京朝阳·期中）已知，． (1)求值；(2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）， 得； （2），且，得， ，， 所以，， 联立，得，， 则. 【方法总结】，三个式子中，已知其中一个，可以求出其它两个，即“知一求一”，它们之间的关系是：. 【提醒】求或的值，要注意根据角的终边位置，判断它们的符号. 题型七 利用利用同角三角函数基本关系化简、证明 1．（21-22高一上·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. 2．（20-21高一·全国·单元测试）求证:. 【答案】证明见解析 【详解】方法一:左边= == ===右边. 方法二:左边 = = = ==    =右边. 3．（22-23高一下·山东潍坊·阶段练习）（1）若，化简：； （2）求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】（1）原式 ， 因为，所以，原式. （2）证明：. 【方法总结】三角函数式的化简技巧 ⑴化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. ⑵对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. ⑶对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的. 强化训练 1．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，其中，为坐标原点，则， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 【答案】B 【详解】， 所以角为第二或第三象限角. 故选：B 3．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为， 分子分母同时除以得：， 代入计算得：. 故选：D. 4．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）下列命题错误的是（   ） A．是第三象限角 B．角为第二或第三象限角的充要条件是 C．经过30分钟，钟表的分针转过弧度 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】C 【详解】对于选项A：因为，且为第三象限的角， 所以为第三象限的角，故A正确； 对于选项B：因为， 等价于，等价于角为第二或第三象限角 所以角为第二或第三象限角的充要条件是，故B正确； 对于选项C：经过分钟，钟表的分针是顺时针转动，故转过弧度，故C错误， 对于选项D：由于圆心角为的扇形的弧长为，可知扇形的半径为， 所以该扇形面积为，故D正确， 故选：C. 5．（24-25高一下·北京海淀·期中）“”是“为第二或四象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，而恒成立， 则且，所以为第二或四象限角，充分性成立； 若为第二或四象限角，则且， 所以，必要性成立， 所以“”是“为第二或四象限角”的充要条件. 故选：. 6．（24-25高一下·安徽·阶段练习）若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】要使，必须，，即，，所以是第二象限角. 故选：B. 7．（多选）（24-25高一上·广东深圳·期末）若，则角的终边可能落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】CD 【详解】因为，所以或， 所以为第三象限或第四象限角. 故选：CD 8．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边在直线上，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设终边上任意一点．若点P在第一象限，取点，所以．若点P在第三象限，取点，所以． 9．（多选）（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）已知在中，，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意知，化简得， 解得，因为在中,所以，即， 因为，所以， 联立方程组可得，解得，，，所以AB错误，CD正确. 故选：CD. 10．（23-24高一下·上海普陀·期中）若角终边上一点， 则 ． 【答案】 【详解】根据正弦函数的定义，. 故答案为：． 11．（23-24高一下·山东日照·阶段练习）已知，则的值为 . 【答案】 【详解】因为，则原式 . 故答案为：. 12．（24-25高一下·广东汕头·期中）若，则 ． 【答案】 【详解】由，则， . 故答案为： 13．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知，则 【答案】 【详解】， ， 所以，所以， 故答案为：. 14．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)的值. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）因为角为第二象限角，所以， 所以． （2）． 15．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知是第二象限角，， (1)求； (2)求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）已知是第二象限角，, ,. （2）, ,. 16．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）若，则不符合题意，故， 则由可得，得； （2）； （3） 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为第二象限角. (1)若，求的值；(2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为为第二象限角，所以. 因为，所以. 所以. （2），则. 因为为第二象限角，所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$