专题01 反比例函数压轴题题型（压轴题专项训练）数学湘教版九年级上册

专题01 反比例函数压轴题题型 目录 1 类型一、利用比例系数的几何意义解题 1 类型二、反比例函数与一次函数的综合 3 类型三、反比例函数与几何综合 6 类型四、反比例函数的新定义问题 9 11 类型一、利用比例系数的几何意义解题 反比例函数中k的几何意义在解题中有重要作用，以下是一些解题技巧： 求解比例关系：在已知的反比例函数中，通过给定的函数表达式或已知的点，可以建立函数的比例关系。 图像特征分析：观察反比例函数的图像特征，特别是与坐标轴的关系。在反比例函数中，k的值可以表示函数图像与坐标轴之间的比例关系。当k>0时，函数图像与坐标轴之间存在正比例关系；当k<0时，函数图像与坐标轴之间存在反比例关系。 推测几何意义：根据反比例函数的性质，可以推测k的几何意义。当k>0时，k可以表示函数图像与坐标轴之间的比例系数；当k<0时，k的绝对值可以表示函数图像与坐标轴之间的反比例系数。 利用面积求k：过双曲线上任一点向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为|k|。过双曲线上任一点向坐标轴作一条垂线，并连接此点和原点，这两条线与坐标轴所围成三角形的面积为|k|/2。 例1．如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点、作轴的垂线段，垂足分别为点和，则以下结论：①；②阴影部分面积是；③当时，；④若是菱形，则．其中正确结论的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-1．如图，矩形的面积为8，边在y轴上，E是边的中点，若B，E两点在函数的图象上，则m的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式1-2．如图，在矩形中，O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，双曲线 分别交，于点D，E，，以为边向下方作， 使与矩形面积相等，连结，，则 ，的面积是 ． 变式1-3．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，若，则k的值为 ． 类型二、反比例函数与一次函数的综合 图形识别：根据一次函数和反比例函数的性质，确定它们的图象特征。例如，一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是双曲线。通过分析函数表达式中的系数，可以判断图象所在的象限和基本趋势。 交点问题：求解一次函数与反比例函数的交点，可以通过联立方程组来实现。将两个函数的表达式设置为相等，解出x和y的值，即可得到交点坐标。需要注意的是，交点可能有零个、一个或两个。 实际应用问题：在解决实际问题时，首先需要根据题意建立一次函数或反比例函数的模型。然后，利用函数的性质和图象来分析和解决问题。例如，可以通过求解函数的最大值或最小值来解决最优化问题。 待定坐标法：这是一种常用的方法，特别是在处理涉及多个函数和多个未知数的问题时。通过设定关键点的坐标为待定坐标，然后利用已知条件建立代数关系，最终求出答案。 数形结合：结合函数的图象和代数表达式来解决问题。图象可以帮助直观地理解函数的行为，而代数表达式则提供了精确的计算工具。在解题过程中，要注意两者之间的转换和联系。 分类讨论：在某些情况下，可能需要对不同的情况进行分类讨论。例如，当反比例函数的比例系数k的符号不确定时，需要分别考虑k>0和k<0的情况。 例2．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 变式2-1．直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12， ①若点在点的左侧，求点的坐标． ②点可在点的右侧吗？若在，直接写出点的坐标，若不在，请说明理由 变式2-2．如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． 变式2-3．如图，直线的图象与双曲线的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积． (4)在x轴上是找一点P，使值最大，请直接写出点P的坐标． 类型三、反比例函数与几何综合 结合一次函数与反比例函数的交点，综合运用对称性和割补法求几何图形面积。 结合几何模型的性质，运用函数与几何知识解题。 例3．如图，直线经过点，并与反比例函数交于点．    (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标； (3)点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作轴交反比例函数于点P，点D为线段的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，求点Q的坐标． 变式3-1．如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且， (1)求反比例函数解析式及C点的坐标； (2)过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-2如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)若C为反比例函数图象上一点，直线AC与x轴交于点D，且满足，求点C的坐标． (3)若点P在反比例函数图象上，点Q在x轴上，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标． 变式3-3如图，在平面直角坐标系中有，，，、、． (1)求C点坐标； (2)将沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点、正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式； (3)在（2）的条件下，直线交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 类型四、反比例函数的新定义问题 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点。 对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键。如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除。 类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题。 重视举例，利用举例检验是否理解和正确运用新定义；归纳举例提供的解题方法；归纳举例提供的分类情况 例4规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点，直线与y轴相交于点，与双曲线相交于点，线段、及、两点之间的曲线所围成的区域记作． （1） ； （2）若区域（不包括边界）内的整点的个数大于等于，则的取值范围是 ． 变式4-1在平面直角坐标系中，点的“对称点”Q定义如下：当时，P与Q关于直线对称；当时，P与Q关于y轴对称． (1)点的“对称点”坐标是 ，点的“对称点”坐标是 ； (2)已知点C在反比例函数的图象上，点C的“对称点”为点D，若点D的坐标为，求m的值； (3)一次函数的图象上所有点的“对称点”组成一个新的图形G．若直线与图形G无交点，求实数m的取值范围． 变式4-2定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中k为常数，且，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)点的“3级变换点”是点________； (2)设点是点的“k级变换点”． ①为反比例函数的图像上，当时，判断m，q的大小关系：________； ②点A的坐标为，若，求点Q的坐标； (3)若以为圆心，1为半径的圆上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 变式4-3阅读：若为正实数，对于某一函数图象上任意两点、，若恒成立，则称这个函数为王氏函数，为王氏系数． (1)分别判断和 是不是王氏函数； (2)若 是王氏函数，求的取值范围； (3)若 是王氏函数，且的最大值为27，求的值． 一、单选题 1．小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 2．如图，正方形的顶点 A 在反比例函数上，B、C 都在反比例函数则正方形的面积为（  ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图象上的一个动点，过点作轴，交函数的图象于点，点是轴上在点左侧的一点，且，连接、，有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．其中正确的结论有（ ） A． ①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．如图，平面直角坐标系内有正六边形，，，若的图象使得正六边形的六个顶点分布在它的两侧，每侧各三个点，则的整数值的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在轴正半轴上依次截取，过点、分别作轴的垂线，与反比例函数的图像交于、，连接、、、、，在上取一点，使得，依次类推，在上取一点，使得，连接，则构成的一系列三角形（见图中阴影部分）的面积和是（   ） A． B．5 C． D． 二、填空题 6．如图，四边形为矩形，点，在轴上，边与轴正半轴交于点，点在线段上，延长交轴与点，连结，，，反比例函数经过点；若，，则的值为 ． 7．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作轴，轴．垂足分别为点，．当矩形的面积是的面积的2倍时，的值为 ． 8．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为，则的值为 ． 9．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，，反比例函数经过其对角线的交点M，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，若，则的面积为 ． 三、解答题 10．如图，反比例函数过点，直线与x轴交于点，交y轴于点E，过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B． (1)求k的值与B点的坐标； (2)将直线向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点时，直线交x轴于点F．请判断点B是否在直线上，并说明理由； (3)在（2）的条件下，在平面内有点M，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形，请求出符合条件的所有M点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 12．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)如图2，过点与点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点，点，两垂线交于点，连接，求的面积； (3)如图3，延长交反比例函数在第三象限内的图象于点，连接，，将直线沿着轴向下平移若干个单位长度，使得直线经过点，平移后的直线与轴交于点，若在直线上存在点，使得，直接写出点的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长； (3)是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 反比例函数压轴题题型 目录 1 类型一、利用比例系数的几何意义解题 1 类型二、反比例函数与一次函数的综合 8 类型三、反比例函数与几何综合 20 类型四、反比例函数的新定义问题 34 43 类型一、利用比例系数的几何意义解题 反比例函数中k的几何意义在解题中有重要作用，以下是一些解题技巧： 求解比例关系：在已知的反比例函数中，通过给定的函数表达式或已知的点，可以建立函数的比例关系。 图像特征分析：观察反比例函数的图像特征，特别是与坐标轴的关系。在反比例函数中，k的值可以表示函数图像与坐标轴之间的比例关系。当k>0时，函数图像与坐标轴之间存在正比例关系；当k<0时，函数图像与坐标轴之间存在反比例关系。 推测几何意义：根据反比例函数的性质，可以推测k的几何意义。当k>0时，k可以表示函数图像与坐标轴之间的比例系数；当k<0时，k的绝对值可以表示函数图像与坐标轴之间的反比例系数。 利用面积求k：过双曲线上任一点向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为|k|。过双曲线上任一点向坐标轴作一条垂线，并连接此点和原点，这两条线与坐标轴所围成三角形的面积为|k|/2。 例1．如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点、作轴的垂线段，垂足分别为点和，则以下结论：①；②阴影部分面积是；③当时，；④若是菱形，则．其中正确结论的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】作轴于，轴于，根据平行四边形的性质得，利用三角形面积公式得到，则有，再利用反比例函数的几何意义和三角形面积公式得到，，所以有；由，，得到；当，得到四边形是矩形，由于不能确定与相等，则不能判断，所以不能判断，则不能确定；若是菱形，根据菱形的性质得，可判断，则，所以，即，即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于，轴于，   四边形是平行四边形， ， ∴ ， ∵轴，轴，，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ， ，， ，故①正确； ，， ， ∵由题意可得，， ，故②正确； 当， 四边形是矩形， 不能确定与相等， 而， 不能判断， 不能判断， 不能确定，故③错误； 若四边形是菱形，则， 而， ， ， ，， ， ， ，故④正确， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数的图象、反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、矩形的判定性质和菱形的性质． 变式1-1．如图，矩形的面积为8，边在y轴上，E是边的中点，若B，E两点在函数的图象上，则m的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，矩形的性质，设，则，根据B，E两点在函数的图象，列方程即可解答，熟练运用反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：设，，则， 四边形为矩形，且面积为， ，， E是边的中点， ， ， B，E两点在函数的图象， ， 可得，即， 故选：D． 变式1-2．如图，在矩形中，O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，双曲线 分别交，于点D，E，，以为边向下方作， 使与矩形面积相等，连结，，则 ，的面积是 ． 【答案】 3 /0.75 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合、矩形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合、矩形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键；过点D作于点H，由题意易得四边形都是矩形，由可设，则有，则有，，然后问题可求解；连接，过点O作，并延长，交于点Q，则有，进而问题可求解． 【详解】解：过点D作于点H，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形都是矩形， ∴， 由可设，则有， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接，过点O作，并延长，交于点Q，如图所示： 由反比例函数k的几何意义可知：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为3，． 变式1-3．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，若，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数．熟练掌握反比例函数的图象和性质，矩形的面积公式，是解题的关键． 设，则，根据，推得，即可求得． 【详解】设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 类型二、反比例函数与一次函数的综合 图形识别：根据一次函数和反比例函数的性质，确定它们的图象特征。例如，一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是双曲线。通过分析函数表达式中的系数，可以判断图象所在的象限和基本趋势。 交点问题：求解一次函数与反比例函数的交点，可以通过联立方程组来实现。将两个函数的表达式设置为相等，解出x和y的值，即可得到交点坐标。需要注意的是，交点可能有零个、一个或两个。 实际应用问题：在解决实际问题时，首先需要根据题意建立一次函数或反比例函数的模型。然后，利用函数的性质和图象来分析和解决问题。例如，可以通过求解函数的最大值或最小值来解决最优化问题。 待定坐标法：这是一种常用的方法，特别是在处理涉及多个函数和多个未知数的问题时。通过设定关键点的坐标为待定坐标，然后利用已知条件建立代数关系，最终求出答案。 数形结合：结合函数的图象和代数表达式来解决问题。图象可以帮助直观地理解函数的行为，而代数表达式则提供了精确的计算工具。在解题过程中，要注意两者之间的转换和联系。 分类讨论：在某些情况下，可能需要对不同的情况进行分类讨论。例如，当反比例函数的比例系数k的符号不确定时，需要分别考虑k>0和k<0的情况。 例2．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式； 将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数； 根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， 把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； （2）解：， 点的坐标是， ， 如下图所示， 将直线沿轴方向向上平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 将直线沿轴方向向下平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：点的坐标为或， 点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合性、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、函数图象的平移，解决本题的关键是根据函数的图象与性质找到相应的点的坐标，再根据坐标求出解析式． 变式2-1．直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12， ①若点在点的左侧，求点的坐标． ②点可在点的右侧吗？若在，直接写出点的坐标，若不在，请说明理由 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为：； (2)； (3)①；②存在， 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）①设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可； ②按照①的解法求解即可． 【详解】（1）解：把代入线与反比例函数， 得， ∴， ∴一次函数表达式为，反比例函数表达式为； （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 联立， 解得：， 经检验解成立， ∴， ∴； （3）解：①设，连接并延长交y轴于点N，如图： ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， 把点分别代入得：， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴ ②存在，理由如下， 作出同样辅助线， ∵点M在第一象限，且点M在点A右侧， ∴， 同理可求：直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴． 变式2-2．如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． 【答案】(1) (2) (3)不变；比值为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，相似三角形的性质与判定； （1）先求得，进而求得直线的解析式为，联立反比例函数与正比例函数，即可求解； （2）根据题意得出，，，则，进而根据相似三角形的性质可得 ，勾股定理建立方程，即可求解； （3）设点的坐标为则求出，，的坐标，从而得出，的长度，得出直线，直线的解析式，进而求出直线的解析式，然后求出点的坐标，将直线的解析式与反比例函数联立方程组，求出点的坐标，从而计算，，即可计算出比值． 【详解】（1）解：∵点纵坐标为，点在上， ∴点的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴； （2）∵轴，点纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 又∵点在上， ∴点的横坐标为 ∴， ∵，， ∴是的中点， ∴ ∵轴 ∴ ， ∴当与相似，只有一种情况 ∴，即 ∴ 解得：（负值舍去） （3）解：设的坐标为， 由轴，可知点，点的横坐标相等， 则点的坐标为，的坐标为 ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入得， 所以直线的解析式为①， 设直线的解析式为，将点代入得， 所以直线的解析式为③， 设直线的坐标为，将，的坐标代入得， ，解得 , ∴， 联立①②，得，解得：， ， 将③与联立得，， 解得：，，则， 所以 变式2-3．如图，直线的图象与双曲线的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积． (4)在x轴上是找一点P，使值最大，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)当或时，一次函数的值小于反比例函数的值 (3)4 (4) 【分析】（1）首先可求得反比例函数解析式，即可求得点B坐标，再根据点A、B都在一次函数图象上，分别代入即可求得； （2）根据图象得出结论； （3） 记一次函数与轴的交点为，并求得点C的坐标，根据，即可求解． （4）作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，得到， ，根据三角形三边关系得到，当等号成立时，即、、三点共线时，值最大，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：直线的图象与双曲线的图象交于，两点． ， 即反比例函数解析式为， ， ， 将，代入直线中有， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值（即一次函数图象在反比例函数图象下方的部分）的x的取值范围未为或； （3）解：记一次函数与轴的交点为， 的坐标为， ； （4）解：点P的坐标为，理由如下： 作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接并延长，交轴于点，连接， 由对称的性质可知， ， ， 当等号成立时，即、、三点共线时，值最大， 设直线的解析式为， 有， 解得， 直线的解析式为， 当时，，解得， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点情况，三角形三边关系，轴对称性质，解题的关键在于利用数形结合的思想解答问题． 类型三、反比例函数与几何综合 结合一次函数与反比例函数的交点，综合运用对称性和割补法求几何图形面积。 结合几何模型的性质，运用函数与几何知识解题。 例3．如图，直线经过点，并与反比例函数交于点．    (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标； (3)点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作轴交反比例函数于点P，点D为线段的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）将直线向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时，此时d最小，设直线l的解析式为，与反比例函数解析式联立，通过，从而解决问题； （3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 设直线的解析式为， 将与代入可得：， ∴， ∴直线的解析式为； （2）将直线向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时， 设直线l的解析式为， ∴方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得或， ∵直线l与y轴交于正半轴， ∴舍去， 解方程，得， ∴， ∴； （3）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵C与B关于原点对称， ∴，， ∴，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点Q在直线上， ∴点Q的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与x轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴，而在直线上， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 综上，Q点的坐标为，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论． 变式3-1．如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且， (1)求反比例函数解析式及C点的坐标； (2)过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，点或 ． 【分析】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键． （1）将、两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得、的值，得到反比例函数解析式，设直线解析式，由点A的坐标可求得此解析式，过点做轴于点，交于点，以为底，由的面积解出点坐标； （2）先用待定系数法求得进而求出直线的解析式，再分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；②以为直角边，为直角顶点．证明三角形全等并利用点的移动特点写出答案． 【详解】（1）解：函数的图象过点和两点，代入得： ， 解得， 反比例解析式为． ，， 点， 设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得， 直线的解析式为：， 过点作轴于点，交直线于点，如图1， 设， ， ， ， 或（不符合题意舍去）， ； （2）解：第二象限内存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，理由如下： ，直线的解析式为，， 设直线的解析式为：， 点在直线上， ，即， 直线的解析式为：， 当时，， ，， 当时，， ，， 根据题意，分两种情况进行讨论： ①以为直角边，为直角顶点，如图1； 过做轴于点，可知：， ， ， 又， ， 又， ， ，， 故点到点的平移规律是：向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标， ，且在第二象限， 即； ②以为直角边，为直角顶点，如图2； 同①理得，将点向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标，得． 综上所述：点或． 变式3-2如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)若C为反比例函数图象上一点，直线AC与x轴交于点D，且满足，求点C的坐标． (3)若点P在反比例函数图象上，点Q在x轴上，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出a值，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）分两种情况进行解答，①如图1当点C在A点下方时，②如图2当C在A点上方时解出点C坐标即可； （3）分两种情况进行解答，①当为平行四边形的边时，是平行四边形，②当为平行四边形的对角线时，是平行四边形，分别求出点P坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意知，分两种情况求解， ①如图1，当点C在A点下方时，           图1 ∵，， ∴点C为中点， ∴点C纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴C； ②如图2，当C在A点上方时，作轴于，于， ∵，， ∴，即，解得， 当时，， 解得，， ∴C ， 综上所述，点C坐标为或． （3）解：当时，，即， 如图3， ①当为平行四边形的边时，是平行四边形， 则，即， 解得， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，是平行四边形， ∵，， Q点纵坐标为0， ∴对角线中点的纵坐标相同，即， 解得，， 当 时，， 解得， ∴． 综上所述，符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质是解题的关键． 变式3-3如图，在平面直角坐标系中有，，，、、． (1)求C点坐标； (2)将沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点、正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式； (3)在（2）的条件下，直线交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）过点C作轴于点N，证明得到，，即可求解； （2）根据平移的性质，用待定系数法求出反比例函数和直线的解析式； （3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，取的中点Q，过点Q作直线与x轴交于点，与的图象交于点，求出的点M和P的坐标即可． 【详解】（1）解：过点C作轴于点N． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：设反比例函数解析式为，沿x轴的正方向平移a个单位长度， ∴，， ∵点、正好落在反比例函数图象上， ∴，， ∴，解得， ∴，即反比例函数解析式为． ∵， ∴，， 设直线的函数解析式为， ∴，解得 ∴直线的解析式为． （3）解：对于直线，当时，， ∴， 设是的中点， ∵，， ∴， 过点作直线与轴交于点，与的图象交于点， 若四边形是平行四边形， 则有， 易知点的横坐标大于，点的横坐标小于， 作轴于点，轴于点，与交于点，作轴于点， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴点的横坐标，点的纵坐标，点的坐标是， ∵在反比例函数的图像上，即， 解得， ∴，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、求反比函数解析、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数综合应用、平行四边形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 类型四、反比例函数的新定义问题 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点。 对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键。如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除。 类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题。 重视举例，利用举例检验是否理解和正确运用新定义；归纳举例提供的解题方法；归纳举例提供的分类情况 例4规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点，直线与y轴相交于点，与双曲线相交于点，线段、及、两点之间的曲线所围成的区域记作． （1） ； （2）若区域（不包括边界）内的整点的个数大于等于，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平面直角坐标系中整点的定义，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出． （2）先由题意得出点坐标，再加上，从而得出直线表达式，再确定，根据在和进行分类讨论，写出区域内所有整数点，列举出满足条件的整数点，进而综合两种情况得到答案． 【详解】解：（1）将代入中， 解得：， 故答案为：． （2）， 当时，， ，且, 设直线表达式为， 代入和坐标可得， 解得：， 直线表达式为， ∴直线过点，， 时，与无交点，不合题意，    、、在上， 均不在区域， 当时，， 当在时，若恰好经点过时，点在直线上， 此时内有一个整点，即， 将代入中， 解得：， 中至少有个整点， ． 当在时，若恰好经过点时， 此时内有两个整点，即，， 将代入中， 解得：，即， 中至少有个整点， , 综上：的取值范围是或， 故答案为：或． 变式4-1在平面直角坐标系中，点的“对称点”Q定义如下：当时，P与Q关于直线对称；当时，P与Q关于y轴对称． (1)点的“对称点”坐标是 ，点的“对称点”坐标是 ； (2)已知点C在反比例函数的图象上，点C的“对称点”为点D，若点D的坐标为，求m的值； (3)一次函数的图象上所有点的“对称点”组成一个新的图形G．若直线与图形G无交点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查坐标与轴对称，一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据新定义，点的“对称点”与点关于对称，点的“对称点”与点关于轴对称，进行求解即可； （2）设点，当时，关于直线对称，当时，关于轴对称，分别求出点的坐标，代入反比例函数解析式，进行求解即可； （3）设一次函数的图象上的点 ，分别求出和时，点的对称点所在的直线，进而确定图形，利用数形结合的思想，找到直线与图形恰好没有交点时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴点的“对称点”与点关于对称， 连接，分别作轴，轴，则：，， ∵对称， ∴， ∵直线为一，三象限的角平分线， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴点的“对称点”与点关于轴对称， ∴； 故答案为：， （2）∵设点， ①当时，则：关于直线对称， 由（1）可知：关于直线对称的点的特点为横纵坐标位置互换， ∵， ∴，此时， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴，符合题意； ②当时，则：关于轴对称， ∴，此时，即：， ∴， ∴，符合题意； 综上：； （3）设一次函数的图象上的点 ， 当时，即：时，点的对应点为：， 令，，则：， 即此时点的对应点在直线上， 当，即：时，点的对应点为：， 同法，可知：点的对应点在直线上， ∵， ∴当时，， 如图， 当经过时，， 此时直线恰好与图形没有交点， 当直线向上移动时，直线恰好与图形有交点， 当直线向下移动时，直线与图形没有交点， 故的范围为：． 变式4-2定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中k为常数，且，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)点的“3级变换点”是点________； (2)设点是点的“k级变换点”． ①为反比例函数的图像上，当时，判断m，q的大小关系：________； ②点A的坐标为，若，求点Q的坐标； (3)若以为圆心，1为半径的圆上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）根据“k级变换点”的定义，即可求解， （2）由是点的“k级变换点”，得到，，整理得到，①将代入反比例函数，得：，计算，根据平方的非负性，，得到，即可求解，②由，，由，得到的解析式：，作,由，得到，，，由，，，，，得到，，，，代入，即可求解， （3）设圆上两点为、，设，则其“1级变换点”为，将代入，得到，点、点在直线上，由、到圆心的距离为1，得到，与联立，得到，由、，为两个不同的交点，得到，，根据二次函数，与轴的交点，与开口方向，即可求解， 本题考查了，新定义，反比例函数，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，两点间距离公式，解题的关键是：理解“k级变换点”，正确列式． 【详解】（1）解：点的“3级变换点”为：，即：， 故答案为：， （2）解：∵是点的“k级变换点”， ∴，， ∴， ∴， ①将代入反比例函数，得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ②∵， ∴， 点所在直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴点在直线的上方， 过点作,垂足为， ∵为直线上一点， ∴设， 过点作轴的平行线，分别与过点、与轴的平行线交于点、， ∵, ∴， ∵,， ∴，， ∴， ∵，, ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，，，， ∴解得：， ∴， 故答案为：①，②， （3）解：设圆上两点为、， 设，则其“1级变换点”为， 将代入，得：，整理得：， ∴点在直线上，， 同理可证点在直线上， ∵圆的半径为1，为圆心， ∴，与联立，整理得：， ∵、，为两个不同的交点， ∴，整理得：， 解方程，得， ∵开口向上， ∴当时，， 故答案为：． 变式4-3阅读：若为正实数，对于某一函数图象上任意两点、，若恒成立，则称这个函数为王氏函数，为王氏系数． (1)分别判断和 是不是王氏函数； (2)若 是王氏函数，求的取值范围； (3)若 是王氏函数，且的最大值为27，求的值． 【答案】(1)是王氏函数，不是王氏函数 (2)≤ (3)3 【分析】（1）利用王氏函数的定义判断即可； （2）先利用王氏函数的定义化简得到有≥恒成立，即≥，再利用x的范围即可得出L的范围； （3）先利用李氏函数的定义得出结论化简得有 ≥，即 ，最后求出a的值． 【详解】（1）由≥得 ①， ∴=3 ∴（满足） ②， ∴= ∴ （不是定值，不满足） ∴是王氏函数，不是王氏函数； （2）若是王氏函数，则有≥恒成立，即≥ ∵， 设 ∴ ∴≤恒成立 ∴≤ 故≤； （3）由题 ≥ ∴ 且 ∴ ，， 即 ∴ 所求的值是3． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了新定义，解不等式，分类讨论的思想；解本题的关键是理解新定义． 一、单选题 1．小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象及性质，将函数变形为，因此该函数图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，根据由函数的图象逐项判断即可． 【详解】解：∵函数可变形为， ∴函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到， ∵函数的图象的对称中心为原点， ∴函数的图象的对称中心为，故A选项错误； ∵由图可知，函数在时，不存在连续的增减性， ∴函数的图象在时，不存在连续的增减性，故B选项错误； ∵由图象可知，函数图象在时，有最低点，即存在最小值， ∵， 即当时，由最小值，为2， ∴函数在时，有最小值，为， ∴函数在时，由最小值，为，故C选项正确； ∵由函数与函数，可得， 即， 解得，， ∴二次函数的图象与函数的图象有2个不同的公共点，故D选项错误． 故选：C 2．如图，正方形的顶点 A 在反比例函数上，B、C 都在反比例函数则正方形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A，C分别作x轴的垂线于N，M，过点B作于点G，交y轴于点H，设，先利用正方形以及矩形的性质证明，，得到，，再根据点在反比例函数上得到，利用平方根的求解得到，从而得出结果． 【详解】解：如图，过点A，C分别作x轴的垂线于N，M，过点B作于点G，交y轴于点H， 点 A 在反比例函数上， 设， 四边形为正方形， ， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ，， B、C 都在反比例函数上， ， 整理得：， 两边平方得：， ，即， （负值舍去）， ， 正方形的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的求值，矩形的判定与性质，实数的运算，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线证明三角形全等为解题关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图象上的一个动点，过点作轴，交函数的图象于点，点是轴上在点左侧的一点，且，连接、，有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．其中正确的结论有（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】①设点，则根据菱形的判定分析判断即可；②在①的基础上根据正方形的判定分析判断即可；③在①的基础上根据周长计算判定即可；④根据反比例函数值几何意义进行判定即可． 【详解】解：如图所示： ①轴， ， 又， 四边形是平行四边形， 设点，则，又， ，， 当时，，， 此时，，随着的变化，可能存在的情况，故①正确； ②由①可知，时，，， ，故②错误； ③由①可知，时，，， ， 当点的横坐标为时，，， ，， ， ， ③错误； ④如图，作轴，垂足为，轴，垂足为，则四边形为矩形， ， ， 四边形面积为定值，故④正确． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质、菱形的判定和性质、正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征． 4．如图，平面直角坐标系内有正六边形，，，若的图象使得正六边形的六个顶点分布在它的两侧，每侧各三个点，则的整数值的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先求得正六边形的边长，再通过正六边形的内角和求得，连接，作于，通过等腰三角形三线合一和勾股定理，求得，表示出点的坐标，当过点时，；当过点时，，从而推出，然后得到的整数值的个数． 【详解】解： ， ， 多边形是正六边形， ，其内角和为， ， 连接，作于，如图所示： ，，， ，， ， ， ， ， ． 当过点时，； 当过点时，； ， 则可取5，6，7，8，共4个整数值， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质、点的坐标与线段长度的关系、反比例函数系数的性质、勾股定理、等腰三角形三线合一，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5．如图，在轴正半轴上依次截取，过点、分别作轴的垂线，与反比例函数的图像交于、，连接、、、、，在上取一点，使得，依次类推，在上取一点，使得，连接，则构成的一系列三角形（见图中阴影部分）的面积和是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是得出的规律，计算出三角形的面积，再根据计算的面积找到数字之间的规律．过点作于点，过点作于点，根据反比例函数解析式得到证明四边形、是矩形，从而得出，，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，同理可得，，……从而发现规律得出，再根据三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 设， 过点、分别作轴的垂线，与反比例函数的图像交于、， 则…… ，，， ，， 四边形、是矩形， ，，，， ，， ，， ， 同理可得，，，，，…… 观察发现，，，，……， 则， ， 阴影部分的面积 ， 故选：A． 二、填空题 6．如图，四边形为矩形，点，在轴上，边与轴正半轴交于点，点在线段上，延长交轴与点，连结，，，反比例函数经过点；若，，则的值为 ． 【答案】49 【分析】题目主要考查反比例函数与图形、一次函数综合问题，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 设点A的坐标为，得出，设点，得出，设点G的坐标为，确定，得出，利用待定系数法确定直线的表达式为：，确定，得出，结合面积关系求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵反比例函数经过点A， ∴， ∵四边形为矩形，点，在轴上， ∴设点， ∴， 设点G的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为：， 将点A、G代入得：， 解得: ， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：49． 7．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作轴，轴．垂足分别为点，．当矩形的面积是的面积的2倍时，的值为 ． 【答案】 【分析】分别求出矩形与的面积，再根据“矩形的面积是的面积的2倍”列出方程求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点， ∴取，则；取，则，解得：． ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，， ， ∵点是反比例函数的图象在第一象限内一点， ∴矩形的面积为， 当矩形的面积是的面积的2倍时，， 解得：（舍去）或． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，求三角形的面积，一元二次方程的解法等知识点，解题的关键是利用矩形与三角形的面积关系列出方程求解． 8．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据题意求得，由，即可得出，解方程求得的值，从而求得． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数与正比例函数的中心对称性，正确表示出的坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，的面积为， ∴、关于原点对称， ∴， ∴， ∵点在反比例函数第一象限的图象上， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 故答案为：． 9．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，，反比例函数经过其对角线的交点M，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，若，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】过点作轴，垂足为，过点作轴于点，过点作轴于点，根据菱形的性质，得到为等边三角形，均为含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，旋转求出的长，得到为含30度角的直角三角形，求出的长，再利用分割法求出的面积即可． 【详解】解：过点作轴，垂足为，过点作轴于点，过点作轴于点，如图： ∵菱形，， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∴， ∵反比例函数经过其对角线的交点M，， ∴， ∴（负值舍去）； ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∵将线段绕点O顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：12． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 三、解答题 10．如图，反比例函数过点，直线与x轴交于点，交y轴于点E，过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B． (1)求k的值与B点的坐标； (2)将直线向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点时，直线交x轴于点F．请判断点B是否在直线上，并说明理由； (3)在（2）的条件下，在平面内有点M，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形，请求出符合条件的所有M点的坐标． 【答案】(1)， (2)点B在直线上，理由见解析 (3)点M的坐标为：或或 【分析】本题主要考查的是反比例函数综合运用、一次函数的性质、平行四边形的性质、函数的平移等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将A点的坐标代入反比例函数求得的值，然后将代入反比例函数解析式求得相应的的值，即得点的坐标； （2）确定平移后直线的表达式即可求解； （3）分为平行四边形的边、对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 故该反比例函数解析式为：． 点，轴， 把代入反比例函数，得：， ． 综上所述，的值是，点的坐标是； （2）解：设直线A、的表达式为 则，解得：， 故直线的表达式为：， 令，则，故点， 设直线向右平移个单位， 则平移后直线的表达式为：，则点， 点在反比例函数上， 将点坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 则平移后直线的表达式为：， 令，则，故点； 当时，，故点在直线上； （3）解：设点的坐标为，而点A、、的坐标分别为：、、； 当是边时，点A向右平移4个单位向下平移个单位得到， 同样点向右平移4个单位向下平移个单位得到， 故或，解得：或， 故点的坐标为：或； 当是对角线时， 由中点公式得：，解得：， 故点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故 ，再由，进而计算可以得解； （３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ∴． ∴． 设一次函数表达式为， ∴， ∴，． ∴一次函数的表达式为． （2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， 又直线l为， ∴，． ∴，， ∴ ； （3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长． ∵与关于y轴对称， ∴为． 又，设的解析式为， 则，解得， ∴直线为． 令，则． ∴． 12．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)如图2，过点与点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点，点，两垂线交于点，连接，求的面积； (3)如图3，延长交反比例函数在第三象限内的图象于点，连接，，将直线沿着轴向下平移若干个单位长度，使得直线经过点，平移后的直线与轴交于点，若在直线上存在点，使得，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何图形，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键； （1）将分别代入一次函数，得出的值，进而求得反比例函数表达式； （2）过点作轴于点，根据矩形的性质以及的坐标，分别求得进而根据的面积等于梯形的面积，即可求解； （3）根据中心对称得出，进而求得过点的直线解析式为，求得，设交轴于点，求得的坐标，得出，进而根据，求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将和分别代入一次函数 ∴ 解得： ∴，， 将代入 ∴ ∴； （2）解：如图，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴ （3）解：如图, 设交轴于点， ∵，延长交反比例函数在第三象限内的图象于点， ∴， ∵一次函数平移得到直线， 设直线的解析式为 将点代入得， 解得： ∴直线的解析式为 当时，，即 当时，，即 ∵，， ∴ 又∵ ∵， ∴重合，即 ∵ ∴在的中点位置， 即即 综上所述，点的坐标为或 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长； (3)是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在满足条件的点，其坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合， （1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的表达式，然后联立方程组求解即可得出点A的坐标； （2）过点作轴，垂足为．根据已知可得，设，根据图形面积建立方程，求出点M的坐标，然后勾股定理，即可求解． （3）根据角的2倍关系，考虑分类画出图形（点在直线下方，点在直线上方），由于是直线与轴相交得到的，利用平行线转换到以为顶点的等角，再结合等腰三角形的三线合一，求出直线的表达式，联立反比例函数的表达式求解． 【详解】（1）解： 在直线上， ，解得， 点的坐标为，直线的表达式为 ． 将点代入反比例函数中，得， 反比例函数的表达式为． 联立， 解得或， 点的坐标为； （2）如解图①，过点作轴，垂足为． 在一次函数中，令，得， ． 轴， ． 点在反比例函数的图象上，轴，轴， ． ， ． 设， 则， 解得或， 经检验，或是所列方程的解， 点在点的右侧， ， ， ； （3）如解图②，若点在直线AB下方，过点作轴于点，延长CE至点，使得． ， ． 由（1）（2）得， ， ， 联立， 解得或， ； 若点在直线上方，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接并延长交反比例函数的图象于点，即为所求的点． ， 联立， 解得， ． 此时， 是GH的中点， ， ， 联立， 解得或， ． 综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或． 14．如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)双曲线的解析式 (2)①；②的值不发生变化，为18 【分析】（1）根据非负数的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出点，，即可求出的面积，设点D的坐标为，，根据的面积是的面积的3倍，求出m的值，即可解答． ②过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，再根据题意可得，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得， 将代入，得 ，解得， ∴双曲线的解析式． （2）①当时，， 令，得， ∴，即， 联立得：， 解得：或， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为，，则 ， ∵的面积是的面积的3倍， ∴，解得， 即， ∴． ②的值不发生变化，理由如下： 过C作轴于H，如图：在中，令得，令得， ∴， ∴， 即 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由反比例函数可知，， ∴，即， ∴， ∴ 即的值不发生变化，为18． 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $$