2025年湖南省长沙市中考数学试题

2025年长沙市初中学业水平考试试卷 数学 注事项： 1,客照前，清考生先将自已的姓名、准考证号填可清楚，并认离核对条形码上的始名，增 考证号、考室和整位号： 2必策在答理卡上答题。在草瑰纸，认商卷上若周无教： 3.等夏时，请考生生意本大题夏骨后面的答是视示： 4.墙物新叠答超卡，保挣字休工整、笔瓷清聚、卡而清洁 5.笨题卡上不得使屑流政兼、兼政胶和站纸 6.本学料试共25个公周，考试时量10分钟，满分120分 一、选辉题（在下列备愿的四个进项中，只有一项是符合愿意的.请在餐蹈卡中填涂符合 屋意的造溪，本大题共10个小益，每小题3分，共0分】 1,人莞探索洁测字宙的步伐从未停止，天文季家己经界明一年之中地规与太阳之间的矩 离随时间变化置变化，地球与太阳之间的平构距离约为149600000m,用科学记数法 将数据19600000表示为 A.1.496x10 B.1496×10 C.1496×103 D.14.95x10 工.左下图是由五个大小蝎同的正方体拼成韵几何体，它的左视图是 正香 A. B. c. D. 3.在实标生活中，常用正数、炎数表示具有相反意义的量如果把向东走初米记作+助米， 都么向西走0米记作 A,-60米 B.-0米 C.490米 D.460米 4,下列运算正确的是 A2etd-2dB。6ab+a=6bC.(ay=a8D.9-6=月 5.220年，我国承话，力争于2但0年前实灵“碳达蜂"，2060年聊实规“黑中和，得 导低表生活是每个公见的社会责任，某斑环保小组为了解同学们去年各白家庭月平均 “碳足迹”的情况，收集了本组8名同学的家直月平均用电产牛的装量（单位：千克】 数据，依次为：76,7%77,9,7875额则这组数据的众数是 A.77 日.78 C.79 D.80 6.智雄农业广泛应用智能机径人某品牌轻能机器人的一个机械干平均每分钟采情10个 苹果若该机题人搭载丽个机点于（附>1，则谈机器人平均每分针采摘的竿果个数为 A.6m B.m+10 C.60n D.10m 7.如图，AB∥CD,直线EF与直线B,CD分翻交于点E,F,直线EG与直G① 交于点G.若4-0，☑-0，则∠GF的度数为 A30° B,6行 C65 D,70 初中学业衣平考认数学这基第】页（共4夏） yGF 第7题图 第8置图 第9愿图 8.如图，AC,BC为⊙O的弦.速接OM:O8,0C.若∠0B=40,L0CA=, 则∠C0韵度数为 A.40 B.4 C.So D.55 9.如园，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B在AC边上的点处.者AB■4，C=5, AC=6,黑△GDE的周长为 A5 B.6 C65 D.7 10.中国式现代化取得了题坷史册的佛大成就，投大地望升了我国的篠合国力与国际影响 力.据世界银行公有的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为18.53万 亿美元 附，世界银行公有的224年GDP并名前20名的部分图家数遥表 田家GDP总量（单位：万亿美元）国家GDP总数〔单位：万亿美元) 德国 4.59 巴西 133 印度 3.93 俄罗斯 205 英国 3.49 韩国 1.76 法国 3.13 确士 Q9射 预计2025年中国0DP总量的增长率为5%左右，锦称根据以上信息替算 2025年中国GDP的增长量与下列厚个国家2024年GDP总量最接运？ A.法国 且.墙士 C,巴西 D.页国 二、填空显（本大愿其6个小题，每小题3分，共1这分） 1儿，分解因式：x-2g= 12.为了解某校学生利用全国中小学智数教育平合精附学习的情视。从该校全体3600名学 生中，随机调查了1心0名学生，统计墙果是示仅有3名学生从未使用该平台辅师学习。 由此。估计请校全体学生中。从来使用该平合辅融学习的学生有名 品的解为 15.分式方程3 14.知图，AB为⊙0的弦，OC⊥AB于点C,注接QA,O8:若AB=QM:4C=3,则 04的长为 箱14题图 第15图 15.如图，五边形ABCDE中，∠8=120°，∠C■110°，∠D=105”,则∠A+∠E■_ 潮中举业水平考流教平填套暴2页（长4黑） 16.衣程穿旅整不整齐，系好前一粒扣子根重要.青少华近开人生第一岁就要老正道。西 严格海守因家法律法规，同样的道理。学习数学首先陵必须连守数学中的基本法则 例如：下面命是的推要过程所得出的错误结论就是由于不速守数学的蓝本法则导线的， 命思：如果2，b。c为实数。且调是a+b=-e。都么2■1. 推理过程如下： 第一步：推送上述角条件有日十= 0 第二步：根摇七年级修注的整式运算法划有 2=2a-8b=2h-=20-01 第三步：把必代入①.写得2a-)+2h-月=-2c-: @ 第四步：拒两边利用移项，去括号法则、加法交换樟等，变形可得 204+6+c)=(a+b+c): 第五步：起④调边同时除以(@+b+司，得2■1， 请常列断上述推理过程中，第步是量最的，它违背了数学的基本法刚 三.解答现{本大最共9个小酸，第17、18、19题年小题6分，第20、21器每小量8分 第22、13题每小题9分，第24、25每小那10分，共2分.解苦应写出必要的文 字以明、证明过程或高弹多移） n.痛b5-中周-（可-(-m时 1+2红>x-6 18.解不等式担： 4x53x+2. 9.如图，在△C中，AB=4C,n=2,以点C为遇心， 适当依为半径作直，交C4于点M,交CB于点W,再分以 点M,N为墨心，大于MW的长瘦为半径作乳，两强相交 于点P,作射线了交信于点D (1》家∠CD的度数： 第19因图 (2)若BC■25，求AD的长 20,2025年5月18日，策南省葛三层大中小学阅读教有论坛在长沙举行.论左聚焦英有与 阅读融合，为招家美真与阅渣胜合的新路经。某校举行了以“美膏与民读慰合”为主题 的蜘识瓷赛。夏泰成姨以等第形式星现，随机抽夏了部分参塞学生的成绩注行能计， 到加下丙钢路完盖的线计图表(A代表优诱、日代表旋好、C代表一复、D代表合格，) 梦第陵数赖平 20 B 30 00 044 D 0.06 44 根害图表中所给息，解答下列间 (1)本次调香随机挂取了 名学生的成镜：表中精= (2)在刚形线计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为 度： (3》若请校八年级一茄和二斑脸好各有2名学生的参赛成绩是“A第”，从这4名学生 中菌机抽取2名学生参如以“美育与阅读融合”为主思的校级阅读分享话动，请 用列表法或树以逐法球选出的2名学生恰好来自同一个班城的极率 0 2I.如周，正方形ABCD中，点E,F分别在B,CD上，且E■DF (1)求证边悉4ECF是平行四边形： (2)速接EF,着BC=[2,8E=5,求EF的长 第21感图 中学业衣干米流数带流表第3页（共4夏） 卫，为落实技兴衣政策，某多办衡品全业腔用新科拉推动农产品由租加工向精加工转突 根据市场雷魏，该食品企业将化购的农产品加工成A,B两种等级的农产品对外销售 已妇销售6千克A等极农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A幕 级产品和2千克B等级农产晶共收入元（不考虑加工提） (1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的时售形价分别为多少元了 (2)若该食品金业以每千克8元房进6080千克农产品，全邮知工后对外所售，要球总 利湘不年予1600元则至少胃加工A等极农产品多少千克1 3,如图。某景区内两条互相岳直的道路层，b交于点M。景点A, 8在道路。上，景点C在通路6上，为了造一步开景区品质， 最区管委会在端路6上又开发了风景民美的最点D,经别阁景点 G位于是点B的偏东60方向上，位于景点A的北偏东3炉方 向上，联点B位于景点D的南偏西5方向上，已知AB=0m (1D求∠4CB钩度数： a (2)求景点C与录点D之同的距离，《结果保图根号) 第23愿图 24.我们的定：当+乃端是名+为}+伤+⅓}✉0。且写+男*0时，释点，别 与点：乃)为一对对调底”·君某承数图象上至少布在一对“对偶点”，效称请函数 为“对属函数”，请常根据该约定，解答下列问题： (1)请你斯下到说法是吾正璃（在是后把应的括号中，正确的打“√”，错深的打“×门： ①雨数y-车《k是非零常数)的图象上存在无数对“对锅点 ②函数y=-2灯+1一定不是“对偶孟数” 《) 图图数■子+x一1的图象上至少存在柄对“对偶点”， 2)若关于x的一次函数y=5+A与y=名+岛《A,存布是常数，且4女<0)均 是“对氧函数”，求这两个面函数的图象分别与两坐标柏围成的平面图形的面积之和： (3)若美于x韵二次函数y一2：2-1是“对偶雨数”，求实数✉的取值困 5,如图1，点0是以AB为直轻的半男的圆心，D与C均为该半医的切线，C,D均为 直径AB上方的胡点，连拔CD。且始终满是CDAD+C, (1)求逢：CD与该半圈相切： 2 2 2)当半使r-5时，令0-aCb,m2.2十，比数 ”与n韵大小，并说明理由： (3】在(1)的条件下，如图2当半径r=1时.若点E为CD与该半型的可点，AC与D 交于点G,接EG并廷长交AB手点F,连楼AE,BE,◆G=x: B-G十心C⑦P:求y美于x的函数解析式（不考地白变量x的取值甄即 4 第25题围 阁中学业水平考化然中成春基4（典4面） 2025年长沙市初中学业水平考试试卷 数学参考答案及评分标准 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号12345 6 7 8 9 10 答案BAACBDB 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.m(x-2y): 12.108; 1. 14.6: 15.205: 16.五. 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分， 第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤) 17.解：原式=2√5-1+5-3-1 …4分 =22. 。a42400246升 18.解：解不等式①，得x>-7. …2分 解不等式②，得x≤2.… …4分 ∴.不等式组的解集为-7<x≤2. …6分 19.解：（1)AB=AC,∠B=72°， .∠ACB=∠B=72°. 由作图可知，CD是∠ACB的角平分线， :∠BCD=∠ACD=∠ACB=36. 2 3分 (2)在△BCD中，由三角形内角和定理得∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°， .∠BDC=∠B, .'CD=CB, 在△ACD中，，∠BDC=∠A+∠ACD,∠ACD=36°， ∴.∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°. ·∠A=∠ACD. .AD=CD. .'AD=BC. BC=2.5, /AD=2.5.… 6分 初中学业水平考试数学参考答案及评分标准第1页（共6页） 20.解：(1)100：02044↑3分 (2）72； .5分 (3)记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A,设一班的2名学生为 甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图： 开始 甲 乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙 7分 一共有12种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果。 P团台时 8分 21,解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， D .AB∥CD且AB=CD. 又：BE=DF, .AB-BE=CD-DF. .AE=CF. 又：AE∥CF, ∴.四边形AECF是平行四边形 .4分 (2)过点E作EH⊥CD于点H. ,四边形ABCD是正方形，BC=12, .CD=BC=12,∠B=∠BCD=90°. 又：∠EHC=90°， ∴.四边形EBCH是矩形 .EB=HC=5,EH=BC=12. 又，DF=BE=5, '.HF=CD-DF-CH=12-5-5=2. 在Rt△EHF中，由勾股定理得 EF=√EH2+FH=V122+22=V148=237.8分 22.解：(1)设A等级农产品每千克销售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为y元， 由题意 6x+4y=112,解得 =12, 4x+2y=68. y=l0. 答：A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售 单价为0元. 5分 (2)设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品(6000-m)千克， 由题意得(02-8)m+(00-8(6000-m)≥16000 解得m≥2000. 答：要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品2000千克、 9分 初中学业水平考试数学参考答素及评分标准第2页（共6页） 23.解：(1)如图，由题意可得∠CBE=60°，∠CAF=30°，∠BDM=45°，BM⊥DM, BE∥AF∥DM. .∠BCM=∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°. .∠ACB=∠BCM-∠ACM=60°-30°=30°. .5分 (2)方法一： 北 6 ,∠CBE=60°， .∠CBM=90°-∠CBE=90°-60°=30° 东 才D 45 由(1)得∠ACB=30°. .∠ABC=∠ACB=30°. E,60 09 又AB=800, F .AB=AC=800, a B A M 在Rt△ACM中，sin LACM=4 AC'COSLACM=CM ·AM=AC,sin∠ACM=800xsi血30°=800×5=400， CM=4C-cos∠4CM=800xcos30°=800xy5 =4005. ,.BM=BA+AM=800+400=1200. :'∠BDM=45°，BM⊥DM, .DM=BM=1200. ∴.DC=DM-CM=1200-400W5(m). ∴.景点C与景点D之间的距离为(1200-400W5)m 方法二： ,∠CBE=60°，∠CAF=30°，BE∥AF∥DM, ∴.∠BCM=∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°. 设AM=x,则AC=2x,CM=V(2x)2-x=√5x. 在Rt△BCM中， tan∠BCM= BM 800+x 3x 即V5=800+x 3x1 解得x=400.经检验得x=400是原方程的解. ,∴.BM=BA+AM=800+400=1200. :∠BDM=45°，BM⊥DM, .BM=DM=1200. .DC=DM-CM=1200-400W3(m). 景点C与景点D之间的距离为(1200-400V5)m9分 初中学业水平考试数学参考答案及评分标准第3页（共6页） 24.解：(1)①（√）：②(V):③(×). .3分 (2)由题意可得2=-片，2=一x,点(：，乃)与点(-y,一x)且，≠一男是一对 “对偶点”，由于y=x+4是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”. 从而有 4=西+6 ，两式相减可得k1=1,同理可得k2=1. 4=-k4+ 所以两个一次函数为y=x+4,y=x+b2,由于，b2都是常数，且4b2<0, 故此两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点 的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示 y y=x+b y=x+b y=x+6 y=x+b 求得其面积之和S=号2+2) .6分 (3)方法一：由题意可得a≠0，且5*-男时，有5=2x2-】 ① -x=2a(-为)2-1② 以上两式相减可得x%=之从而将为=方代入①整理可得 22-+}-1=0,此关于5的一元二次方程必有实数根。 2a 由于a=1-8a名-)=-3+8a=0时，4=%=号 (不符合题意)· 从而必有△=-3+8>0，解得a>3 方法二：由题意可得a≠0，由于函数y=2ax2-1是“对偶函数”，所以它 的图象上一定存在一对“对偶点”点A%,)与点B(-,一)且，≠一· 不妨设经过A,B两点的直线（一次函数）的解析式为y=c+b,由题意可 得k=1b=为-为，即y=x+片一为 联立 =+男-②，0-②得2a2-x+5-4-1=0. y=2ax2-1① 由直线AB与二次函数图象必有两个不同交点， 故必有△=1-8a(:-y-)>0(*), y=2ax2-1 -为=2a(-)2-1④ ，⑧-④得2a-W=1,将其代入（) 可得△=1-4+8>0，解得a>号 方法三：由题意可得a≠0，且名*-y时，有1=2a2-】 -￥=2a(-)2-1② 初中学业水平考试数学参考答案及评分标准第4页（共6页） 以上两式相减可得x+()=。,以上两式相加变形可得（←）-4行2a】 11 2a 所关于：的一元二次方程户-六+证a ,1-1=0必有两个不等实数根x一 从而4=（岩-4行名>0，解得> 3 4a722a 810分 25.解：(1)证法一：如图1，连接OC,OD,过0作OE⊥CD于点E. AD=a,BC=b,OE=d,OA=OB=r. 由于SABCD=SMOD+SSCOD+SABOC, 则南分x2r-a+)-r+片a+b加+n, C 2 化简得d=r, ∴.CD与该半圆相切. 0 证法二： 图1 如图2，连接CO,并延长交DA的延长线于点M,过点O作OE⊥CD于点E. ,AD与BC均为该半圆的切线， .AD⊥AB,BC⊥AB. .AD∥BC. ∴.∠M=∠1. ,O为AB的中点， ∴.OA=OB. 在△OAM与△OBC中 「M=A ∠OAM=∠OBC=90 OA=OB 图2 .△OAM≌△OBC(AAS). ∴.AM=BC CD=AD+BC, ∴.CD=AD+AM=DM. ∴.∠M=∠2. ,∠1=∠2，即C0平分∠BCD. 又.OE⊥CD,OB⊥CB, .OE=OB. ,CD与该半圆相切， 证法三： 如图3，在DC上截取DE=DA,连接OE,AE,BE ,DC=AD+BC=DE+CE CE=CB, .∠1=∠2，∠3=∠4. ,AD,BC是半圆的切线， .AD⊥AB,BC⊥AB. 图3 ,AD∥BC. ,∠ADC+∠C=I80°. ,'∠ADC+∠1+∠2+∠C+∠3+∠4=360°， 初中学业水平考试数学参考答案及评分标准第5页（共6页） ∠2+∠4=360°-180 =90° 2 ∴、∠AEB=90°. O为AB的中点， 08-B=04, 连接OD,在△ADO和△EDO中 AD=ED OA=OE OD=OD ∴△ADO≌△ED0(SSS). ∴∠OED=∠OAD=90°. .OE⊥CD. .CD与该半圆相切. .3分 (2)m=n.理由如下： 如图4，过点C作CM⊥AD,交AD于点M, 在△CDM中，由勾股定理可得CD=DM2+CM2, a CD=AD+BC=a+b,DM=a-b,CM=2r,M C (a+b2=(a-b2+4r2.÷2=4AD-8C=ab=2,Ah 6 r O B 代入可得226+66。 a 图4 0446分 (3)如图5，：CD,AD,BC均为该半圆的切线，∴.DA=DE,CB=CE, ,AD⊥AB,BC⊥AB,.AD∥BC. △DAGn△BCG,:Cg-CB-C5,C9-C5 GA AD ED CA CD :∠ACD=∠GCE,∴.△ACD∽△GCE. .∠ADC=∠GEC..EG∥AD∥BC,FG∥AD∥BC. FGAF BCAB FG+FG FG BF BC AD =1,+11 BC+AD-FG AD AB 同理可得】+ BCAD-EGFG-EG=x. 1 由(2)可知2=ADBC=DEEC=1, 成证c市品器 =DC=1 又在Rt△ABE中，5AE·BE=号(2x)2)=2x, 2 0 ,AE·BE=4x,, 41 图5 AE·BEx ++DC-1+1+1-3 六y=AB·BEFG XxxX… ,10分 (本卷各题的其他合理解法均酌情给分) 初中学业水平考试数学参考答案及评分标准第6页（共6页）