专题01 一元二次方程的定义与解法（压轴题专项训练）数学苏科版九年级上册

专题01 一元二次方程的定义与解法 目录 典例详解 类型一、一元二次方程的变形求值（含降次） 类型二、一元二次方程的赋值求解（必有一根） 类型三、一元二次方程的整体带入 类型四、一元二次方程的解的估算 类型五、一元二次方程的特殊解法——换元法 类型六、一元二次方程解法中配方法求最值 压轴专练 类型一、一元二次方程的变形求值（含降次） 知识点： 一元二次方程的标准形式为ax²+bx+c=0（a≠0），其中a、b、c为常数，x为未知数。 一元二次方程的解（根）是能使方程左右两边相等的未知数的值。 方法： 降次方法：主要包括直接开方法、配方法、公式法和因式分解法。 直接开方法：适用于方程呈现如x²=p或（x+q）²=p的形式，通过对等式两边同时开平方来降次。 配方法：通过配方将方程转化为完全平方形式，再求解。适用于所有一元二次方程，尤其当方程无法直接开平方时。 公式法：一种通用解法，适用于所有一元二次方程ax²+bx+c=0。其公式为x=[-b±√（b²-4ac）]/2a。 因式分解法：当方程左侧可分解为两个一次因式的乘积时，此方法最为高效。常见的分解方法包括提公因式、平方差公式、十字相乘法等。 例1．设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，再把，代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个实根， ∴， ∴，， ∴ ， 故选：B． 变式1-1．若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 变式1-2．若a是方程的一个根，则的值为 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到，然后根据等式的性质易得，代入原式即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：11． 变式1-3．已知a是一元二次方程的一个解，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程得：，从而求出，的值，再整体代入是代数式进行计算即可． 【详解】解：把代入方程得：， ，， ， 故答案为：2． 类型二、一元二次方程的赋值求解（必有一根） 知识点： 1.根的判别式：Δ=b²-4ac。根据判别式的值，我们可以判断方程的根的情况： （1）Δ>0，方程有两个不相等的实数根。 （2）Δ=0，方程有两个相等的实数根，即一个重根。 （3）Δ<0，方程无实数根。 题目若说明方程必有一根，则我们可以判断方程的判别式Δ≥0。 2.韦达定理：对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），若它的两个根为x₁和x₂，则有： （1）x₁+x₂=-b/a （2）x₁x₂=c/a 利用韦达定理，我们可以根据已知的一个根来求解另一个根。 方法： 1.公式法：对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其求根公式为x=[-b±√]/2a。当题目说明方程必有一根时，我们可以先判断判别式Δ的值，若Δ≥0，则可以直接利用求根公式求解。 2.配方法：配方法是通过将一元二次方程转化为完全平方的形式来求解。当题目说明方程必有一根，且方程的形式适合配方时，我们可以选择配方法来求解。 3.因式分解法：若一元二次方程可以因式分解为(ax+m)(bx+n)=0的形式，则我们可以直接令两个括号内的表达式等于零来求解。这种方法在方程可以轻易因式分解时最为便捷。 4.图像法：对于一元二次方程，我们可以借助坐标系绘图来直观展现方程的根所在位置。根据抛物线与x轴交点的横坐标，我们可以得知方程的解。这种方法虽然不够精确，但可以帮助我们直观地理解方程的解。 例2．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义； 根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， ， 两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得， ， ． ∴当时，方程成立． ∴方程必有一根为 ， 故选：D． 变式2-1．若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，代入一元二次方程，得，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， 两边除以，得， ∴， ∴是一元二次方程的一根． 故选：C． 变式2-2．若关于的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为 【答案】 【分析】一元二次方程变形为，由于关于x的一元二次方程的一个根是，则关于的一元二次方程的一个根是，据此即可解答． 【详解】解：一元二次方程变形为， 所以此方程可看作关于的一元二次方程， 因为关于x的一元二次方程的一个根是， 所以关于的一元二次方程的一个根是， 即， 解得， 所以一元二次方程必有一根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 变式2-3．如果4a﹣2b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0必有一个根为 ． 【答案】2 【分析】由ax2﹣bx+c＝0满足4a−2b＋c＝0且a≠0，可得：当x＝2时，有4a−2b＋c＝0．故问题可求． 【详解】解：由题意，一元二次方程ax2﹣bx+c＝0满足4a−2b＋c＝0且a≠0， ∴当x＝2时，代入方程ax2﹣bx+c＝0，有4a−2b＋c＝0； 综上可知，方程必有一根为2． 故答案为2． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 类型三、一元二次方程的整体带入 知识点： 整体代入法是一种重要的数学解题方法，尤其在处理包含复杂表达式或方程组的数学问题时。在一元二次方程中，如果方程或表达式中的某部分具有相同的结构或形式，可以将其视为一个整体，并用一个变量（如y）来代表这个整体。然后，将这个整体代入到其他方程或表达式中，从而简化问题。 方法： 1.识别整体：首先，需要仔细观察方程或表达式，找出可以视为整体的部分。这通常涉及对方程或表达式进行因式分解、配方或其他形式的变形，以突出整体结构。 2.代入整体：一旦识别出整体，就可以用一个新变量（如y）来代表它。然后，将这个整体（即新变量y）代入到其他方程或表达式中。这样，原始问题就被转化为一个包含新变量y的简化问题。 3.求解新问题：在代入整体后，通常会得到一个关于新变量y的简化方程或表达式。接下来，需要求解这个新问题，以找到新变量y的值。 4.回代求解原变量：最后，将新变量y的值回代到原始方程或表达式中，以求解原变量（如x）的值。 例3．关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用换元法解方程是解题的关键． 设，则方程可化为，，是方程的解；方程可化为，得或，从而求出的值即可． 【详解】解：设，则方程可化为， ∴，是方程的解， 则方程可化为， ∴或，即或， ∴或，即，． 故选：． 变式3-1．已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：D． 变式3-2．若方程的解为，，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，把看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解是解题的关键．把方程看作关于的一元二次方程，然后根据题意得到或，再解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 关于的方程的解是，， 方程化为或， 解得，． 故答案为：，． 变式3-3．已知关于x的方程的两根为，则方程的两根分别是 ． 【答案】0或1 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握运用换元法解一元二次方程成为解题的关键． 设可得，再根据方程的解的定义可得，最后确定方程的两根即可． 【详解】解：设，则方程可化为， ∵关于x的方程的两根为， ∴关于t的方程的两根为， ∵， ∴， ∴程的两根分别是0或1． 故答案为：0或1． 类型四、一元二次方程的解的估算 一元二次方程的解是指使方程左右两边相等的未知数的值。对于一元二次方程的解的估算，主要方法是通过“夹逼法”来实现。 夹逼法的步骤为：首先，根据实际问题确定一元二次方程的解的大致取值范围；然后，通过具体的求值计算，逐步缩小这个范围，即进行两边“夹逼”，从而求得解的近似值。这种方法体现了数学中近似计算的重要思想。 例4．观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是． 【详解】解：， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 变式4-1．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 变式4-2．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题的关键． 【详解】解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 变式4-3．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 【答案】 【分析】观察表格可得当时， ，当时， ，可得到一元二次方程的解介于1.6与1.7之间，即可求解． 【详解】解∶根据题意得∶当时， ， 当时， ， ∴一元二次方程的解介于1.6与1.7之间， 即． 故答案为： 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解问题，解题的关键是从表格中找出两个x的值使得比较接近0，本题属于基础题型． 类型五、一元二次方程的特殊解法——换元法 知识点： 换元法主要适用于以下几种情况： 1.方程中某个代数式结构复杂且多次出现，通过换元可以将其简化为一个更简单的变量。 2.方程中存在可以看作一个整体的部分，这些部分可以通过换元来简化。 方法步骤： 1.观察方程，找出可以换元的代数式。这个代数式可能是方程中的一个复杂表达式，或者是几个表达式之间的某种关系（如和、差、积、商等）。 2.设定新的变量来代替这个代数式。设新的变量为m、n、x1、y1等（根据具体情况选择），并将原方程中的代数式替换为这个新变量。 3.解这个经过换元后的新方程。这个新方程可能是一个更简单的一元二次方程，或者是一个可以通过进一步变形和化简得到解的一元方程。 4.将新变量的解代回原方程，求出原方程的解。这一步是将换元后的解还原为原方程的解的过程。 例5．已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程．先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出y的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 原方程变为． ∴． ∴，． 当时，方程的判别式，存在实数解． 当时，方程的判别式，无实数解． ∴满足条件． 故选：A． 变式5-1．若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无实数根； 故选：B． 变式5-2．已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键．设，根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设， 则， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：2． 变式5-3．如果，那么 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则．令，则原方程可化为，然后展开利用因式分解法求解即可． 【详解】解：令， 则原方程可化为， 整理得，， 或 解得或m， ∴或（无意义，舍去）， 故答案为：． 类型六、一元二次方程解法中配方法求最值 知识点： 完全平方公式 利用配方法求最值的一般步骤： 一、将代数式ax²+bx+c的二次项系数化为1，如果二次项系数不为1，则需要通过除以二次项系数来将其化为1。 二、移项，使方程的左边只留下二次项和一次项，常数项移到等号的右边。 三、配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边转化为完全平方形式，即(x+m)²=n的形式。 四、根据完全平方的非负性，即(x+m)²≥0，来判定代数式的最值。 我们可以按照以下步骤求其最小值： 一、将二次项系数化为1，得到x²-2x+3.5（此步实际上是将原式除以2并调整常数项）。但为保持配方的直观性，我们仍从原式出发，先提取公因数2，得到。 二、移项，使左边为二次项和一次项，右边为常数项，即（此步是为了配方而做的准备，实际上在配方时我们不会真的将等式右边变为0）。 三、配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，即，得到2(x-1)²+5=2(x-1)²+2×2.5。此时，左边已经转化为完全平方形式。 四、根据完全平方的非负性，我们知道2(x-1)²≥0，所以2(x-1)²+5≥5。因此，代数式2x²-4x+7的最小值为5。 例6．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“美丽数”．例如，5是“美丽数”，理由：因为，所以5是“美丽数”． 解决问题： (1)已知53是“美丽数”，请将它写成（为整数）的形式． (2)若可配方成（，为常数），求的值； (3)已知（是整数，是常数），要使为“美丽数”，试求出的值． 【答案】(1) (2)8 (3)13 【分析】本题考查配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“美丽数”的定义即可求解； （2）先通过配方求出m和n的值，再求的值； （3）通过配方将变形为，再根据“美丽数”的定义即可求解． 【详解】（1）解：， 故 （2）解：， ，， ， （3）解： ， 为“美丽数”， ， ． 变式6-1．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式_____________； (2)已知，则的值是多少？ (3)数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值是2．请你解答，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）利用完全平方公式变形为，求得和的值即可解决； （3）将变形为即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ∴代数式的最小值为4． 变式6-2．阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) 【答案】(1)， (2)，最大值为 (3)时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是 【分析】本题主要考查代数式的运用，配方法求最值，掌握配方法是解题的关键． （1）根据平方数的非负性，可得，则当时，取得最小值，由此即可求解； （2）根据材料提示，运用配方法得到代数式，，结合（1）的方法即可求解； （3）设，则，则有，结合（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴当时，取得最小值， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； （2）解：代数式变形得， ∵，则， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴当时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：四边形是长方形， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是，． 变式6-3．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，然后利用完全平方式的非负性即可得出答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，由可得，代入后配方得，于是得解． 【详解】（1）解：， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为， 故答案为：； （2）解：， ； （3）解：四边形的面积为： ， 四边形面积的最大值为． 1．已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中得，且，解出的值即可． 【详解】解：由题意，得且， 或，且， ， 故选：A． 2．根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，熟练掌握式子的值在0附近时的x值，是解决此题的关键． 利用表中的对应值得到时，；时，，从而得到x在之间取一数值时，，于是得到一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围． 【详解】解：∵时，；时，， ∴当x在之间取一数值时，， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为． 故选：C． 3．我们在解一元二次方程时，可以将其左边分解因式得到，从而得到两个一元一次方程或，所以得到原一元二次方程的解为，这种解法体现的数学思想是（   ） A．数形结合思想 B．函数思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程的过程即可得到答案． 【详解】解： 将其左边分解因式得到， ∴或， 解得， 这种解法体现的数学思想是转化思想， 故选：C 4．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值 ． 【答案】2018 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 则． 故答案为：2018． 5．已知是方程式的根，则式子的值为 ． 【答案】2025 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程即可得到的形式，再整体代入，即可求解． 【详解】解：是方程的根， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 6．如图，点、分别在正方形的边，上，且，把顺时针旋转一定角度后得到．若，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等和旋转问题，正方形的性质，解一元二次方程，熟练掌握全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键，根据旋转的性质可得到，再根据题意易证，得到，从而可得到的长度，设正方形的边长为，进而在中，勾股定理解方程，即可求解． 【详解】解：∵把顺时针旋转一定角度后得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长为，则， 在中， ∴ 解得：或（舍去） 故答案为：． 7．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程． 【答案】(1)该方程是波浪方程 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，理解题中所给波浪方程的定义及熟知一元二次方程解得定义是解题的关键． （1）根据波浪方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于a，c的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：，，， ， 故该方程是波浪方程； （2）解：由已知得： 解得， 这个波浪方程为． 8．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． （1）计算方程的根的判别式，若，则证明方程总有实数根； （2）设，另两边长为能是腰，分两种情况求得，的值后，再求出的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【详解】（1）证明：， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）设 ，另两边长为、， ①若为底边，则，为腰长，则则， 解得：， 此时原方程化为 ，即， 此时三边为，，不能构成三角形，故舍去； ②若为腰， 则，中一边为腰，不妨设， 代入方程：，解得或， 则原方程化为或 解得或， 即 或 ， 此时三边为， ， 或，， 能构成三角形， 周长为或． 9．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3)1 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【详解】（1）解：当，，时勾系一元二次方程为； （2）证明：根据题意，得， ∵， ∴ ∴， ∴勾系一元二次方程必有实数根； （3）解：当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 10．阅读理解: 材料1:对于一个关于x的二次三项式（）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以用其他的方法:比如先令（）,然后移项可得:,再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求的取值范围: 解:令 , , 即; 材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题,他的具体做法如下: 若关于x的一元二次方程（）有两个不相等的实数根､（）, 则关于x的一元二次不等式（）的解集为:或, 则关于x的一元二次不等式（）的解集为:; 请根据上述材料,解答下列问题: （1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为-6,则_____. （2）求出代数式的取值范围． 类比应用: （3）猜想:若中,,斜边（a为常数,）,则_____时,最大,请证明你的猜想． 【答案】（1）或；（2）或；（3）当时,最大． 【分析】（1）根据材料1:设,化为关于x的一元二次方程用根的判别式，得出y的取值范围,在列出关于a的方程解出即可； （2）设，化为，再用，然后根据材料2结论，即可求出； （3）设，，根据一元二次方程,利用根的判别式解答问题即可． 【详解】解:（1）设， ∴， ∴,即 ， 根据题意可知, ∴，解得:或； （2）设，可化为， 即， ∴ ,即， 令,解得 ,， ∴或； （3）猜想:当时,最大． 理由:设，，则， 在中,斜边（a为常数,）， ∴ ， ∴， ∴， 即， ∴，即 ， ∵，，∴， 当时,有， ∴， 即当时,最大． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式､根与系数的关系及解不等式,读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系,运用类比的思想是解题的关键． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程的定义与解法 目录 典例详解 类型一、一元二次方程的变形求值（含降次） 类型二、一元二次方程的赋值求解（必有一根） 类型三、一元二次方程的整体带入 类型四、一元二次方程的解的估算 类型五、一元二次方程的特殊解法——换元法 类型六、一元二次方程解法中配方法求最值 压轴专练 类型一、一元二次方程的变形求值（含降次） 知识点： 一元二次方程的标准形式为ax²+bx+c=0（a≠0），其中a、b、c为常数，x为未知数。 一元二次方程的解（根）是能使方程左右两边相等的未知数的值。 方法： 降次方法：主要包括直接开方法、配方法、公式法和因式分解法。 直接开方法：适用于方程呈现如x²=p或（x+q）²=p的形式，通过对等式两边同时开平方来降次。 配方法：通过配方将方程转化为完全平方形式，再求解。适用于所有一元二次方程，尤其当方程无法直接开平方时。 公式法：一种通用解法，适用于所有一元二次方程ax²+bx+c=0。其公式为x=[-b±√（b²-4ac）]/2a。 因式分解法：当方程左侧可分解为两个一次因式的乘积时，此方法最为高效。常见的分解方法包括提公因式、平方差公式、十字相乘法等。 例1．设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 变式1-1．若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 变式1-2．若a是方程的一个根，则的值为 变式1-3．已知a是一元二次方程的一个解，则代数式的值是 ． 类型二、一元二次方程的赋值求解（必有一根） 知识点： 1.根的判别式：Δ=b²-4ac。根据判别式的值，我们可以判断方程的根的情况： （1）Δ>0，方程有两个不相等的实数根。 （2）Δ=0，方程有两个相等的实数根，即一个重根。 （3）Δ<0，方程无实数根。 题目若说明方程必有一根，则我们可以判断方程的判别式Δ≥0。 2.韦达定理：对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），若它的两个根为x₁和x₂，则有： （1）x₁+x₂=-b/a （2）x₁x₂=c/a 利用韦达定理，我们可以根据已知的一个根来求解另一个根。 方法： 1.公式法：对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其求根公式为x=[-b±√]/2a。当题目说明方程必有一根时，我们可以先判断判别式Δ的值，若Δ≥0，则可以直接利用求根公式求解。 2.配方法：配方法是通过将一元二次方程转化为完全平方的形式来求解。当题目说明方程必有一根，且方程的形式适合配方时，我们可以选择配方法来求解。 3.因式分解法：若一元二次方程可以因式分解为(ax+m)(bx+n)=0的形式，则我们可以直接令两个括号内的表达式等于零来求解。这种方法在方程可以轻易因式分解时最为便捷。 4.图像法：对于一元二次方程，我们可以借助坐标系绘图来直观展现方程的根所在位置。根据抛物线与x轴交点的横坐标，我们可以得知方程的解。这种方法虽然不够精确，但可以帮助我们直观地理解方程的解。 例2．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（    ） A．2025 B． C． D． 变式2-2．若关于的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为 变式2-3．如果4a﹣2b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0必有一个根为 ． 类型三、一元二次方程的整体带入 知识点： 整体代入法是一种重要的数学解题方法，尤其在处理包含复杂表达式或方程组的数学问题时。在一元二次方程中，如果方程或表达式中的某部分具有相同的结构或形式，可以将其视为一个整体，并用一个变量（如y）来代表这个整体。然后，将这个整体代入到其他方程或表达式中，从而简化问题。 方法： 1.识别整体：首先，需要仔细观察方程或表达式，找出可以视为整体的部分。这通常涉及对方程或表达式进行因式分解、配方或其他形式的变形，以突出整体结构。 2.代入整体：一旦识别出整体，就可以用一个新变量（如y）来代表它。然后，将这个整体（即新变量y）代入到其他方程或表达式中。这样，原始问题就被转化为一个包含新变量y的简化问题。 3.求解新问题：在代入整体后，通常会得到一个关于新变量y的简化方程或表达式。接下来，需要求解这个新问题，以找到新变量y的值。 4.回代求解原变量：最后，将新变量y的值回代到原始方程或表达式中，以求解原变量（如x）的值。 例3．关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 变式3-1．已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 变式3-2．若方程的解为，，则方程的解为 ． 变式3-3．已知关于x的方程的两根为，则方程的两根分别是 ． 类型四、一元二次方程的解的估算 一元二次方程的解是指使方程左右两边相等的未知数的值。对于一元二次方程的解的估算，主要方法是通过“夹逼法”来实现。 夹逼法的步骤为：首先，根据实际问题确定一元二次方程的解的大致取值范围；然后，通过具体的求值计算，逐步缩小这个范围，即进行两边“夹逼”，从而求得解的近似值。这种方法体现了数学中近似计算的重要思想。 例4．观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 变式4-1．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 变式4-2．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 变式4-3．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 类型五、一元二次方程的特殊解法——换元法 知识点： 换元法主要适用于以下几种情况： 1.方程中某个代数式结构复杂且多次出现，通过换元可以将其简化为一个更简单的变量。 2.方程中存在可以看作一个整体的部分，这些部分可以通过换元来简化。 方法步骤： 1.观察方程，找出可以换元的代数式。这个代数式可能是方程中的一个复杂表达式，或者是几个表达式之间的某种关系（如和、差、积、商等）。 2.设定新的变量来代替这个代数式。设新的变量为m、n、x1、y1等（根据具体情况选择），并将原方程中的代数式替换为这个新变量。 3.解这个经过换元后的新方程。这个新方程可能是一个更简单的一元二次方程，或者是一个可以通过进一步变形和化简得到解的一元方程。 4.将新变量的解代回原方程，求出原方程的解。这一步是将换元后的解还原为原方程的解的过程。 例5．已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 变式5-1．若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 变式5-2．已知，则的值为 ． 变式5-3．如果，那么 ． 类型六、一元二次方程解法中配方法求最值 知识点： 完全平方公式 利用配方法求最值的一般步骤： 一、将代数式ax²+bx+c的二次项系数化为1，如果二次项系数不为1，则需要通过除以二次项系数来将其化为1。 二、移项，使方程的左边只留下二次项和一次项，常数项移到等号的右边。 三、配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边转化为完全平方形式，即(x+m)²=n的形式。 四、根据完全平方的非负性，即(x+m)²≥0，来判定代数式的最值。 我们可以按照以下步骤求其最小值： 一、将二次项系数化为1，得到x²-2x+3.5（此步实际上是将原式除以2并调整常数项）。但为保持配方的直观性，我们仍从原式出发，先提取公因数2，得到。 二、移项，使左边为二次项和一次项，右边为常数项，即（此步是为了配方而做的准备，实际上在配方时我们不会真的将等式右边变为0）。 三、配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，即，得到2(x-1)²+5=2(x-1)²+2×2.5。此时，左边已经转化为完全平方形式。 四、根据完全平方的非负性，我们知道2(x-1)²≥0，所以2(x-1)²+5≥5。因此，代数式2x²-4x+7的最小值为5。 例6．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“美丽数”．例如，5是“美丽数”，理由：因为，所以5是“美丽数”． 解决问题： (1)已知53是“美丽数”，请将它写成（为整数）的形式． (2)若可配方成（，为常数），求的值； (3)已知（是整数，是常数），要使为“美丽数”，试求出的值． 变式6-1．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式_____________； (2)已知，则的值是多少？ (3)数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值是2．请你解答，求代数式的最小值． 变式6-2．阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) 变式6-3．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 1．已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 2．根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 3．我们在解一元二次方程时，可以将其左边分解因式得到，从而得到两个一元一次方程或，所以得到原一元二次方程的解为，这种解法体现的数学思想是（   ） A．数形结合思想 B．函数思想 C．转化思想 D．公理化思想 4．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值 ． 5．已知是方程式的根，则式子的值为 ． 6．如图，点、分别在正方形的边，上，且，把顺时针旋转一定角度后得到．若，，则正方形的边长为 ． 7．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程． 8．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 9．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 10．阅读理解: 材料1:对于一个关于x的二次三项式（）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以用其他的方法:比如先令（）,然后移项可得:,再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求的取值范围: 解:令 , , 即; 材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题,他的具体做法如下: 若关于x的一元二次方程（）有两个不相等的实数根､（）, 则关于x的一元二次不等式（）的解集为:或, 则关于x的一元二次不等式（）的解集为:; 请根据上述材料,解答下列问题: （1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为-6,则_____. （2）求出代数式的取值范围． 类比应用: （3）猜想:若中,,斜边（a为常数,）,则_____时,最大,请证明你的猜想． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$