江苏省南京市中华中学2025届高三三模数学试题

中华中学2025届高三年级校内三模考试 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题结出的四个选项14下一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 在边长为3的等边三角形中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据1，7，5，2，，2，且，，若该组数据的众数是中位数的，则该组数据的平均数为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 5. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则当时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前2025项和为 D. 的前10项和为 10. 设抛物线的焦点为F，准线为，为上一点，以点F为圆心，为半径的圆交于B，D两点，，且的面积为，则（ ） A. 是正三角形 B. C. 抛物线的方程为 D. 若AF与抛物线交于另一点E，则 11. 用表示不超过实数x的最大整数，如：，．已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于y轴对称 B. 函数是周期函数 C. 函数的值域是 D. 方程只有一个实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则的值为_____. 13. 已知，则_____. 14. 已知为双曲线的左焦点，过点作直线与双曲线左支交于，两点，点是双曲线上点关于原点的对称点.若以为直径的圆过点，且，则双曲线的离心率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直角梯形中，，，，，于，沿将折起，使得点到点的位置，使，，分别是棱，的中点. （1）证明：； （2）求平面和平面的夹角的余弦值. 16. 在中，，且，，为内一点，． （1）若，求的长； （2）若，求． 17. 魔方，又叫鲁比可方块，拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一. （1）小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望； （2）小王和小吴同学比赛四阶魔方，比赛没有平局.首局比赛小吴获胜的概率为，小王在某局中若取胜，则他下一局比赛获胜的概率为，若负，则他下一局比赛获胜的概率为，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？ 18. 已知椭圆过点，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 19. 已知函数. （1）若函数在点处的切线与轴平行，求的值； （2）当时，设的极大值为，求证：； （3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成为等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 中华中学2025届高三年级校内三模考试 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题结出的四个选项14下一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】或. 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）根据题意，沿将折起后，， 平面，则平面， 因平面，则，由左图易得矩形，故，故，得证. （2） 【16题答案】 【答案】（1）3 （2） 【17题答案】 【答案】（1）的分布列为： 数学期望为 （2）小王应选择“五局三胜制” 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2） ， 当时，令，则或， 则当，；当，， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故. 当时，在上递增，不存在极大值. 当时，令，则或， 则当，；当，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故. ， 设，，， 当，；当，； 则在上单调递减，在上单调递增. .证毕！ （3）不存在，理由： 由于， 所以与的零点个数相同. 依题意共有个不同的零点，所以有两个零点. ， 当，则在上恒成立，则在上单调递增，不符合题意. 当，则在上，在上； 则在上单调递增，在上单调递减， 而， 所以有 不妨设的两个零点为， 的两个零点为， 则有，. 若四个零点成等差数列，则有两种情况. ①当时， 有 可得① 即，可得. 即，② 代回原式可得 代入①可得，即 这与②矛盾，故不存在. ②当时， 有 可得③ 即，可得. 即，④ 代回原式可得 代入③可得，即 这与④矛盾，故不存在. 综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $