预习专题16 统计图表（3知识点+4题型+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

预习专题16 统计图表 频率分布表和频率分布直方图 1.频率分布表的定义 为了直观地表示样本的频率分布情况,通常将样本容量，样本中该事件出现的次数以及相应的频率列在一张表中，这样的表格就叫做频率分布表 一组数据的最大值与最小值的差称为极差,又称全距 每个小组的区间端点之间的距离称为组距. 2.频率分布表的五个特征 (1)样本容量确定组数的取值情况 (2)频率分布表中的分组数据与组数有关,组数的变化可引起频率分布结构的变化 (3)随机性:频率分布表由样本决定,因此会随着样本的改变而改变、 (4)规律性:根据频率趋近于概率的原理，若固定分组数据随着样本容量的增加，频率分布表中的各个频率会稳定于总体分布在相应分组的概率 (5)频率和等于 1. 3.频率分布直方图的画法步骤 (1)求极差 (2)确定组距与组数.组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多.当样本容量不超过100时,常分成5~12组.为方便起见，一般取等长组距并且组距应力求“取整” (3)统计每组的频数及频率 (4)绘制频率分布表.计算各小组的频率,第i组的频率是，作出频率分布表. (5)画频率分布直方图.其中横轴表示分组,纵轴表示，实际上就是频率分布直方图中各小矩形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度 4.绘制频率分布折线图 在频率分布直方图中,按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间.这两个组的频率取值为0,然后从所加的左边的区间的中点(称为组中值)开始，从左至右依次连接各矩形上底边的中点，直至右边所加区间的中点，再将矩形的边去除就可以得到一条折线,称为频率分布折线图，简称频率折线图 (1)频率分布直方图中每一组数对应的矩形高度是，而不是。 (2)频率分布直方图优缺点: 频率分布直方图能够很容易地表示大量的数据，非常直观地表明数据分布的状况.但是从频率分布直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说,把数据表示成频率分布直方图后，原来的数据信息被抹掉了. (3)在绘制统计图时还应注意以下几点: ①标题:统计图一般要有标题，用以说明统计图的内容.如果可能的话，列出数据来源; ②坐标的刻度和名称:一般纵轴和横轴也需要有名称，纵轴应清楚地标明刻度，横轴应标明类别或刻度; ③标注:如果要在一张图中呈现多元数据，应使用一些标注来识别单个数据. 茎叶图 1.茎叶图的特点和适用范围 (1)特点 ①保留原始数据信息:茎叶图能够保留原始数据的所有信息，不会造成数据的丢失 ②便于记录和表示:茎叶图可以随时记录和添加数据，方便数据的更新和展示 ③直观展示数据分布:茎叶图能够直观地展示数据的分布情况,包括数据的集中趋势和离散程度④适用于两位有效数字的数据:茎叶图最适合表示具有两位有效数字的数据 (2)适用范围 ①小样本数据:当样本数据较少时,茎叶图的效果较好，②数据分析:茎叶图是一种有效的探索性数据分析工具，特别适用于初步数据分析阶段 ③比较两组数据:茎叶图非常适合用来比较两组数据, ④教学和演示:由于其直观性和简单性,茎叶图在教学和演示中也非常有用. 2 制作茎叶图的步骤 ①将数据分为“茎”“叶”两部分;②将最大茎与最小茎之间的数字按由小到大、从上往下写成一列,并画上竖线作为分隔线;③将各个数据的“叶”在分隔线的一侧对应茎处同行列出. 茎叶图将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位数作为一个主干(茎)，将变化大的位数作为分枝(叶)，列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主千后面有几个数，每个数具体是多少。茎叶图其实是“侧躺”的直方图!“茎”相当于频数分布表中的分组，“茎”上“叶”的数目相当于频数分布表中指定区间组的频数茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的，茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以边抽样边记录，适合用于数据量较少的情形;而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在抽样完成后才能制作，由于茎叶图记录了所有的样本数据，因此通过茎叶图可以制作频率分布表和频率分布直方图，反之则不可以. 散点图 1.散点图的特点和适用范围 (1)特点 ①展示相关性:散点图可以直观地呈现两个变量之间的关系 ②反映数据分布:通过观察数据点的聚集程度和分布范围，能够对数据的整体特征有初步的了解 ③发现异常值:散点图能够快速识别出与其他数据点显著不同的数据点,即异常值， ④灵活性高:在数据可视化方面具有较高的灵活性,可以通过改变数据点的颜色、大小、形状等属性来表示额外的信息或区分不同的数据类别， ⑤适用范围广:既适用于小规模的数据集,以便快速直观地展示数据之间的关系;又能对大规模的数据集很好地发挥作用，帮助人们从海量数据中发现潜在的规律和趋势 (2)适用范围 物理学:散点图可以帮助物理学家直观地观察数据的分布和趋势，从而验证物理定律或发现新的物理现象生物学:可以用散点图来分析生物样本的多个指标之间的关系。 气象学:用于分析气象数据中的变量关系市场营销:企业可以利用散点图分析市场调研数据金融投资:散点图可用于分析股票的收益率与市场指数的关系、投资组合中不同资产的风险和收益关系等人力资源管理:可以用来分析员工的绩效与工作经验、培训时 间等因素之间的关系 临床诊断:在临床诊断中,医生可以利用散点图分析患者的各项生理指标之间的关系,辅助诊断和治疗疾病 2.制作散点图的步骤 在考虑两组数据时，为了对两组数据之间的关系形成大致的了解,通常将这两组数据所对应的点描在平面直角坐标系内，这些点组成的统计图称为散点图 题型一、绘制频率分布直方图 例1（24-25高二上·上海·期末）某校抽取100名学生测量他们的身高，其山最大值为，最小值，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为，则组数为 . 【答案】7 【分析】根据组距即可求解. 【详解】，则组数为7. 故答案为：7. 1-1（24-25高二上·上海黄浦·期末）已知某校高一年级所有学生的体重（单位：kg），且最大值为98，最小值为44.在制作频率分布直方图时，要对这些体重数据进行分组.若组距为5，则将数据分成 组为宜. 【答案】 【分析】计算出极差，即可得解. 【详解】因为最大值为98，最小值为44，则， 又组距为5，则将数据分成组. 故答案为： 1-2（23-24高二上·上海·单元测试）有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下： 分组 频数 7 11 15 40 49 41 20 17 分组 频数 频率 合计 (1)列出样本的频率分布表； (2)画出样本的频率分布直方图和折线图； (3)求样本数据不足0的频率． 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)频率分布直方图和折线图见解析 (3)0.365 【分析】（1）根据表中数据作出频率分布表即可； （2）结合频率分布表作出频率分布直方图与折线图； （3）根据题意，求出，，，的频率和即可． 【详解】（1）根据表中数据，频率分布表如下： 7 0.035 11 0.055 15 0.075 40 0.200 49 0.245 41 0.205 20 0.100 17 0.085 合计 200 1 （2）结合频率分布表得直方图与折线图如下： （3）样本数据不足0的频率为． 1-3（24-25高二·上海·阶段练习）从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单位：分）：，2；，3；，10；，15；，12；，8． (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在分的学生所占总体的百分比． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题中所给数据 即可得出频率分布表； （2）根据频率分布表画出频率分布直方图即可； （3）根据频率分布直方图即可得解. 【详解】（1）频率分布表如下： 成绩分组 频数 频率 2 0.04 3 0.06 10 0.20 15 0.30 12 0.24 8 0.16 合计 50 1.00 （2）由题意知组距为10，取小矩形的高根据表格画出如下的频率分布直方图： （3）由频率分布直方图，可估计成绩在分的学生所占总体的百分比是. 题型二、补全频率分布直方图 例2（24-25高二上·上海虹口·期末）某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图，则成绩在之间的学生人数为 ．    【答案】5 【分析】由频率分布直方图可得，据此可估计大致人数. 【详解】 所以成绩在之间的学生人数为. 故答案为：5 2-1（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）为了让学生适应上海“3+3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分.先按照考生原始分从高到低按比例划定A+、A、B+、B、B-、C+、C、C-、D+、D、E共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A+和E级排名各占比5%，其余各级排名各占比10%.现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： (1)求图中的值； (2)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； (3)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差（结果精确到0.1）． 【答案】(1)0.03 (2) (3)， 【分析】（1）借助频率之和为1即可得； （2）根据分层抽样，计算出每个区间中的人数，结合概率公式即可得； （3）借助平均数、方差与标准差的定义计算即可. 【详解】（1），解得； （2）由原始分在和中的频率之比为， 故抽取的6人中，原始分在中的有人，记为、， 原始分在中的有人，记为、、、， 则从人中抽取人所有可能的结果有： ，，，，，，，， ，，，，，，， 共个基本事件， 其中抽取这2人中恰有一人原始成绩在内的结果有， ，，，，，，，， 共个基本事件， 故这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； （3）， ， 故其估计值为. 2-2（23-24高二上·上海松江·期末）全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下： 空气质量指数 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 m 10 5 (1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图； (2)在空气质量指数分别属于和监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率. 【答案】(1)，，直方图见解析 (2) 【分析】(1)根据频率的定义可求得，从而求得，进一步计算每组的频率，从而完成频率分布直方图； (2)根据分层抽样的定义可以确定空气质量指数为和的监测天数中分别抽取4天和1天，再根据古典概率模型计算公式即可求解. 【详解】（1）因为，解得， 因为，解得， ，，，． 完成频率分布直方图如图： （2）空气质量指数为和的监测天数中分别抽取4天和1天， 在所抽取的5天中，将空气质量指数为的4天分别记为，将空气质量指数为的1天记为． 从中任取2天的基本事件分别为，，，，，，，，，，共10天， 其中事件“两天空气都为良”包含的基本事件为，，，，，，共6天， 所以事件“两天空气都为良”发生的概率． 2-3（2024高二·上海·专题练习）某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下： 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] (1)求图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分； (3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？ 【答案】(1) (2)74.5 (3) 【分析】（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求； （2）均值为各组组中值与该组频率之积的和； （3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解． 【详解】（1）由题意得，所以． （2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05， 的频率为0.35， 的频率为0.30， 的频率为0.20， 的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为： （3）由直方图，得： 第3组人数为人， 第4组人数为人， 第5组人数为人． 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生， 每组分别为： 第3组：人， 第4组：人， 第5组：人． 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人 设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下： （A1，A2），（A1，A3），（B1，B2），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1）， 其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．… 所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为 题型三、茎叶图 例3（24-25高二上·上海·期中）某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到班培训，低于130分的人到班培训，如果用分层抽样的方法从到班的人和到班的人中共选取5人，则5人中到班的有 人. 【答案】2 【分析】先根据茎叶图求得到A班的人数和到B班的人数，再利用分层抽样的定义求解即可. 【详解】由题意结合茎叶图的数据可知，这20名学生有8人到A班培训，12人到B班培训， 根据分层抽样的定义知：5人中到A班的有人人， 故答案为：2. 3-1（24-25高二上·上海·单元测试）某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多 天． 甲 乙 3 2 60 3 4 7 8 6 4 2 61 1 2 5 9 8 7 3 3 0 62 1 2 4 4 6 7 5 4 3 2 1 63 3 5 6 7 9 8 7 4 64 2 4 6 【答案】72 【分析】根据给定的茎叶图，得到游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案. 【详解】由给定的茎叶图知，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中， 游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天， 所以在全年中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多天. 故答案为： 3-2（24-25高二上·上海·阶段练习） 男生成绩 90 87 91 75 88 93 69 73 80 女生成绩 92 77 73 84 67 80 90 96 74 根据以上数据完成下面的茎叶图，并分析男生成绩是否优于女生成绩. 【答案】茎叶图见解析，从茎叶图中可以看出，男生成绩并不优于女生成绩. 【分析】根据数据绘制茎叶图，结合数据的分布情况（集中程度）给出分析结论. 【详解】如图所示： 男生成绩 女生成绩 9 6 7 5 3 7 3 4 7 8 7 0 8 0 4 3 1 0 9 0 2 6 从茎叶图看出，男生、女生成绩都不集中且分布差异不大，故男生成绩并不优于女生成绩. 3-3（23-24高二上·上海松江·期末）某篮球队在本赛季已结束的场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下，则甲在比赛中得分的方差为 . 【答案】// 【分析】先计算出甲比赛中得分的均值，再利用方差公式可求得结果. 【详解】甲在比赛中得分的均值为， 方差为. 故答案为：. 3-4（23-24高二上·上海·期末）某同学将观察学校柚子树生长习性作为自主研究课题，他观察了校园内6株柚子树成熟结果个数（两位数）并用茎叶图（如图所示）做了记录，则这6株柚子树成熟结果个数的中位数为（    ） A．21 B．21.5 C．22 D．22.5 【答案】B 【分析】利用中位数的定义，结合茎叶图列式计算即得. 【详解】由茎叶图知，这6株柚子树成熟结果个数的中位数为. 故选：B 3-5（2023·上海杨浦·一模）在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（    ） A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定 B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定 D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定 【答案】B 【分析】分别计算甲乙的平均值和方差，对比得到答案. 【详解】甲的平均值为：， 甲的方差为： 乙的平均值为：， 乙的方差为：. 故甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 故选：B 题型四、散点图 例4（24-25高二上·上海·阶段练习）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为 . 甲 乙 9 8 7 4 6 x 6 5 2 8 1 1 y 6 4 9 1 1 6 【答案】13 【分析】根据茎叶图计算中位数和平均数即可求解. 【详解】因为甲班学生成绩的平均分是86，所以, 因为乙班学生成绩的中位数是83，所以, 所以, 故答案为： 4-1（24-25高二上·上海·阶段练习）某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图.根据茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩做比较，下列统计结论正确的有 . 甲 乙 6 3 9 1 2 8 5 2 8 4 6 9 9 7 5 2 7 2 5 7 8 5 3 1 6 1 4 4 9 5 2 3 6 4 6 9 ①甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分； ②甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散； ③甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数； ④甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数. 【答案】①③ 【分析】根据茎叶图中数据求出甲乙两组的平均分、中位数和众数即可判断①②③；观察茎叶图的结构即可根据分散程度判断④. 【详解】甲兴趣小组测试成绩的平均分为， 乙兴趣小组测试成绩的平均分为，故①正确； 由茎叶图可知，甲组较乙组更为集中，故②错误； 由茎叶图可知，甲组的中位数为77，乙组的中位数为64，即甲组的中位数大于乙组的中位数，故③正确； 由茎叶图可知，甲组的众数为79，乙组为64，故甲组众数大于乙组众数，故④错误. 故答案为：①③ 4-2（24-25高二上·上海·阶段练习）某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则 ； . 甲 乙 6 0 4 1 2 8 2 5 6 y x 4 3 1 【答案】 8 6 【分析】根据极差和平均值的定义即可求解. 【详解】因为甲得分的极差为，所以， 因为乙得分的平均值为24，所以， 故答案为：①8；②6. 4-3（23-24高二上·上海·阶段练习）通过随机抽样，我们获得某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的一组调查数据，如表所示． 消费者年需求量与商品每千克价格 每千克价格/百元 4.0 4.0 4.6 5.0 5.2 5.6 6.0 6.6 7.0 10.0 年需求量/千克 3.5 3.0 2.7 2.4 2.5 2.0 1.5 1.2 1.2 1.0 请绘制上述数据的散点图，并依据散点图观察两组数据的相关性． 【答案】答案见解析 【分析】由于这两组数据分别来自同一商品的两个变量：“每千克价格”与“年需求量”，因此来自这两个变量的两组数据可以看作成对数据．把“每千克价格”作为横坐标（自变量），“年需求量”作为纵坐标（因变量），在平面直角坐标系中绘制相应的点，就得到年需求量和每千克价格的散点图（图8-1-1），根据散点图可分析两组数据的相关性． 【详解】   从图8-1-1可以看出，消费者对该商品的年需求量大体上随着价格的上升而减少，但也有一些例外的情况．例如，价格都是4百元，但不同年份的需求量分别是3.5千克和3千克，说明在价格不变的情况下，需求量仍可能发生变化．类似地，价格改变，需求也可能基本不变． 从散点图整体上看，所有点都在一条直线的附近波动，在这种情况下，我们说两个变量之间具有一种线性相关关系．此时可以用一条直线来拟合这两组数据（图8-1-1）． 1．关于频率直方图的有关说法正确的有 个． （1）直方图的高表示取某数的频率； （2）直方图的高表示该组内的个体在样本中出现的频率； （3）直方图的高表示取该组内的个体在样本中出现的频数与组距的比值； （4）直方图的高表示取该组内的个体在样本中出现的频率与组距的比值． 【答案】1 【分析】根据频率分布直方图的特点可得结论. 【详解】由频率分布直方图的特点知，直方图的纵轴(矩形的高)表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组距上的矩形的面积.故（4）正确，（1）（2）（3）错误； 故答案为：1. 2．（23-24高二上·上海虹口·期末）为了解体育锻炼情况，随机统计了名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. 若在区间中的频数为30，则的值是 . 【答案】 【分析】首先由频率分布直方图求出中的频率，再由频率等于频数除以样本总数即可求出． 【详解】由频率分布直方图可知在之间的频率为， 又因为，所以. 故答案为： 3．（23-24高二上·上海杨浦·期末）学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发现这100名同学的成绩都在[50，100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，图中x的值是 ． 【答案】0.030 【分析】利用面积之和等于1即能解. 【详解】因为每个小矩形的面积就是频率，所以面积之和等于1，即，解出. 故答案为：0.030. 4．（24-25高二上·上海徐汇·阶段练习）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 【答案】8 【分析】根据茎叶图中的数据，结合题意条件，建立方程组，求解得到的值即可. 【详解】由茎叶图可知，甲组数据从小到大顺序为：，其中位数为65， 平均值为； 乙组数据从小到大顺序为：，其中位数为， 平均值为. 依题意有：，解得，故. 故答案为：8. 5．（23-24高二上·上海闵行·期末）甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示已知甲得分的极差为32，乙得分的众数为26，则 .    【答案】 【分析】根据茎叶图，以及极差和众数的定义，即可求解. 【详解】由茎叶图可知，甲的最低得分为6分，由甲得分的极差为32，可知，甲的最高得分为，所以的值为8， 乙得分的众数为26，所以的值为6， 所以. 故答案为： 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）某校高三（1）班的学生每周用于数学学习的时间x（单位：h）与数学平均成绩y（单位：分）之间有表格所示的数据． x/h 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y/分 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 (1)画出散点图； (2)判断数学学习的时间与数学平均成绩的关系． 【答案】(1)作图见解析 (2)数学平均成绩与数学学习时间呈现正相关关系． 【分析】（1）直接根据表中数据在坐标系中描点； （2）从点的分布趋势是左下到右上即可判断是正相关关系． 【详解】（1）根据表中的数据画出散点图如图所示：    （2）从散点图看，数学平均成绩与数学学习时间呈现正相关关系． 7．（23-24高二上·上海·阶段练习）某市104路公交车上午7：05—8：55时段在起点站每9分钟发一班次．公交公司为了了解早高峰时段各班次上客情况，某日上午7：14—8：35记录了在起点站各班次车辆上客的人数： 发车时刻 7：14 7：23 7：32 7：41 7：50 7：59 8：08 8：17 8：26 8：35 上车乘客数/人 10 13 13 18 17 15 12 9 3 3 请绘制这组成对数据的散点图，并通过观察散点图大致判断客车发车时刻与上车乘客人数之间的相关性． 【答案】图表见解析 【分析】 根据题意，直接绘制散点图即可，结合散点图即可判断. 【详解】   绘制散点图如图所示，观察散点图可知，之前客车发车时刻与上车乘客人数之间正相关，之后客车发车时刻与上车乘客人数之间负相关. 8．有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中随机抽取了16台,记录下上午8:00~11:00之间各自的销售情况(单位:元): 甲:18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41; 乙:22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23. 试用两种不同的方式分别表示上面的数据,并简要说明各自的优点. 【答案】详见解析. 【分析】一般选条形图和茎叶图来表示上面的数据. 【详解】(方法一)条形图如下图. 甲 乙 (方法二)茎叶图如图,两竖线中间的数字表示甲、乙销售额的十位数,两边的数字分别表示甲、乙销售额的个位数. 从解法一可以看出,条形统计图能直观地反映数据分布的大致情况,并且能够清晰地表示出各个区间的具体数目;从解法二可以看出,用茎叶图表示有关数据,对数据的记录和表示都带来方便. 9．（24-25高二上·上海奉贤·期中）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． (1)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据古典型概念公式可得； (2)根据分层抽样平均数和方差公式可得. 【详解】（1）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），，对应的样本空间的样本点为： ， ，设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则， 所以； （2）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ，因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10. 据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差为10. 10．某学校高一名学生参加数学竞赛，成绩均在分到分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：    (1)估计这名学生分数的中位数；（精确到） (2)某老师抽取了名学生的分数：，，，…，，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与标准差； (3)该学校有座构造相同教学楼，各教学楼高均为米，东西长均为米，南北宽均为米.其中号教学楼在号教学楼的正南且楼距为米，号教学楼在号教学楼的正东且楼距为米.现有种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为，，米，每个售价相应依次为，，元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费. （参考公式：，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的中位数估计求解即可； （2）由题意，求出剩余8个分数的平均值，由10个分数的标准差，能求出剩余8个分数的标准差； （3）求出将3座教学楼完全包裹的球的最小直径、将一座教学楼完全包裹的球的最小直径和将1号教学楼与2号教学楼完全包裹的球的最小直径，由此能求出让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费． 【详解】（1）因为前四组的频率分别为： 又， ， 所以中位数满足， 由，解得， （2）由题意，剩余个分数的平均值为， 因为个分数的标准差， 所以， 所以剩余8个分数的标准差为 . （3）将座教学楼完全包裹的球的最小直径为： ， 因此若用一个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元； 将一座教学楼完全包裹的球的最小直径为， 因此若用个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元； 将号教学楼与号教学楼完全包裹的球的最小直径为： ， 又因为， 因此若用个覆盖半径为米和个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元； 所以，让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费为元. 11．年月日，我国实施“全国二孩”政策，中国社会科学院在某地随机抽取了名已婚男性，其中愿意生育二孩的有名，经统计，该名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下： (1)根据频率分布直方图，估计这100名已婚男性的年龄平均值、众数和第25百分位数（同组数据用区间的中点值代替）； (2)若在愿意生育二孩的且年龄在、、的三组已婚男性中，用分层抽样的方法抽取人，试估计每个年龄段应各抽取多少人？ 【答案】(1)平均值35.92、众数为，第25百分位数为：33.25 (2)人数分别为人、人、人 【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数，百分位数公式及众数定义直接求解即可； （2）利用分层抽样的定义求解即可. 【详解】（1）已婚男性的平均年龄为： ， 众数为. 设第25百分位数为， 则，解得：. （2）在年龄段、、的频率分别为、、， ，∴人数分别为人、人、人. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习专题16 统计图表 频率分布表和频率分布直方图 1.频率分布表的定义 为了直观地表示样本的频率分布情况,通常将样本容量，样本中该事件出现的次数以及相应的频率列在一张表中，这样的表格就叫做频率分布表 一组数据的最大值与最小值的差称为极差,又称全距 每个小组的区间端点之间的距离称为组距. 2.频率分布表的五个特征 (1)样本容量确定组数的取值情况 (2)频率分布表中的分组数据与组数有关,组数的变化可引起频率分布结构的变化 (3)随机性:频率分布表由样本决定,因此会随着样本的改变而改变、 (4)规律性:根据频率趋近于概率的原理，若固定分组数据随着样本容量的增加，频率分布表中的各个频率会稳定于总体分布在相应分组的概率 (5)频率和等于 1. 3.频率分布直方图的画法步骤 (1)求极差 (2)确定组距与组数.组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多.当样本容量不超过100时,常分成5~12组.为方便起见，一般取等长组距并且组距应力求“取整” (3)统计每组的频数及频率 (4)绘制频率分布表.计算各小组的频率,第i组的频率是，作出频率分布表. (5)画频率分布直方图.其中横轴表示分组,纵轴表示，实际上就是频率分布直方图中各小矩形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度 4.绘制频率分布折线图 在频率分布直方图中,按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间.这两个组的频率取值为0,然后从所加的左边的区间的中点(称为组中值)开始，从左至右依次连接各矩形上底边的中点，直至右边所加区间的中点，再将矩形的边去除就可以得到一条折线,称为频率分布折线图，简称频率折线图 (1)频率分布直方图中每一组数对应的矩形高度是，而不是。 (2)频率分布直方图优缺点: 频率分布直方图能够很容易地表示大量的数据，非常直观地表明数据分布的状况.但是从频率分布直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说,把数据表示成频率分布直方图后，原来的数据信息被抹掉了. (3)在绘制统计图时还应注意以下几点: ①标题:统计图一般要有标题，用以说明统计图的内容.如果可能的话，列出数据来源; ②坐标的刻度和名称:一般纵轴和横轴也需要有名称，纵轴应清楚地标明刻度，横轴应标明类别或刻度; ③标注:如果要在一张图中呈现多元数据，应使用一些标注来识别单个数据. 茎叶图 1.茎叶图的特点和适用范围 (1)特点 ①保留原始数据信息:茎叶图能够保留原始数据的所有信息，不会造成数据的丢失 ②便于记录和表示:茎叶图可以随时记录和添加数据，方便数据的更新和展示 ③直观展示数据分布:茎叶图能够直观地展示数据的分布情况,包括数据的集中趋势和离散程度④适用于两位有效数字的数据:茎叶图最适合表示具有两位有效数字的数据 (2)适用范围 ①小样本数据:当样本数据较少时,茎叶图的效果较好，②数据分析:茎叶图是一种有效的探索性数据分析工具，特别适用于初步数据分析阶段 ③比较两组数据:茎叶图非常适合用来比较两组数据, ④教学和演示:由于其直观性和简单性,茎叶图在教学和演示中也非常有用. 2 制作茎叶图的步骤 ①将数据分为“茎”“叶”两部分;②将最大茎与最小茎之间的数字按由小到大、从上往下写成一列,并画上竖线作为分隔线;③将各个数据的“叶”在分隔线的一侧对应茎处同行列出. 茎叶图将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位数作为一个主干(茎)，将变化大的位数作为分枝(叶)，列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主千后面有几个数，每个数具体是多少。茎叶图其实是“侧躺”的直方图!“茎”相当于频数分布表中的分组，“茎”上“叶”的数目相当于频数分布表中指定区间组的频数茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的，茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以边抽样边记录，适合用于数据量较少的情形;而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在抽样完成后才能制作，由于茎叶图记录了所有的样本数据，因此通过茎叶图可以制作频率分布表和频率分布直方图，反之则不可以. 散点图 1.散点图的特点和适用范围 (1)特点 ①展示相关性:散点图可以直观地呈现两个变量之间的关系 ②反映数据分布:通过观察数据点的聚集程度和分布范围，能够对数据的整体特征有初步的了解 ③发现异常值:散点图能够快速识别出与其他数据点显著不同的数据点,即异常值， ④灵活性高:在数据可视化方面具有较高的灵活性,可以通过改变数据点的颜色、大小、形状等属性来表示额外的信息或区分不同的数据类别， ⑤适用范围广:既适用于小规模的数据集,以便快速直观地展示数据之间的关系;又能对大规模的数据集很好地发挥作用，帮助人们从海量数据中发现潜在的规律和趋势 (2)适用范围 物理学:散点图可以帮助物理学家直观地观察数据的分布和趋势，从而验证物理定律或发现新的物理现象生物学:可以用散点图来分析生物样本的多个指标之间的关系。 气象学:用于分析气象数据中的变量关系市场营销:企业可以利用散点图分析市场调研数据金融投资:散点图可用于分析股票的收益率与市场指数的关系、投资组合中不同资产的风险和收益关系等人力资源管理:可以用来分析员工的绩效与工作经验、培训时 间等因素之间的关系 临床诊断:在临床诊断中,医生可以利用散点图分析患者的各项生理指标之间的关系,辅助诊断和治疗疾病 2.制作散点图的步骤 在考虑两组数据时，为了对两组数据之间的关系形成大致的了解,通常将这两组数据所对应的点描在平面直角坐标系内，这些点组成的统计图称为散点图 题型一、绘制频率分布直方图 例1（24-25高二上·上海·期末）某校抽取100名学生测量他们的身高，其山最大值为，最小值，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为，则组数为 . 1-1（24-25高二上·上海黄浦·期末）已知某校高一年级所有学生的体重（单位：kg），且最大值为98，最小值为44.在制作频率分布直方图时，要对这些体重数据进行分组.若组距为5，则将数据分成 组为宜. 1-2（23-24高二上·上海·单元测试）有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下： 分组 频数 7 11 15 40 49 41 20 17 分组 频数 频率 合计 (1)列出样本的频率分布表； (2)画出样本的频率分布直方图和折线图； (3)求样本数据不足0的频率． 1-3（24-25高二·上海·阶段练习）从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单位：分）：，2；，3；，10；，15；，12；，8． (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在分的学生所占总体的百分比． 成绩分组 频数 频率 2 0.04 3 0.06 10 0.20 15 0.30 12 0.24 8 0.16 合计 50 1.00 题型二、补全频率分布直方图 例2（24-25高二上·上海虹口·期末）某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图，则成绩在之间的学生人数为 ．    2-1（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）为了让学生适应上海“3+3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分.先按照考生原始分从高到低按比例划定A+、A、B+、B、B-、C+、C、C-、D+、D、E共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A+和E级排名各占比5%，其余各级排名各占比10%.现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： (1)求图中的值； (2)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； (3)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差（结果精确到0.1）． 2-2（23-24高二上·上海松江·期末）全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下： 空气质量指数 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 m 10 5 (1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图； (2)在空气质量指数分别属于和监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率. 2-3（2024高二·上海·专题练习）某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下： 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] (1)求图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分； (3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？ 题型三、茎叶图 例3（24-25高二上·上海·期中）某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到班培训，低于130分的人到班培训，如果用分层抽样的方法从到班的人和到班的人中共选取5人，则5人中到班的有 人. 3-1（24-25高二上·上海·单元测试）某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多 天． 甲 乙 3 2 60 3 4 7 8 6 4 2 61 1 2 5 9 8 7 3 3 0 62 1 2 4 4 6 7 5 4 3 2 1 63 3 5 6 7 9 8 7 4 64 2 4 6 3-2（24-25高二上·上海·阶段练习） 男生成绩 90 87 91 75 88 93 69 73 80 女生成绩 92 77 73 84 67 80 90 96 74 根据以上数据完成下面的茎叶图，并分析男生成绩是否优于女生成绩. 男生成绩 女生成绩 9 6 7 5 3 7 3 4 7 8 7 0 8 0 4 3 1 0 9 0 2 6 3-3（23-24高二上·上海松江·期末）某篮球队在本赛季已结束的场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下，则甲在比赛中得分的方差为 . 3-4（23-24高二上·上海·期末）某同学将观察学校柚子树生长习性作为自主研究课题，他观察了校园内6株柚子树成熟结果个数（两位数）并用茎叶图（如图所示）做了记录，则这6株柚子树成熟结果个数的中位数为（    ） A．21 B．21.5 C．22 D．22.5 3-5（2023·上海杨浦·一模）在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（    ） A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定 B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定 D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定 题型四、散点图 例4（24-25高二上·上海·阶段练习）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为 . 甲 乙 9 8 7 4 6 x 6 5 2 8 1 1 y 6 4 9 1 1 6 4-1（24-25高二上·上海·阶段练习）某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图.根据茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩做比较，下列统计结论正确的有 . 甲 乙 6 3 9 1 2 8 5 2 8 4 6 9 9 7 5 2 7 2 5 7 8 5 3 1 6 1 4 4 9 5 2 3 6 4 6 9 ①甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分； ②甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散； ③甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数； ④甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数. 4-2（24-25高二上·上海·阶段练习）某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则 ； . 甲 乙 6 0 4 1 2 8 2 5 6 y x 4 3 1 4-3（23-24高二上·上海·阶段练习）通过随机抽样，我们获得某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的一组调查数据，如表所示． 消费者年需求量与商品每千克价格 每千克价格/百元 4.0 4.0 4.6 5.0 5.2 5.6 6.0 6.6 7.0 10.0 年需求量/千克 3.5 3.0 2.7 2.4 2.5 2.0 1.5 1.2 1.2 1.0 请绘制上述数据的散点图，并依据散点图观察两组数据的相关性． 1．关于频率直方图的有关说法正确的有 个． （1）直方图的高表示取某数的频率； （2）直方图的高表示该组内的个体在样本中出现的频率； （3）直方图的高表示取该组内的个体在样本中出现的频数与组距的比值； （4）直方图的高表示取该组内的个体在样本中出现的频率与组距的比值． 2．（23-24高二上·上海虹口·期末）为了解体育锻炼情况，随机统计了名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. 若在区间中的频数为30，则的值是 . 3．（23-24高二上·上海杨浦·期末）学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发现这100名同学的成绩都在[50，100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，图中x的值是 ． 4．（24-25高二上·上海徐汇·阶段练习）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 5．（23-24高二上·上海闵行·期末）甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示已知甲得分的极差为32，乙得分的众数为26，则 .    6．（24-25高二上·上海·阶段练习）某校高三（1）班的学生每周用于数学学习的时间x（单位：h）与数学平均成绩y（单位：分）之间有表格所示的数据． x/h 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y/分 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 (1)画出散点图； (2)判断数学学习的时间与数学平均成绩的关系． 7．（23-24高二上·上海·阶段练习）某市104路公交车上午7：05—8：55时段在起点站每9分钟发一班次．公交公司为了了解早高峰时段各班次上客情况，某日上午7：14—8：35记录了在起点站各班次车辆上客的人数： 发车时刻 7：14 7：23 7：32 7：41 7：50 7：59 8：08 8：17 8：26 8：35 上车乘客数/人 10 13 13 18 17 15 12 9 3 3 请绘制这组成对数据的散点图，并通过观察散点图大致判断客车发车时刻与上车乘客人数之间的相关性． 8．有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中随机抽取了16台,记录下上午8:00~11:00之间各自的销售情况(单位:元): 甲:18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41; 乙:22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23. 试用两种不同的方式分别表示上面的数据,并简要说明各自的优点. 9．（24-25高二上·上海奉贤·期中）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． (1)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 10．某学校高一名学生参加数学竞赛，成绩均在分到分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：    (1)估计这名学生分数的中位数；（精确到） (2)某老师抽取了名学生的分数：，，，…，，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与标准差； (3)该学校有座构造相同教学楼，各教学楼高均为米，东西长均为米，南北宽均为米.其中号教学楼在号教学楼的正南且楼距为米，号教学楼在号教学楼的正东且楼距为米.现有种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为，，米，每个售价相应依次为，，元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费. （参考公式：，参考数据：，，） 11．年月日，我国实施“全国二孩”政策，中国社会科学院在某地随机抽取了名已婚男性，其中愿意生育二孩的有名，经统计，该名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下： (1)根据频率分布直方图，估计这100名已婚男性的年龄平均值、众数和第25百分位数（同组数据用区间的中点值代替）； (2)若在愿意生育二孩的且年龄在、、的三组已婚男性中，用分层抽样的方法抽取人，试估计每个年龄段应各抽取多少人？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$