3.1.1椭圆及其标准方程教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

本文围绕集合的概念展开，介绍元素与集合的含义、关系及集合元素特性等核心知识。承接数学基础，为后续集合运算等内容奠基。通过实例分析、典例讲练等环节，培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 该设计亮点在于紧密联系生活实例，采用讲练结合教法。从学生层面看，能提升其分析判断能力；从教师角度，提供清晰授课思路；从课堂效果而言，有效突破集合元素特性应用这一教学难点。

3.1.1椭圆及其标准方程（教学设计） 一、教学目标： （1）理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念，能正确推导椭圆的标准方程； （2）掌握求椭圆标准方程的定义法和待定系数法； （3）经历椭圆的形成过程，培养学生运动变化的观点，训练学生的动手能力； （4）通过联系曲线方程的求法，推导椭圆的标准方程，建立类比的思想； （5）在椭圆的概念与标准方程的应用中，学习数学思想和解决问题. 二、重点、难点： 重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想； 难点：椭圆标准方程的推导与化简. 三、教学设计： 教学环节 教学过程 师生互动 设计思想 情 景 引 入 多媒体展示： 材料1：出示“神舟十三号”飞船升空. 材料2：展示生活中的椭圆. 引入课题：椭圆及其标准方程. 师：引导学生观察. 生：观察动画，指出“神舟十三号”的运行轨道. 师：板书课题. 通过“神舟十三号”的升空，让学生感受现实，激发学生的兴趣，培养爱国思想. 激发学生的求知欲，获得感 通过做实验，让学生动手实践，体验椭圆的形成过程，加深对椭圆定义的理解. 将学生分为四人一组，通过分组讨论、研究，增强学生的合作意识. 通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深 理解，提高概括能力和数学语言的表达能力. 通过实验探究（二）加深对椭圆定义的理解. 建立椭圆的方程是本节课的难点，为降低难度，让学生回顾求曲线方程的步骤，以已有的知识来探求新的知识，温故知新，教师再加以正确的引导，新知会自然形成. 椭圆的标准方程的导出，放手给学生有很大的难度，这里采取有意义的接受学习的方式，教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用. 展示动画，通过类比的方法，让学生对照焦点在轴的情形，写出焦点在轴上时，椭圆的标准方程.通过图表便于对比，加深学生对两个方程及几何意义的认识. 目 标 预 习 合 作 探 究 （一） 合 作 探 究 （一） 合 作 探 究 （二） 合 作 探 究 （二） 设置问题： (1) 椭圆是怎么画的?怎么定义的？ (2)椭圆的标准方程如何推导？ (3)如何求椭圆的标准方程？ 实验探究（一）： 取一定长的细绳，把它的两个端点固定在纸板上（绳长大于两定点间距离），套上铅笔，拉紧绳子，旋转一周，观察画出的图形是什么？ 分析实验： 在画图过程中， （1） 绳子的两端是固定的还是运动的？ （2） 绳子的长度与两定点间的距离有怎样的大小关系？ 绳子的长度变了吗？说明了什么？　 多媒体展示动画： 椭圆形成过程. 利用点的轨迹，归纳椭圆的定义. 师：布置预习内容 生：带着问题预习 由教师演示画圆，学生观察思考.并完成实验探究(一). 实验探究（一）各小组学生利用手中工具在纸板上进行实验. 师：引导学生讨论实验结果，总结规律. 生：小组讨论，相互补充，得出结论. 师：引导学生观察椭圆形成过程，找出动点、定点及绳长是否变化，组织小组讨论. 椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点的距离叫做焦距. 常数（大于） 实验探究（二）： (1) 绳长不变，把两定点距离再拉远一点，轨迹是什么？ (2) 继续拉远两个定点的距离，直到把绳子拉直，轨迹是什么？ (3)如果绳长小于两定点间距离，轨迹又是什么？ 合理建系，推导方程： 下面我们来推导椭圆的方程 建系：以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系 设点：设点是椭圆上的任意一点，点到的距离和为,焦距为,则,　。 列式：由定义：2即 　 化简：整理,得 　　 . P F2 F1 如图： ， 则 令，则，那么方程变为： （）. 多媒体展示： 将椭圆的焦点放在轴上 　　　　结论：当焦点在轴上时，椭圆的方程为： . 多媒体展示图表： 让学生对照图形、方程理解记忆. 师：引导学生观察椭圆形成过程，找出动点、定点及绳长是否变化，组织小组讨论. 　 生：小组讨论，给出椭圆定义. 师：设动点为，椭圆的定义可用什么式子表示？ 师：提出这三个问题 生：总结发现的规律 生：回顾求曲线方程的步骤：⑴建系，⑵设点，⑶列式，⑷化简. 师：引导学生按求曲线方程的步骤建立椭圆的方程. 生：思考，回答： (1)怎样建立适当的坐标系？ (2)如何设点？ (3)怎样列式？ 　 　 (4)如何化简？ 师：安排学生提前一天完成化简.并找学生上来讲解. 师：请同学们在图中找出长度等于的线段，则? 师：引导学生推出椭圆的标准方程. 师：指出其焦点在轴上，坐标为,。 生：观察图像，识记方程. 师：若焦点放在轴上，方程又怎样 ？ 生：小组讨论椭圆的方程，相互交流、补充，得出结论. 生：分析方程、图形，识记椭圆的标准方程. 师：引导学生如何根据方程判断焦点的位置？ 当 堂 检 测 展 示 答 疑 1、你能判断下列哪些是椭圆的标准方程吗？如果是，请找出. (1) (2). (3) 生：根据所学椭圆的标 尝试练习，加深对方程及几何意义的理解. 准方程，思考后回答. 师生共同矫正. 生：总结如何判断是否为椭圆的标准方程？ 例1请你写出符合下列条件的椭圆的标准方程： (1),焦点在轴上； (2) ,焦点在轴上. 生：练习本上完成后回答. 师：指出求椭圆的关键是求和的值，的关系是. 通过练习，加深学生对的理解和对公式的记忆. 让学生分析阐述解法，训练语言表达能力，提高分析问题的能力.让学生板演，规范学生的解题步骤.通过解题后的反思，增强学生的反思意识，有利于总结方法. 回顾反思本课时所学知识，梳理巩固所学内容. 通过总结，加深学生对的理解和对公式的记忆. 例2已知椭圆的两个焦点坐标分别为(-1,0)，(1,0)，并且椭圆经过点()，求它的标准方程. 生：分析题意，寻求解法. 师：正确地引导学生. 生：一生板演，其它学生做在练习本上. 师生共同矫正. 生：思考是否还有其它解法？发表见解. 总结方法：（1）定义法（2）待定系数法. 　　 检 测 总 结 已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于、两点，是右焦点. (1)求的周长. (2)如果不垂直于轴呢？ 生：思考，解决，再次巩固椭圆的标准方程的定义. 课 堂 小 结 多媒体展示： （1）椭圆的定义； （2）椭圆的标准方程（图形、焦点坐标、标准方程、的关系）. 生：总结本节课所学及收获. 师：课件展示所学内容. 课 后 作 业 (1) 若椭圆满足:,求它的标准方程. (2) 已知方程 表示焦点在轴上的椭圆,求的取值范围. (3)若椭圆标准方程为,求及其焦点坐标 生:定时完成作业,并总结规律. 查漏补缺,再次反思本节所学内容,加深对焦点位置的判断的理解. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$