精品解析：湖北省孝感市部分高中2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题

湖北省孝感市部分高中2024—2025学年下学期期末联考 高一数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，BC边上的高等于,则（　　） A B. C. D. 3. 已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. -2 4. 如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若，则（ ） A 1 B. C. D. 5 5. 如图，正三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱，一小虫从点A途经三个侧面爬到点，则小虫爬行的最短距离为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6. 若是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线的位置关系是 (　　) A. 平行 B. 相交 C. 在此平面内 D. 平行或相交 7. 某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间（单位：小时）进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9，14]，数据的分组依次为：[9，10），[10，11），[11，12），[12，13），[13，14]．已知活动时间在[9，10）内的人数为300，则活动时间在[11，12）内的人数为（　　） A. 600 B. 800 C. 1 000 D. 1 200 8. 若一组样本数据、、、的平均数为，另一组样本数据、、、的方差为，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（ ） A. CC1与B1E是异面直线 B. C1C与AE共面 C. AE与B1C1是异面直线 D. AE与B1C1所成的角为60° 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 如图所示，在复平面内，网格中每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则________． 13. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 14. 为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知，且函数． （1）化简； （2）若，求和的值． 16. 的内角的对边分别为，设. （1）求C （2）若，求A 17. 已知在中，角对边分别为，向量，，. （1）求角C的大小; （2）若成等差数列，且，求c. 18. 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE． 19. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占. （1）求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； （2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率； （3）若比赛成绩（为样本数据标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数. 参考公式：，（是第组的频率），参考数据： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省孝感市部分高中2024—2025学年下学期期末联考 高一数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点的坐标，再根据三角函数的定义即可得解. 【详解】解：由角终边经过点，即， 所以. 故选：D. 2. 在中，，BC边上的高等于,则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设 ,故选C. 考点：解三角形. 3. 已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】存在实数k使（），化简得到方程组，舍去不合要求的根，求出. 【详解】与反向共线，则存在实数k使（）， 于， 由于，不共线，所以有，整理得，解得或. 又因为，所以，故. 答案：B 4. 如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若，则（ ） A 1 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知构建合适的直角坐标系，标注相关点坐标，由向量共线的坐标表示列方程求参数值. 【详解】因为，所以， 以C为坐标原点，AC所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则， 设，则，， 由，所以，可得. 故选：B 5. 如图，正三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱，一小虫从点A途经三个侧面爬到点，则小虫爬行的最短距离为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将三棱柱展开为一矩形，确定边长，确定小虫爬行的轨迹，即可求得答案. 【详解】三棱柱的侧面展开图为一个矩形，如图所示, 因为正三角形ABC的边长为3，侧棱，所以， 所以，即小虫爬行的最短距离为, 故选：C 6. 若是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线的位置关系是 (　　) A. 平行 B. 相交 C. 在此平面内 D. 平行或相交 【答案】A 【解析】 【详解】 如图，设的中点分别为，则确定一个平面． 连，则． 又平面，平面． 所以平面． 即过它们中点的平面和直线的位置关系是平行． 7. 某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间（单位：小时）进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9，14]，数据的分组依次为：[9，10），[10，11），[11，12），[12，13），[13，14]．已知活动时间在[9，10）内的人数为300，则活动时间在[11，12）内的人数为（　　） A. 600 B. 800 C. 1 000 D. 1 200 【答案】D 【解析】 【分析】由频率分布直方图，根据频率的意义计算． 【详解】解析：活动时间在[9，10）内的频率为0.10，在[11，12）内的频率为0.40，设活动时间在[11，12）内的人数为x，则，解得x＝1 200． 故选：D． 8. 若一组样本数据、、、的平均数为，另一组样本数据、、、的方差为，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】计算出、的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差. 【详解】由题意可知，数据、、、的平均数为，则，则 所以，数据、、、的平均数为 ， 方差为， 所以，， 将两组数据合并后，新数据、、、、、、、的平均数为 ， 方差为 . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据各项对应三角函数的性质判断区间单调性和周期，即可得. 【详解】对于A，的周期为π，在上单调递增，符合要求; 对于B，的周期为，不符合要求; 对于C，的周期为π，在上单调递增，符合要求; 对于D，的周期为π，在上不单调，不符合要求. 故选：AC. 10. 已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出，，三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断. 【详解】设，， ，， ，， 对于A，，故选项A正确； 对于B， ，，故选项B正确； 对于C，， 当时，，故选项C错误； 对于D， ， 可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，故选项D错误. 故选:AB. 11. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（ ） A. CC1与B1E是异面直线 B. C1C与AE共面 C. AE与B1C1是异面直线 D. AE与B1C1所成的角为60° 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线的定义及异面直线的夹角问题可一一判断. 【详解】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误； 由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误； 同理AE与B1C1是异面直线，C正确； AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成为90°，D错误. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像求得点A,B对应的复数，然后求的值. 【详解】由图像可知，故. 【点睛】本小题主要考查复数的减法运算，考查复数模的运算，考查复数与复平面内点的对应，属于基础题. 13. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解. 【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 方法二：棱台的体积为. 故答案为：. 14. 为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解. 【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人，可得高三年级共有90人， 又由高三年级共有720名学生，则每个学生被抽到的概率为， 设该校共有名学生，可得，解得（人）， 即该校共有名学生. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知，且函数． （1）化简； （2）若，求和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式直接化简即可， （2）对平方可求出，再由可得，然后求出，从而可求得的值 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 由， 平方可得， 即． ∴． 又，∴，， ∴， ∵， ∴． 16. 的内角的对边分别为，设. （1）求C （2）若，求A 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知及正弦边角关系整理得，再由余弦定理求角的大小； （2）由正弦边角关系、三角形内角性质、和差角正弦公式得，结合三角形内角范围求角的大小. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，化简得， 所以. 因为，所以. 【小问2详解】 因为，由正弦定理得，又， 由，所以，即. 因为，所以， 所以，即. 17. 已知在中，角的对边分别为，向量，，. （1）求角C的大小; （2）若成等差数列，且，求c. 【答案】（1）； （2）6 【解析】 【分析】（1）由已知、向量数量积坐标表示及和角正弦公式得，再由二倍角正弦公式化简，即可得； （2）根据等差数列的性质、正弦边角关系得，再由向量减法法则及数量积的定义得，最后应用余弦定理求边长. 【小问1详解】 由题设，又， 在中，，则， 所以，故. 小问2详解】 由成等差数列，可得，则， 因为，所以，即，所以. 由余弦定理，得， 所以，所以. 18. 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）说明与垂直后，由线面垂直的判定定理得证线面垂直． （2）先证明AE⊥平面PAB．从而得证面面垂直． 【详解】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥BD． 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC． 又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC． （2）因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， 所以PA⊥AE． 因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°， 且E为CD的中点，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE． 又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB． 因为AE⊂平面PAE， 所以平面PAB⊥平面PAE． 【点睛】易错点睛：本题考查证明线面垂直与面面垂直，解题关键是掌握线面垂直与面面垂直的判定定理．解题时要注意定理的条件要一一列举出来，不能简略，否则解题过程不完整，出现错误． 19. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占. （1）求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； （2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率； （3）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数. 参考公式：，（是第组的频率），参考数据： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中的平均数计算方法计算即可； （2）先由题意求得抽到的高三学生人数，再利用古典概型与组合数即可求得所求概率； （3）先利用题目所求标准差公式求得，再求得优秀成绩所在区间的频率，从而可估算得成绩优秀的人数. 【小问1详解】 依题意，得 ， 所以抽取的200名学生的平均成绩. 【小问2详解】 由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人， 这7个人中，不是高三学生设为，其中3个高三学生设为， 从7人中抽取2人，共有：，，共有21种抽法， 其中这2人都是高三学生为：，共有3种抽法， 由古典概型得，这2人都是高三学生的概率为． 【小问3详解】 依题意，得 ， 所以优秀的比赛成绩应该， 而比赛成绩在的频率为：， 而， 故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为人. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$