1.5一元二次不等式 专项训练——2026届高三数学一轮复习

数学荣耀征途 ----- 一元二次不等式 1.若不等式(a-2)x2+4(a-2)x-12<0的解集为R,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|-1≤a<2} B.{a|-1<a≤2} C.{a|-1<a<2} D.{a|-1≤a≤2} 2.若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有2个整数解,则实数a的取值范围为(　　) A.(-1,0]∪[2,3) B.[-2,-1)∪(3,4] C.(-2,-1)∪(3,4) D.[-1,0)∪(2,3] 3.(多选)下列四个不等式中,解集为⌀的是(　　) A.-x2+x+1≤0 B.2x2-3x+4<0 C.x2+3x+10≤0 D.-x2+4x->0(a>0) 4.若存在x∈[0,1],不等式x2-4x-m≥0成立,则m的最大值为(　　) A.0 B.1 C.-3 D.3 5.(多选)已知一元二次方程x2+(m+1)x+=0(m∈Z)有两个实数根x1,x2,且0<x1<1<x2<3,则m的值为(　　) A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 6.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为(-3,2),乙写错了常数c,得到的解集为(-3,4).那么原不等式的解集为　　　　　.  7..设函数f(x)=ax2-(1+a)x+1. (1)若a=-2,解不等式f(x)>0; (2)若a>0,解关于x的不等式f(x)<0. 8.对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围. 链接高考 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2020·全国I卷·高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 3．（2018·全国I卷·高考真题）已知集合，则 A． B． C． D． 4．（2019·全国II卷·高考真题）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞) 5．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（2014·新课标Ⅰ·高考真题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2003·全国·高考真题）设集合，，则等于（    ） A． B． C． D．或 8．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 9．（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ． 10．（2015·江苏·高考真题）不等式的解集为 . 1.答案:B 解析:当a=2时,原不等式为-12<0,满足解集为R; 当a≠2时,根据题意得a-2<0,且Δ=16(a-2)2-4(a-2)×(-12)<0,解得-1<a<2. 综上,-1<a≤2,故a的取值范围为{a|-1<a≤2}. 2 答案:B 解析:不等式x2-(a+1)x+a<0可化为 (x-1)(x-a)<0, 当a=1时,不等式无解; 当a<1时,不等式的解为a<x<1,若解集中恰有2个整数解,则-2≤a<-1; 当a>1时,不等式的解为1<x<a,若解集中恰有2个整数解,则3<a≤4. 综上,a的取值范围是[-2,-1)∪(3,4]. 3 答案:BCD 解析:对于A,-x2+x+1≤0对应函数y=-x2+x+1的图象开口向下,显然解集不为⌀; 对于B,2x2-3x+4<0对应函数图象开口向上,Δ=9-32<0,其解集为⌀; 对于C,x2+3x+10≤0对应函数图象开口向上,Δ=9-40<0,其解集为⌀; 对于D,-x2+4x->0(a>0)对应函数图象开口向下,Δ=16-4≤16-4×2=0,当且仅当a=2时,取等号,其解集为⌀. 4答案:A 解析:由题意得,当x∈[0,1]时,m≤(x2-4x)max. 令f(x)=x2-4x,x∈[0,1], 由f(x)=x2-4x=(x-2)2-4可知,当x=0时, f(x)max=f(0)=0, 所以m≤0,故m的最大值为0. 5答案:BC 解析:设f(x)=x2+(m+1)x+, 由0<x1<1<x2<3, 可得即 解得-<m<-. 又因为m∈Z,得m=-3或m=-4. 6 答案:(-2,3) 解析:依题意知,c=-3×2=-6,-b=-3+4=1,即b=-1, 因此不等式x2+bx+c<0,即x2-x-6<0, 解得-2<x<3, 所以原不等式的解集为(-2,3). 7 解:(1)当a=-2时,由f(x)=-2x2+x+1>0, 即(2x+1)(x-1)<0, 解得-<x<1, 故当a=-2时,不等式f(x)>0的解集为. (2)由f(x)<0,可得(ax-1)(x-1)<0, 所以(ax-1)(x-1)=0的两根为x1=1,x2=. 当0<a<1时,>1,解得1<x<; 当a=1时,原不等式即为(x-1)2<0,该不等式的解集为⌀; 当a>1时,<1,解得<x<1. 综上所述,当0<a<1时,原不等式的解集为; 当a=1时,原不等式的解集为⌀; 当a>1时,原不等式的解集为. 8 解:f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4, 令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4. 由题意知,在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零, 所以解得x<1或x>3. 故当x∈(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意m∈[-1,1],函数f(x)的值恒大于零. 链接高考答案 1．C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2．D 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果. 【详解】由解得， 所以， 又因为，所以， 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目. 3．B 【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式得， 所以， 所以可以求得，故选B. 点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果. 4．A 【分析】先求出集合A，再求出交集． 【详解】由题意得，，则．故选A． 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目． 5．A 【分析】本题可根据图像得出结果. 【详解】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. 6．A 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】解：由，即，解得或， 所以或，又，所以， 故选：A． 7．A 【分析】先解一元二次不等式和对数不等式化简集合，再求交集. 【详解】不等式解得或，集合或， 不等式，解得，集合 ． 故选：A． 8． 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 9． 【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】分类讨论：①当时，即：， 整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当时，，则； ②当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当或时，，则； 综合①②可得的取值范围是，故答案为. 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 10． 【详解】试题分析：本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围． , 是一个递增函数； 故答案为. 考点：指数函数的单调性和特殊性 学科网（北京）股份有限公司 $$