吉林省松原市前郭县西部学区2024—2025学年八年级下学期期末教学质量检测数学试卷

2025年八年级第二学期期末教学质量检测 数学 题号 一 二 三 总分 分值 命题人：韩磊 审题单位：长春市卓越教育 开启时间：2025 年 7 月 3 日 一．选择题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 1 ．（3 分）我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中 Deepseek（深度求索）在 2025 年以各项性能 在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能 AI 软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是 ( ) A ．25 和 30 B ．25 和 29 C ．28 和 30 D ．28 和 29 2 ．（3 分）下列式子中，属于最简二次根式的是 ( ) A ． 2 B ． 0.2 C ． 12 D ． 18 3 ．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中， ∠C ＝90 ° , 分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希波克拉底月牙 ”．当 AC＝2 ，AB = 2 5 时，则阴影部分的面积为 ( ) 第三题图 第四题图 A ．8π B ．8 C ．4π D ．4 4 ．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90 ° , ∠A ＝20 ° , CD 为 AB 边上的中线，DE⊥AC，则图中与 ∠A 互余的角共有 ( ) A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 5 ．（3 分）某书店对外租赁图书．收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按 0.5 元收费，以后每天按 0.7 元收费（不足一天按一天计算）．则租金y（元）和租赁天数 x（x≥2）之间的关系式为 ( ) A．y ＝0.5x B．y ＝0.7x C．y ＝0.7x+1 D．y ＝0.7x - 0.4 6．（3 分）已知正方形 ABCD 的边长为 2 2，点 P 是对角线 AC 上一动点（不与点A，C 重合），连接 BP， 作 PM⊥BP 交射线 DC 于点 M，连接 BM，设 AP＝x，y＝BM2 ，则y 关于 x 的函数关系的图象大致为 ( ) ( C ． ) ( B ． ) ( D ． )A． 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） ( . )7 ．（3 分）在函数y = — 中， 自变量 x 的取值范围是 8 ．（3 分）甲、乙两射击运动员参加射击训练，各射击 10 次的平均成绩相同，如果他们射击成绩的方差 分别是S甲 (2) = 0.75 ，S乙 (2) = 1.65 ，则两人中射击成绩比较稳定的是 ． 9 ．（3 分）如图所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O ，H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周 长为 48 ，则 OH 的长等于 ． 第九题图 第十题图 10 ．（3 分）如图，一根木棍长 18cm ，斜放在直径 5cm 的圆形水杯中，水杯的高 AC 的高为 12cm ，则露 出水杯外的部分 AD 的长为 cm． 11 ．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A（ - 1，y1），B（3，y2 ）是一次函数y ＝ - 4x+b 图象上的 两个点，则y1 与y2 的大小关系为：y1 y2（填“ ＞ ”,“ = ”或“< ”). 三．解答题（共 11 小题，满分 87 分） 12 ．（6 分）计算：I — 2 I + ( — )—1 + 3 × 6． 13 ．（6 分）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y（L）与气体温度 x (℃) 成 一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如 表： 气体温度 x (℃) … 25 30 35 … 气体体积y （L） … 596 606 616 … （1）求y 与 x 的函数关系式； （2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到 700L 时停止加热．求停止加热时的气体 温度． 保密★启用前 【八年级数学试卷 第 1 页 共 4 页】 14 ．（6 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 边上，BE＝DF，连接 EA 、FA． 求证：EA＝FA． 15 ．（7 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上的点，且 BE＝DF．连接 AE ，CF． （1）求证△ADE≌△CBF； （2）连接 AF，CE，若 AB＝AD ，判断四边形 AFCE 的形状，并说明理由． 16．（7 分）如图，有一架秋千，当它静止在 AD 的位置时，踏板离地的垂直高度 DE 为 0.7m，将秋千 AD 往前推送 4m（即 BC 为 4m），到达 AB 的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度 BF 为 2.7m ，秋千 的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为 1.7m 时，需要将秋千 AD 往前推送 m． 17 ．（7 分）如图，在 6×6 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1 ，小正方形的顶点称为格点，在 正方形网格中按要求作图． （1）在图①中画出线段 AB ，使其长度为 10（画一条即可）； （2）在图②中画出一个直角△DEF，使其三边长均是有理数（画一个即可）； （3）在图③中画出一个菱形 MNGH，使其对角线的长均是无理数（画一个即可）． 保密★启用前 【八年级数学试卷 第 2 页 共 4 页】 学科网（北京）股份有限公司 18 ．（8 分）如图，点 P（x，y）在第一象限，且 x+y ＝10 ，点 A 的坐标为（8 ，0）．设△OPA 的面积为 S． （1）求 S 关于 x 的函数解析式； （2）若 S＝12 ，求 P 点坐标． 19 ．（8 分）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“ 中国航天日 ”当天开 展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位： 分满分 100 分均不低于 60 分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统 计图． 其中 B 组共有 15 个成绩，从高到低分别为：89 ，88 ，88 ，86 ，85 ，85 ，85 ，85 ，84 ，83 ，81 ，81， 80 ，80 ，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B 组 15 个成绩的平均数为 分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为 ，本次被抽取的所有成绩的中位数为 分； （3）学校决定对本次竞赛成绩 90 分及以上的学生进行奖励，该校共有 500 名学生参加竞赛，请估计 本次竞赛的获奖人数． 20 ．（10 分）根据以下素材，探索完成任务． 杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅． 素材 1 某快递公司规定：（1）从当地寄送杨梅到 A 市按重量收费：当杨梅 重量不超过 10 千克时，需要寄送费32 元；当重量超过 10 千克时， 超过部分另收 m 元/千克． （2）寄送杨梅重量均为整数千克． 素材 2 （1）【分析变量关系】根据以上信息，请确定 m 的值，并求出杨梅重量超过 10 千克时寄送费用y（元） 关于杨梅重量 x（千克）之间的函数关系式． （2）【计算最省费用】若杨梅重量达到 25 千克，请求出最省的寄送费用． （3）【探索最大重量】小聪想在当地梅企购买一批价格为 50 元/千克的杨梅并全部寄送给在 A 市的朋 友们，若小聪能用来支配的钱有5000 元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式． 保密★启用前 【八年级数学试卷 第 3 页 共 4 页】 学科网（北京）股份有限公司 21 ．（10 分）如图，已知矩形 ABCD，AD ＝4 ，CD ＝10 ，P 是 AB 上一动点，M、N、E 分别是 PD 、PC、 CD 的中点． （1）求证：四边形 PMEN 是平行四边形； （2）请直接写出当 AP 为何值时，四边形 PMEN 是菱形； （3）四边形 PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由． 22 ．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是正方形，顶点A（7 ，0），点 D 和 E 分别在正 方形边 OC，OA 上，且 OD ＝OE ＝4 ，直线 DE 与直线 OB 交于点 H，平行于y 轴的直线 1 ，从y 轴出 发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 方向移动，与线段 AB 重合时停止，设运动时间为 t 秒，平移 过程中，直线 l 与直线 OB 交于点 M、与直线 DE 交于点 N． (Ⅰ) 求直线 DE 的解析式和点 H 的坐标． (Ⅱ) 当点 M 在点 N 上方时，记线段 MN的长度为 L； ①如图 1 ，求 L 与 t 的函数关系式，并写出此时 t 的取值范围； ②如图 2 ，以 MN 为直角边向右作等腰直角△MNP ，当点 P 恰好落在正方形的边 AB 上时，求 t 值？ 直接写出 t 在什么范围变化时，等腰直角△MNP 与△ABO 重叠部分为矩形？ (Ⅲ) 如图 3 ，当 M 在点 N 下方时，以 NM 为边向右作等边△NMQ ，等边△NMQ 与△ABO 重叠部分 的面积记为 S．填空：当 N、M 恰好是 DH、OH 中点时，S 的值 ． 保密★启用前 【八年级数学试卷 第 4 页 共 4 页】 学科网（北京）股份有限公司 2025年八年级第二学期期末教学质量检测 数学 参考答案与试题解析 一．选择题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 1 ．（3 分）我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中 Deepseek（深度求索）在 2025 年以各项性能 在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能 AI 软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是 ( ) A ．25 和 30 B ．25 和 29 C ．28 和 30 D ．28 和 29 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可． 【解答】解：将这组数据重新排列为 25 ，26 ，27 ，28 ，29 ，30 ，30， 所以这组数据的众数为 30 ，中位数为 28， 故选：C． 【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数． 2 ．（3 分）下列式子中，属于最简二次根式的是 ( ) A ． 2 B ． 0.2 C ． 12 D ． 18 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【解答】解：A. 2是最简二次根式，故选项 A 符合题意； B. 0.2 = = ，故选项 B 不符合题意； C. 12 = 2 3 ，故选项 C 不符合题意； D. 18 = 3 2 ，故选项 D 不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 3 ．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90° , 分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为 “希波克拉底月牙” ．当 AC ＝2 ，AB = 2 5 时，则阴影部分的面积为 ( ) A ．8π B ．8 C ．4π D ．4 【分析】根据勾股定理求出 BC，分别求出三个半圆的面积和△ABC 的面积，即可得出答案． 【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠C ＝90° , AC ＝2，AB ＝2 5 ，由勾股定理得：BC= AB2 — AC2 =4 ， ∴ 阴影部分的面积：S= π× ( ) 2+ π× ( ) 2+ ×AC×BC— π× ( ) 2= π+2π+4 — π =4 ．故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的 面积是解此题的关键． 4 ．（3 分）如图，在△ABC 中， ∠ACB ＝90° , ∠A ＝20° , CD 为 AB 边上的中线，DE⊥AC ，则图中与 ∠A 互余的角共有 ( ) A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出 CD＝AD＝BD ，推出∠B = ∠BCD ， ∠ADE = ∠CDE，而 ∠A+∠ADE ＝90° , ∠A+∠B ＝90° , 即可得到答案． 【解答】解： ∵ ∠ACB ＝90° , CD 为 AB 边上的中线， ∴CD= AB， ∴CD＝AD＝BD， ∴ ∠B = ∠BCD， ∵AD ＝CD，DE⊥AC， ∴ ∠ADE = ∠CDE， ∵ ∠A+∠ADE ＝90° , ∠A+∠B ＝90° , ∴图中与∠A 互余的角共有 4 个． 故选：C． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，余角和补角，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出 CD =AD＝BD ，掌握余角的概念． 5 ．（3 分）某书店对外租赁图书．收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按 0.5 元收费，以后每天按 0.7 元收费（不足一天按一天计算）．则租金y（元）和租赁天数 x（x≥2）之间的关系式为 ( ) A．y ＝0.5x B．y ＝0.7x C．y ＝0.7x+1 D．y ＝0.7x - 0.4 【分析】根据“租金＝头两天的租金+两天之后的租金”计算即可． 【解答】解：根据题意，得y ＝0.5×2+0.7（x - 2）＝0.7x - 0.4， ∴租金y（元）和租赁天数 x（x≥2）之间的关系式为y ＝0.7x - 0.4． 故选：D． 【点评】本题考查函数关系式，理解题意并写出函数关系式是解题的关键． 6．（3 分）已知正方形 ABCD 的边长为 2 2，点 P 是对角线 AC 上一动点（不与点A，C 重合），连接 BP， 作 PM⊥BP 交射线 DC 于点 M，连接 BM，设 AP＝x，y＝BM2 ，则y 关于 x 的函数关系的图象大致为 ( ) ( B ． )A． ( C ． )D． 【分析】作 PE⊥BC，PG⊥CD ，利用正方形性质得出△APF 是等腰直角三角形，得到线段 AF、PF、 BE、PE 关于 x 的表达式，证明四边形 PECG 是正方形，通过角度关系证明△PBE≌△PMG ，得出 PB =PM，在 Rt△BPM 中，结合勾股定理得到y ＝2PB2 ，再在 Rt△PBE 中求出 PB2 关于 x 的表达式，进 而得到y 关于 x 的函数关系式，根据函数性质确定图象． 【解答】解：过点 P 作 PE⊥BC 于点 E，交 AD 于点F；过点 P 作 PG⊥CD 于点 G． 保密★启用前 学科网（北京）股份有限公司 【八年级数学试卷 ·参考答案 第 1 页 共 8 页】 在 Rt△APF 中， ∠PAF＝45° , ∴△APF 是等腰直角三角形， ∴AF = PF = BE = x． ∵正方形边长为 2 2， ∴PE = BC — BE = 2 2 — x． ∵ ∠EPG = ∠PEC= ∠PGC ＝90° , ∴四边形 PECG 是正方形， ∴PE＝PG． ∵ ∠EPG = ∠BPM＝90° , ∴ ∠EPG - ∠EPM= ∠BPM - ∠EPM，即∠BPE = ∠MPG． ∵ ∠BEP = ∠PGM＝90° , 且 PE＝PG， ∴△PBE≌△PMG（AAS）， ∴PB＝PM． 在 Rt△BPM 中， 根据勾股定理 BM2＝PB2+PM2， ∴y＝BM2 ＝2PB2． PB2＝BE2+PE2 ，将BE = x ，PE = 2 2 — x代入可得： PB2 = ( x)2 + (2 2 — x)2 = x2 + (2 2)2 — 2 × 2 2 × x + x2 =x2 - 4x+8， 则y ＝2PB2 ＝2（x2 - 4x+8）＝2（x - 2）2+8， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线 x ＝2 ， 故选：A． 【点评】本题考查正方形性质、等腰直角三角形性质、三角形全等判定与性质以及二次函数的应用， 解题关键是通过作辅助线，利用相关几何性质建立 BM2 与 AP 长度 x 的函数关系． 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 7 ．（3 分）在函数y = — 中， 自变量 x 的取值范围是 x≠3 ． 【分析】根据分母不为 0 可得：x - 3≠0 ，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意，得 x - 3≠0， 解得 x≠3， 故答案为：x≠3． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为 0 是解题的关键． 8 ．（3 分）甲、乙两射击运动员参加射击训练，各射击 10 次的平均成绩相同，如果他们射击成绩的方差 分别是S甲 (2) = 0.75 ，S乙 (2) = 1.65 ，则两人中射击成绩比较稳定的是 甲 ． 【分析】根据方差的意义即可求出答案． 【解答】解：由于 S 甲 2＜S 乙 2 ，且两人 10 次射击成绩的平均值相等， ∴两人中射击成绩比较稳定的是甲， 故答案为：甲． 【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏 离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据 偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 9 ．（3 分）如图所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O ，H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周 长为 48 ，则 OH 的长等于 6 ． 【分析】首先求得菱形的边长，则 OH 是直角△AOD 斜边上的中线，依据直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：AD= ×48 ＝12， ∵菱形 ABCD 中，AC⊥BD ， ∴△AOD 是直角三角形， 又∵H 是 AD 的中点， ∴OH= AD= ×12 ＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质和直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半是解题的关键． 10 ．（3 分）如图，一根木棍长 18cm ，斜放在直径 5cm 的圆形水杯中，水杯的高 AC 的高为 12cm ，则露 出水杯外的部分 AD 的长为 5 cm． 【分析】连接 BC，由题意可知 BD ＝18cm，BC ＝5cm，AC ＝12cm ，然后在 Rt△ABC 中，由勾股定理 求出AB ＝13cm ，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接 BC， 则∠ACB ＝90° , 由题意得：BD ＝18cm ，BC ＝5cm，AC ＝12cm， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB= AC2 + BC2 = 122 + 52 = 13（cm）， ∴AD＝BD - AB ＝18 - 13 ＝5（cm）， 故答案为：5． 保密★启用前 【八年级数学试卷 ·参考答案 第 2 页 共 8 页】 学科网（北京）股份有限公司 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解决问题的关键． 11．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A（ - 1，y1），B（3，y2 ）是一次函数y ＝ - 4x+b 图象上的 两个点，则y1 与y2 的大小关系为：y1 ＞ y2（填“＞” , “ = ”或“<”). 【分析】由 k ＝ - 4＜0 ，利用一次函数的性质，可得出y 随 x 的增大而减小，再结合 - 1＜3 ，即可得 出y1＞y2． 【解答】解： ∵k＝ - 4＜0， ∴y 随 x 的增大而减小， 又∵点A（ - 1，y1），B（3，y2 ）是一次函数y ＝ - 4x+b 图象上的两个点，且 - 1＜3， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y 随 x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小” 是解题的关键． 三．解答题（共 11 小题，满分 87 分） 12 ．（6 分）计算：I - 2 I + ( - )-1 + 3 × 6． 【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式= 2 +（ - 2）+3 2 =4 2 -2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 13 ．（6 分）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y（L）与气体温度 x (℃) 成 一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如 表： 气体温度 x (℃) … 25 30 35 … 气体体积y （L） … 596 606 616 … （1）求y 与 x 的函数关系式； （2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到 700L 时停止加热．求停止加热时的气体 温度． 【分析】（1）根据变量的变化规律解答即可； （2）当y ＝700 时，求出对应 x 的值即可． 【解答】解：（1）根据表格，气体温度升高 1℃ , 气体体积增大 2L ，则y ＝596+2（x - 25）＝2x+546， ∴y 与 x 的函数关系式为y ＝2x+546． （2）当y ＝700 时，得 2x+546 ＝700， 解得 x ＝77． 答：停止加热时的气体温度为 77℃ . 【点评】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出y 与 x 的函数关系式是解题的关键． 14 ．（6 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 边上，BE＝DF，连接 EA 、FA． 求证：EA＝FA． 【分析】由菱形的性质推出AB＝AD ， ∠B = ∠D ，即可证明△ABE≌△ADF（SAS），推出 EA＝FA． 【解答】证明： ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝AD ， ∠B = ∠D， 在△ABE 和△ADF 中， AB = AD <B = <D， BE = DF ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴EA＝FA． 【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质推出△ABE≌△ADF （SAS）． 15 ．（7 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E ，F 是对角线 BD 上的点，且 BE＝DF．连接 AE ，CF． （1）求证△ADE≌△CBF； （2）连接 AF，CE，若 AB＝AD ，判断四边形 AFCE 的形状，并说明理由． 【分析】（1）利用SAS 证明三角形全等； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【解答】（1）证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴ ∠ADE = ∠CBF， ∵BE＝BF+EF，DF＝DE+EF，又 BE＝DF， ∴BF+EF＝DE+EF， ∴BF＝DE， 在△ADE 和△CBF 中， AD = CB <ADE = <CBF， BF = DE ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）解：结论：四边形 AFCE 是菱形． 理由：连接 AC，交 BD 于 O． ∵△ADE≌△CBF， ∴AE ＝CF， ∠AED = ∠BFC． 保密★启用前 【八年级数学试卷 ·参考答案 第 3 页 共 8 页】 学科网（北京）股份有限公司 又∵∠AED+∠AEF＝180° , ∠BFC+∠EFC＝180° , ∴ ∠AEF= ∠EFC． ∴AE∥CF， ∴四边形 AFCE 是平行四边形， ∵四边形 ABCD 是平行四边形，AB＝AD， ∴四边形 ABCD 是菱形． ∴AC⊥BD． ∴四边形 AFCE 是菱形． 【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是 掌握相关知识解决问题． 16．（7 分）如图，有一架秋千，当它静止在 AD 的位置时，踏板离地的垂直高度 DE 为 0.7m，将秋千 AD 往前推送 4m（即 BC 为 4m），到达 AB 的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度 BF 为 2.7m ，秋千 的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为 1.7m 时，需要将秋千 AD 往前推送 3 m． 【分析】（1）设 AB＝x 米，则 AC ＝（x - 2）米，在 Rt△ACB 中，由勾股定理得出方程求解即可； （2）由题意得出AC 的长，再根据勾股定理求出 BC 的长即可． 【解答】解：（1）由题意知，DE ＝0.7 米，BF＝2.7 米，CE＝BF＝2.7 米， ∴CD ＝CE - DE ＝2.7 - 0.7 ＝2（米）， 设 AB＝x 米，则 AC ＝（x - 2）米， 在 Rt△ACB 中，由勾股定理得， AC2+BC2＝AB2， 即（x - 2）2+42＝x2， 解得 x ＝5， 即秋千的长度为 5 米； （2） ∵踏板离地的垂直高度 BF 为 2.7 米， ∴CD ＝1.7 - 0.7 ＝1（米） ∴AC ＝5 - 1 ＝4（米）， ∴BC= AB2 — AC2 =3（米）， 即需要将秋千 AD 往前推送 3 米， 故答案为：3． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 17 ．（7 分）如图，在 6×6 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1 ，小正方形的顶点称为格点，在 正方形网格中按要求作图． （1）在图①中画出线段 AB ，使其长度为 10（画一条即可）； （2）在图②中画出一个直角△DEF，使其三边长均是有理数（画一个即可）； （3）在图③中画出一个菱形 MNGH，使其对角线的长均是无理数（画一个即可）． 【分析】（1）根据网格的特点以及勾股定理即可求解； （2）画一个边长分别为 3 ，4 ，5 的三角形，即可求解； （3）画一个对角线分别为 2 ，3 2 的菱形，即可求解． 【解答】解：（1）如图① , 线段 AB 即为所求； （2）如图② , △DEF 即为所求， DE = 3 ，DF = 4 ，EF = 32 + 42 = 5； （3）如图③ , 菱形 MNGH 即为所求， 对角线 HN = 2 ，MG = 32 + 32 = 3 2． 【点评】本题考查作图，掌握在网格中作图是解题的关键． 18 ．（8 分）如图，点 P（x，y）在第一象限，且 x+y ＝10 ，点 A 的坐标为（8 ，0）．设△OPA 的面积为 S． （1）求 S 关于 x 的函数解析式； （2）若 S＝12 ，求 P 点坐标． 【分析】（1）依据题意，由三角形的面积公式列式，即可用含 x 的解析式表示 S，然后根据 S＞0 及已 保密★启用前 【八年级数学试卷 ·参考答案 第 4 页 共 8 页】 学科网（北京）股份有限公司 知条件，可求出 x 的取值范围，进而可以得解； （2）依据题意，将 S＝12 代入求得的函数的解析式，然后求得 x、y 的值，从而求得点 P 的坐标． 【解答】解：（1） ∵A 和 P 点的坐标分别是（8 ，0）、（x，y）， ∴△OPA 的面积= OA•|yP |， ∴S= ×8×|y| ＝4y． ∵x+y ＝10 ， ∴y ＝10 - x． ∴S＝4（10 - x）＝40 - 4x． ∵S＝ - 4x+40＞0， ∴x＜10． 又∵点 P 在第一象限， ∴x＞0， ∴0＜x＜10． ∴S＝ - 4x+40（0＜x＜10）． （2）由题意， ∵S＝ - 4x+40， ∴当 S＝12 时，12 ＝ - 4x+40， ∴x ＝7，y ＝3． ∴点 P 的坐标为（7 ，3）． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质及三角形的面积，解答本题的关键是正确地求出S 与 x 的关系． 19 ．（8 分）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展 了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分 100 分均不低于 60 分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计 图． 其中 B 组共有 15 个成绩，从高到低分别为：89 ，88 ，88 ，86 ，85 ，85 ，85 ，85 ，84 ，83 ，81 ，81， 80 ，80 ，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B 组 15 个成绩的平均数为 84 分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为 50 ，本次被抽取的所有成绩的中位数为 80 分； （3）学校决定对本次竞赛成绩 90 分及以上的学生进行奖励，该校共有 500 名学生参加竞赛，请估计 本次竞赛的获奖人数． 【分析】（1）根据加权平均数公式解答即可； （2）用 B 组的个数除以 B 组所占百分比可得样本容量，再根据中位数的意义解答即可； （3）用总人数乘样本中成绩 90 分及以上的学生的人数所占比例即可． 【解答】解：（1）B 组 15 个成绩的平均数为： ×（3×80+2×81+83+84+4×85+86+2×88+89）＝84（分）， 故答案为：84； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为：15÷30% ＝50， A 组人数为：50×24% ＝12（个）， 把 50 个成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是 80 ，80， 所以本次被抽取的所有成绩的中位数为： =80（分）， 故答案为：50 ，80； （3）500×24% ＝120（人）， 答：估计本次竞赛的获奖人数为 120 人． 【点评】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形 结合的思想解答． 20 ．（10 分）根据以下素材，探索完成任务． 杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅． 素材 1 某快递公司规定：（1）从当地寄送杨梅到 A 市按重量收费：当杨梅 重量不超过 10 千克时，需要寄送费32 元；当重量超过 10 千克时， 超过部分另收 m 元/千克． （2）寄送杨梅重量均为整数千克． 素材 2 （1）【分析变量关系】根据以上信息，请确定 m 的值，并求出杨梅重量超过 10 千克时寄送费用y（元） 关于杨梅重量 x（千克）之间的函数关系式． （2）【计算最省费用】若杨梅重量达到 25 千克，请求出最省的寄送费用． （3）【探索最大重量】小聪想在当地梅企购买一批价格为 50 元/千克的杨梅并全部寄送给在 A 市的朋 友们，若小聪能用来支配的钱有5000 元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式． 【分析】（1）依据题意，由寄送 12 千克花费 44 元列出方程求出 m 的值，进而求出y 关于 x 的函数关 系式即可； （2）依据题意，分若单件寄送，若分两件寄送，若分三件寄送，三种情况分别计算出寄费即可得到 答案； （3）依据题意，设有 m kg（m＞10）杨梅需要寄送，设 m÷10 的余数为 n ，推出当 n≤5 时，采用超过 10kg 的寄送方式最省钱，当 6＜n≤9 ，采用分两件不超过 10kg 的寄送方式省钱；设小聪购买的杨梅一 共分y 件不超过 10kg 的寄送方式，则 50×10y+32y≤5000 ，求出y 最大值为 9 ，进而推出最省钱的寄送 方式应该是 8 件不超过 10kg 的寄送，一件超过 10kg 的寄送，计算出 8 件不超过 10kg 的寄送方式的总 花费为 4256 元，寄送 14kg 的总花费为 784 元，寄送 13kg 的总花费为 700 元，由于 4256+784＞5000， 4256+700＜5000，则一件超过 10kg 的寄送的杨梅数量是 13kg，即可得到小聪最多可以购买 93kg 杨梅， 寄送方式为 8 件 10kg ，1 件 13kg． 【解答】解：（1）由题意得，32+（12 - 10）m ＝44， ∴m ＝6， ∴y ＝32+6（x - 10）＝6x - 28（x＞10）； （2）当 x ＝25 元， 保密★启用前 【八年级数学试卷 ·参考答案 第 5 页 共 8 页】 学科网（北京）股份有限公司 若单件寄送，则需寄费 6×25 - 28 ＝122 元， 若分两件寄送，则需寄费 32+15×6 - 28 ＝94 元， 若分三件寄送，则需寄费 32×3 ＝96 元， ∵94＜96＜122， ∴寄送 25kg 杨梅的最省费用为 94 元； （3）由题意，设有 m kg（m＞10）杨梅需要寄送，设 m÷10 的余数为 n， 当 n ＝5 时，32×2 ＝64＞6×15 - 28 ＝62， 当 n ＝6 时，32×2 ＝64＜6×16 - 28 ＝68， ∴当 n≤5 时，采用超过 10kg 的寄送方式最省钱，当 6＜n≤9，采用分两件不超过 10kg 的寄送方式省钱． 设小聪购买的杨梅一共分y 件不超过 10kg 的寄送方式， ∴50×10y+32y≤5000， ∴y≤ . 又∵y 是正整数， ∴y 最大值为 9， ∴还剩下 5000 - 50×10×9 - 32×9 ＝212 元， ∵（212÷50+10）÷ 10 的余数小于 5， ∴最省钱的寄送方式应该是 8 件不超过 10kg 的寄送，一件超过 10kg 的寄送， ∵8 件不超过 10kg 的寄送的寄费为 10×50×8+32×8 ＝4256 元，14×6 - 28+14×50 ＝784，13×6 - 28+13×50 =700 ，4256+784＞5000 ，4256+700＜5000， ∴一件超过 10kg 的寄送的杨梅数量是 13kg， ∴小聪最多可以购买 10×8+13 ＝93kg 杨梅，寄送方式为 8 件 10kg ，1 件 13kg． 【点评】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正 确理解题意是解题的关键． 21 ．（10 分）如图，已知矩形 ABCD，AD ＝4 ，CD ＝10 ，P 是 AB 上一动点，M、N、E 分别是 PD 、PC、 CD 的中点． （1）求证：四边形 PMEN 是平行四边形； （2）请直接写出当 AP 为何值时，四边形 PMEN 是菱形； （3）四边形 PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由． 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明． （2）当 DP ＝CP 时，四边形 PMEN 是菱形，P 是 AB 的中点，所以可求出AP 的值． （3）四边形 PMEN 是矩形的话， ∠DPC 必需为 90° , 判断一下△DPC 是不是直角三角形就行． 【解答】解：（1） ∵M、N、E 分别是 PD 、PC、CD 的中点， ∴ME ，NE 是△PDC 的中位线， ∴ME∥PC，EN∥PD， ∴四边形 PMEN 是平行四边形； （2）当 AP ＝5 时， 在 Rt△PAD 和 Rt△PBC 中， AP = BP <A = <B， AD = BC ∴△PAD≌△PBC， ∴PD＝PC， ∵M、N、E 分别是 PD 、PC、CD 的中点， ∴NE＝PM= PD，ME＝PN= PC， ∴PM＝ME＝EN＝PN， ∴四边形 PMEN 是菱形； （3）四边形 PMEN 可能是矩形． 若四边形 PMEN 是矩形，则∠DPC ＝90° 设 PA＝x ，PB ＝10 - x， DP= 16 + x2 ，CP= 16 + (10 — x)2． DP2+CP2＝DC2 16+x2+16+（10 - x）2 ＝102 x2 - 10x+16 ＝0 x ＝2 或 x ＝8． 故当 AP ＝2 或 AP ＝8 时，四边形 PMEN 是矩形． 【点评】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四 个角都是直角，对边相等等性质． 22 ．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是正方形，顶点A（7 ，0），点 D 和 E 分别在正 方形边 OC，OA 上，且 OD ＝OE ＝4 ，直线 DE 与直线 OB 交于点 H，平行于y 轴的直线 1 ，从y 轴出 发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 方向移动，与线段 AB 重合时停止，设运动时间为 t 秒，平移 过程中，直线 l 与直线 OB 交于点 M、与直线 DE 交于点 N． (Ⅰ) 求直线 DE 的解析式和点 H 的坐标． (Ⅱ) 当点 M 在点 N 上方时，记线段 MN的长度为 L； ①如图 1 ，求 L 与 t 的函数关系式，并写出此时 t 的取值范围； ②如图 2 ，以 MN 为直角边向右作等腰直角△MNP ，当点 P 恰好落在正方形的边 AB 上时，求 t 值？ 直接写出 t 在什么范围变化时，等腰直角△MNP 与△ABO 重叠部分为矩形？ (Ⅲ) 如图 3 ，当 M 在点 N 下方时，以 NM 为边向右作等边△NMQ ，等边△NMQ 与△ABO 重叠部分 的面积记为 S．填空：当 N、M 恰好是 DH、OH 中点时，S 的值 2 3 —3 ． 【分析】（1）利用待定系数法求出直线 DE 的解析式为：y ＝ - x+4 ，同理可得直线 OB 的解析式为：y =x ，联立可得 H（2 ，2）； 保密★启用前 【八年级数学试卷 ·参考答案 第 6 页 共 8 页】 学科网（北京）股份有限公司 （2）①结合运动的特点，设 M（t ，t），N（t ， - t+4），t≤7 ，问题即可作答；②先表示出 MP＝xP - xM =7 - t ，结合 MN＝MP 可得 7 - t ＝2t - 4 ，则有t = ，点 P 恰好落在正方形的边 AB 上时，t = ；当 点 A 在△MNP 内部（含斜边 NP）时，等腰直角△MNP 与△ABO 重叠部分为矩形，将直线 OB 向下平 移 7 个单位时即与 PN 所在直线重合，即有直线 PN 的解析式为：y＝x - 7 ，联立可得N ( ， — ) ，问 题得解； （3）设 NQ 交 OB 于点 S，利用中点坐标公式可得 N（1 ，3），M（1 ，1），即有 MN＝2 ，过点 Q 作 QT⊥MN 于点 T，过点 M 作 MR⊥NQ 于点 R，可得NT = TM = MN = 1，TQ = MR = 3，进而可得Q(1 + 3 , 2) ，则直线 NQ 的解析式为：y = — x + 3 + 联立可得S (4 — 3 ，4 — 3) ，问题随之得解． 【解答】解：（1） ∵四边形 OABC 是正方形，顶点A（7 ，0）， ∴B（7 ，7），C（0 ，7）， ∵OD ＝OE ＝4， ∴D（0 ，4），E（4 ，0）， 设直线 DE 的解析式为：y ＝kx+b， ( ∴ 0 ) ( 4 )= 4k + b = b ， 解得：b (k) 4 (—) 1， ∴直线 DE 的解析式为：y ＝ - x+4， 同理可得：直线 OB 的解析式为：y＝x， ( y = x )联立：y = — x + 4， 解得：y (x) 2 (2)， ∴H（2 ，2）， 即直线 DE 的解析式为：y ＝ - x+4 ，H（2 ，2）； （2）①∵MN∥y 轴，直线 l 与直线 OB 交于点 M、与直线 DE 交于点 N， 结合运动的特点，设 M（t ，t），N（t ， - t+4），t≤7， ∵点 M 在点 N 上方， ∴L ＝t - （ - t+4）＝2t - 4 ，且点 M 在点 H 的右侧， ∴t＞2， 即：L ＝2t - 4 ，2＜t≤7； ②如图， ∵点 P 恰好落在正方形的边 AB 上， ∴xP＝xA ＝7， ∵M（t ，t）， ∴MP＝xP - xM ＝7 - t， ∴结合图形可知，在等腰直角△MNP 中，MN＝MP ， ∠PMN＝90° , ∴7 - t ＝2t - 4， 解得：t = ， ∴点 P 恰好落在正方形的边 AB 上时，t = ； ∵MN∥y 轴， ∠PMN＝90° , ∴MN⊥x 轴，MP∥x 轴，MP⊥y 轴， ∵在等腰直角△MNP 中，MN＝MP ， ∠PMN＝90° , ∴ ∠MPN= ∠MNP ＝45° , 结合正方形的性质有： ∠BOA ＝45° , 又∵MP∥x 轴， ∴ ∠BOA = ∠BMP ＝45° , ∴ ∠MPN= ∠BMP ＝45° , ∴PN∥OB， 如图， ∵MN⊥x 轴，MP⊥y 轴， ∠OAB = ∠PMN＝90° , ∴当点 A 在△MNP 内部（含斜边 NP）时，等腰直角△MNP 与△ABO 重叠部分为矩形， 即随之直线MN 向边AB 靠拢时，当等腰直角△MNP 的斜边NP 经过点A 时，等腰直角△MNP 与△ABO 重叠部分开始为矩形， ∵PN∥OB ，直线 OB 的解析式为：y＝x，A（7 ，0），B（7 ，7）， ∴将直线 OB 向下平移 7 个单位时即与 PN 所在直线重合， ∴直线 PN 的解析式为：y＝x - 7， ( 联立： y ) ( y )= — x + 4 = x — 7 ， 解得 ∴N ( ， — )， ∴ 当≤ t ＜7 时，等腰直角△MNP 与△ABO 重叠部分为矩形； （3）如图，设 NQ 交 OB 于点 S， 【八年级数学试卷 ·参考答案 第 7 页 共 8 页】 学科网（北京）股份有限公司 ∵H（2 ，2），D（0 ，4），O（0 ，0），N、M 恰好是 DH、OH 中点， ∴N（1 ，3），M（1 ，1）， ∴MN＝2 ，即 MN＝MQ ＝QN＝2， 如图，过点 Q 作 QT⊥MN 于点 T，过点 M 作 MR⊥NQ 于点 R， 在等边△MNQ 中，MN＝MQ ＝QN＝2 ，QT⊥MN， ∴TQ = MR = 3， ∵N（1 ，3），M（1 ，1），NT＝1 ，TQ = 3， ∴Q(1 + 3 ，2)， 按照求解 DE 解析式的方法可得直线 NQ 的解析式为： 联立 解得 ∴S (4 — 3 ，4 — 3)， ∵Q(1 + 3 ，2)， ∴等边△NMQ 与△ABO 重叠部分的面积为 故答案为：2 3 — 3． 【点评】本题是一道一次函数的综合题，考查了正方形的性质，线段的平移，勾股定理，等边三角形 的性质，矩形的性质，中点坐标公式以及待定系数法等知识，问题的难点在于弄清楚直线平移时的临 界点． 【八年级数学试卷 ·参考答案 第 8 页 共 8 页】 学科网（北京）股份有限公司 $$