专题03 有理数的运算九大题型专项训练（压轴题专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题03 有理数的运算九大题型专项训练 目录 1 类型一、有理数的加法运算 1 类型二、有理数的减法运算 2 类型三、有理数的加减法运算 3 类型四、有理数的乘法运算 4 类型五、有理数的除法运算 5 类型六、有理数的乘除法运算 7 类型七、有理数的加减乘除混合运算 8 类型八、含乘方的有理数混合运算 10 类型九、新定义我问题 11 13 类型一、有理数的加法运算 有理数加法运算法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3）互为相反数的两个数相加和为0. 4）一个数与0相加，仍得这个数. 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：． 2．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）已知，且，求的相反数． 3．（21-22七年级上·安徽六安·开学考试）计算： 4．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 5．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 类型二、有理数的减法运算 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 6．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 7．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 8．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算 (1) (2) 9．（24-25七年级上·河南周口·期中）已知，，回答下列问题： (1)由，，可得____________，____________； (2)若，求的值． 10．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）七（）班数学学习兴趣小组按照苏科版数学课本七年级上册第章“数学探究”《算“”》中的方法玩算“”游戏，即一副扑克牌（去掉“大王”、“小王”）中任意抽张，根据牌面上的数字进行加、减、乘、除、乘方的混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为．其中分别代表，并规定黑桃、梅花为正数，红桃、方块为负数．若某一次游戏中抽到的张牌分别是黑桃、方块、梅花、红桃，请你列出算得的三个不同式子： (1)______； (2)______； (3)______． 类型三、有理数的加减法运算 有理数的加减法混合运算的运算步骤： 1）将减法转化成加法运算； 2）把算式写成省略加号和括号的和的形式； 3）按有理数加法法则计算，并适当运用加法交换律和结合律简化运算. 11．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）阅读材料： ，，，， 根据以上规律，解决下列问题： (1)______=______； (2)计算：； (3)计算：． 12．（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 13．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）计算： 14．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）观察下列等式：将以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想并写出： (2)计算： (3)探究并计算： 15．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当时，，当时，，根据以上内容完成下面的问题： (1)_________； (2)__________； (3)如果有理数，则__________； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：． 类型四、有理数的乘法运算 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知表示的相反数，表示的绝对值，表示的立方，表示的值． (1)直接写出________，________，________，________； (2)计算中所有负数的乘积． 17．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）计算： (1)； (2)． 18．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题． 计算：，看谁算得又快又对． 请你利用简便方法计算． 19．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 20．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）用简便方法计算： (1)． (2)． 类型五、有理数的除法运算 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b = a×（b≠0）. 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 21．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为，所以． (1)填空：小明的解答方法______（填“正确”或“错误”），依据是一个数的倒数的______等于原数； (2)请你运用小明的解法解答下面的问题． 计算：． 22．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，， (1)若，求的值； (2)若，求． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 24．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 25．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）已知、互为倒数，、互为相反数（、不为0），，根据已知条件请回答： (1)_____，_____，_____，_____； (2)求的值． 类型六、有理数的乘除法运算 运算步骤：(1)将小数化为分数，带分数化为假分数，将所有的除法化为乘法. (2)根据负因数的个数确定积的符号. (3)利用乘法运算律简化运算，并求出最后结果. 26．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2)请写出正确的结果________． 27．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算： (1)； (2)． 28．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 29．（22-23七年级上·广西南宁·阶段练习）阅读下列解题过程： 计算 解：原式         第①步                          第②步                                  第③步 (1)上面的解题过程在第___________步出现错误；错误原因是___________． (2)请写出正确的解题过程． 30．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 类型七、有理数的加减乘除混合运算 运算顺序：如果无括号，那么要按照“先乘除，后加减”的顺序进行计算；如果有括号，要先计算括号里面的，再算括号外面的；同一级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并要合理运用运算律简化运算. 31．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）计算下列各题 (1) (2) 32．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）计算与解释． 小杨同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ 根据小杨同学的计算过程，回答下列问题： (1)他的计算过程是否正确？__________（填写“正确”或“错误”）； (2)如有错误，他在第__________步出错了（只填写序号），并请写出正确的解答过程． 33．（23-24七年级上·宁夏银川·期中）观察下列各式： ；；；；…． (1)用你发现的规律填写下列式子的结果：； (2)用你发现的规律计算：． 34．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）阅读下面的文字，完成解答过程． (1)，，，挍照等号右边的形式直接写出结果：______． (2)尝试并计算：； (3)根据上述方法计算：； (4)[拓展]观察：，，， 计算：； 35．（23-24七年级上·北京房山·期中）小李同学在“智慧中小学”学习平台上看到这样一个问题的解答： 练一练 计算： 解法1：   原式 解法2： 原式      解法3：原式 所以 根据你对上题解法的理解，选择一种合适的方法计算：． 类型八、含乘方的有理数混合运算 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 36．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘以2得： ， 将下式减去上式得， 即， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 37．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： (1) (2) 38．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）计算： (1) (2) 39．（2025·安徽合肥·一模）【问题呈现】我们知道，，那么如何求的值？ 【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系： 【归纳猜想】 （1）______． （2）______． 【拓展应用】 （3）求的值． 40．（2025·安徽宣城·一模）观察下列等式： ； ； ； ； …… 根据上述规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出第个等式：____________________；并求出的值． 类型九、新定义我问题 41．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）定义一种新运算“f”：表示n在运算f作用下的结果．若表示n在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，……根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 42．（23-24七年级上·广东深圳·期中）综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)【发现】归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________． (2)【实践】计算：________． (3)【提升】是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 43．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）已知a，b均为有理数，现我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 44．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）对于有理数a，b，定义新运算“☆”，规则如下：，例如：． (1)求的值； (2)请你判断交换律在“☆”运算中是否成立?并说明理由． 45．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义新运算“”：对于任意的有理数 a 和 b ，． (1)分别求出 ，的值； (2)若，求代数式 的值； (3)若 ，且的运算结果与n 的 取值无关，求 m 的值及的值． 1．（2025·安徽芜湖·模拟预测）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 3．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． (1)请写出第5个等式：________________________； (2)写出第n个等式：________________________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读材料】 当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作； 把3个相同的有理数x的除法运算记作； 把4个相同的有理数x的除法运算记作； …． 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则______； (2)计算：； (3)计算：． 5．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）观察如图，解答下列问题 (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈，如果要你继续画下去，那么第八层有_______个小圆圈，第层有_______个小圆圈； (2)某一层上有65个圆圈，这是第________层； (3)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为或， 由此得，． 同样，由前三层的圆圈个数和得：； 由前四层的圆圈个数和得：； 由前五层的圆圈个数和得：； … 根据上述请你写出前层的圆圈个数和的表达式； (4)计算：的和； (5)计算：的和． 6．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）新定义一种运算“”，对于任意两个不相等的有理数a，b，其运算法则为 (1)求的值． (2)请举具体的实例计算说明，在什么条件下，？ 7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知a，b为有理数，现规定一种新的运算符号，定义．例如：，请根据符号的意义解答下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值； (3)若，，试判断m、n的大小，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 有理数的运算九大题型专项训练 目录 1 类型一、有理数的加法运算 1 类型二、有理数的减法运算 5 类型三、有理数的加减法运算 8 类型四、有理数的乘法运算 13 类型五、有理数的除法运算 16 类型六、有理数的乘除法运算 22 类型七、有理数的加减乘除混合运算 26 类型八、含乘方的有理数混合运算 31 类型九、新定义我问题 36 42 类型一、有理数的加法运算 有理数加法运算法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3）互为相反数的两个数相加和为0. 4）一个数与0相加，仍得这个数. 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：． 【答案】1 【分析】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式1、3项结合，2、4项结合，计算即可得到结果． 【详解】解： ． 2．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）已知，且，求的相反数． 【答案】或3 【分析】根据绝对值的性质，偶次方的性质可得a和b的值，再进一步可得的值，最后求出其相反数即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以或． 因为， 所以． 所以或． 因为，所以异号， 所以或． 当时，； 当时，． 故的相反数为或3． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，非负数的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 3．（21-22七年级上·安徽六安·开学考试）计算： 【答案】 【分析】观察算式可发现，，……，将算式展开，消去中间项即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的运算，观察算式得出算式中的规律是解题的关键． 4．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1） ， ； （2） ， ． 5．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法法则和运算律的运用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． （2）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型二、有理数的减法运算 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 6．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8； (2)0； (3)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算； （2）根据有理数的减法运算法则计算； （3）根据有理数的减法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 7．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 8．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1.5 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先化简绝对值，再计算减法即可； （2）先去括号，再计算加减即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 9．（24-25七年级上·河南周口·期中）已知，，回答下列问题： (1)由，，可得____________，____________； (2)若，求的值． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】（）根据绝对值的意义即可求解； （）由（）得：，，根据确定出与的值，即可求出的值； 此题考查了有理数的减法及绝对值，正确理解绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（）得：，， ∵， ∴， 当，时，； 当，时，； 综上，或． 10．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）七（）班数学学习兴趣小组按照苏科版数学课本七年级上册第章“数学探究”《算“”》中的方法玩算“”游戏，即一副扑克牌（去掉“大王”、“小王”）中任意抽张，根据牌面上的数字进行加、减、乘、除、乘方的混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为．其中分别代表，并规定黑桃、梅花为正数，红桃、方块为负数．若某一次游戏中抽到的张牌分别是黑桃、方块、梅花、红桃，请你列出算得的三个不同式子： (1)______； (2)______； (3)______． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据题意列出算式，然后根据运算法则即可求解； （）根据题意列出算式，然后根据运算法则即可求解； （）根据题意列出算式，然后根据运算法则即可求解； 本题考查了有理数的四则混合运算，理解题意，正确的列出运算式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得黑桃、方块、梅花、红桃代表的数字分别为：，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得黑桃、方块、梅花、红桃代表的数字分别为：，，，， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意得黑桃、方块、梅花、红桃代表的数字分别为：，，，， ∴， 故答案为：． 类型三、有理数的加减法运算 有理数的加减法混合运算的运算步骤： 1）将减法转化成加法运算； 2）把算式写成省略加号和括号的和的形式； 3）按有理数加法法则计算，并适当运用加法交换律和结合律简化运算. 11．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）阅读材料： ，，，， 根据以上规律，解决下列问题： (1)______=______； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及绝对值的意义．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． （1）根据材料中的规律写出答案即可； （2）根据规律去绝对值符号，再利用有理数的减法法则计算即可； （3）根据规律去绝对值符号，再利用有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 12．（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算；把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 【详解】解：原式 ． 13．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和有理数的加减混合运算．根据绝对值的性质和有理数的加减混合运算进行求解即可． 【详解】解： ． 14．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）观察下列等式：将以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想并写出： (2)计算： (3)探究并计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题是数字类规律题，有理数的混合运算，理解题意，找到规律是解题的关键． （1）观察等式，找到规律，即可求解； （2）根据（1）猜想的结果，将每个加数分解后再合并，即可得到结果； （3）与（2）相比，每个加数的分母中的两个数都扩大了2倍，所以将每个加数都提出，再按照（2）的方法分解即可得到答案． 【详解】（1）解：观察等式，猜想， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：． （3）解： ． 15．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当时，，当时，，根据以上内容完成下面的问题： (1)_________； (2)__________； (3)如果有理数，则__________； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】此题考查了求一个数的绝对值，有理数的加减法，熟练掌握计算法则是解题的关键， （1）根据绝对值的意义计算即可； （2）根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可； （3）根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可； （4）分别化简绝对值，再计算加减法． 【详解】（1）解：， 故答案为2； （2）解：， 故答案为； （3）解：∵， ∴， ∴， 故答案为； （4）解： ． 类型四、有理数的乘法运算 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知表示的相反数，表示的绝对值，表示的立方，表示的值． (1)直接写出________，________，________，________； (2)计算中所有负数的乘积． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，相反数、立方、化简多重符号，绝对值，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据相反数、立方、化简多重符号，绝对值即可求解． （2）由上可知中负数有，，根据有理数的乘法计算，可得答案． 【详解】（1）解：∵的相反数为， ∴， ∵的绝对值为， ∴， ∵的立方， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，，． （2）解：∵中负数有，， ∴它们的乘积为， ∴中所有负数的乘积为． 17．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题． 计算：，看谁算得又快又对． 请你利用简便方法计算． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用．把转化为，再利用乘法分配律简便计算即可求解． 【详解】解： ． 19．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案； （2）现将化为，再根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）除法转化成乘法，再根据乘法分配律计算； （2）逆用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型五、有理数的除法运算 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b = a×（b≠0）. 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 21．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为，所以． (1)填空：小明的解答方法______（填“正确”或“错误”），依据是一个数的倒数的______等于原数； (2)请你运用小明的解法解答下面的问题． 计算：． 【答案】(1)正确，倒数 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，乘法分配律： （1）根据一个数的倒数的倒数等于原数即可得到结论； （2）先仿照题意计算出，再把计算的结果取倒数即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，小明的解答方法正确，依据是一个数的倒数的倒数等于原数， 故答案为：正确，倒数； （2）解：， ∴ 22．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，， (1)若，求的值； (2)若，求． 【答案】(1)或． (2)或 【分析】本题考查了求一个数的绝对值和有理数的加减法，能够根据题意得出与的值是解题的关键． （1）根据，得出，再进行计算即可； （2）根据，得出与异号，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ，， 若， 当时， 当时． 故或． （2）∵， 当时， 当时， 故或； 【点睛】本题考查有理数的加减法，能够根据题意得出与的值是解题的关键． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，掌握运算法则是解题的关键． （）先算乘法，然后根据加法结合律进行同分母运算，最后算加法即可； （）先算括号内的除法，再算加法，最后算减法即可； （）根据加法结合律进行同分母运算，最后算减法即可； （）分别算括号内的加法，乘法和减法，最后算除法即可； （）先算乘法，然后通过乘法分配律进行简便计算即可； （）先算括号内的加法，最后算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 24．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 25．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）已知、互为倒数，、互为相反数（、不为0），，根据已知条件请回答： (1)_____，_____，_____，_____； (2)求的值． 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】本题考查了倒数、相反数、绝对值，有理数除法，代数式求值，掌握相关定义和运算法则是解题关键． （1）根据倒数、相反数、绝对值以及有理数除法法则求解即可； （2）将（1）所得式子值代入计算即可． 【详解】（1）解：、互为倒数，、互为相反数（、不为0），， ，，， ， ， 故答案为：，，，； （2）解： ， ． 类型六、有理数的乘除法运算 运算步骤：(1)将小数化为分数，带分数化为假分数，将所有的除法化为乘法. (2)根据负因数的个数确定积的符号. (3)利用乘法运算律简化运算，并求出最后结果. 26．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2)请写出正确的结果________． 【答案】(1)二，运算顺序错误或者（先算了乘法）；三，两数相除同号得正，异号得负并把绝对值相除或者（有理数除法法则） (2)或 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算， 对于（1），观察计算步骤，可知要按照顺序计算有理数的乘除法判断第一步，再根据有理数的除法法则计算判断第二步； 对于（2），先计算括号内的，再根据运算顺序计算有理数的乘除法． 【详解】（1）第一处是第二步，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，并把绝对值相除； 故答案为：二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，并把绝对值相除； （2） ． 27．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序，正确求解是解答的关键． （1）根据先括号和乘方、再乘除，最后加减运算的顺序求解即可； （2）先将除法运算转化为乘法运算，再利用乘法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则，即可解答； （2）利用乘法分配律，即可解答； （3）按从左往右的顺序计算，即可解答； （4）利用加法交换律，进行简便运算． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：, , , ． 29．（22-23七年级上·广西南宁·阶段练习）阅读下列解题过程： 计算 解：原式         第①步                          第②步                                  第③步 (1)上面的解题过程在第___________步出现错误；错误原因是___________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)②，运算顺序错误 (2)见解析 【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以发现哪几步出错了； （2）先算括号内的式子，然后计算除法和乘法即可． 【详解】（1）解：解题过程在第②步出现错误；错误原因是运算顺序错误． 故答案为：②，运算顺序错误； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 30．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 类型七、有理数的加减乘除混合运算 运算顺序：如果无括号，那么要按照“先乘除，后加减”的顺序进行计算；如果有括号，要先计算括号里面的，再算括号外面的；同一级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并要合理运用运算律简化运算. 31．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)56 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘除，最后计算减法即可； （2）利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）计算与解释． 小杨同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ 根据小杨同学的计算过程，回答下列问题： (1)他的计算过程是否正确？__________（填写“正确”或“错误”）； (2)如有错误，他在第__________步出错了（只填写序号），并请写出正确的解答过程． 【答案】(1)错误 (2)①；解答过程见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据小杨的解答过程，可知他的计算错误； （2）根据小杨的解答过程，可以发现他在第①步出错了，然后先算括号内的式子，再算乘除法，最后算加法即可解答本题． 【详解】（1）解：由小杨的解答过程可知，他的计算过程是错误的， 故答案为：错误； （2）解：由小杨的解答过程可知，他在第①步出错了， 正确解答过程： 解：原式 ． 故答案为：①． 33．（23-24七年级上·宁夏银川·期中）观察下列各式： ；；；；…． (1)用你发现的规律填写下列式子的结果：； (2)用你发现的规律计算：． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了有理数乘法的规律探究，关键找到规律写出分数相乘的形式． （1）根据等式规律写出分数相乘的形式计算结果． （2）按规律写出分数相乘形式，再根据分数乘法进行约分求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 34．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）阅读下面的文字，完成解答过程． (1)，，，挍照等号右边的形式直接写出结果：______． (2)尝试并计算：； (3)根据上述方法计算：； (4)[拓展]观察：，，， 计算：； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算， （1）分析所给的等式的形式，从而可求解即可； （2）利用所给的式子的形式，把各项进行拆项，从而可求解； （3）仿照所给的式子的形式进行求解即可； （4）根据所给的式子的形式进行求解即可．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】（1）由题意得：， 故答案为：； （2） ； （3） ； （4） ． 35．（23-24七年级上·北京房山·期中）小李同学在“智慧中小学”学习平台上看到这样一个问题的解答： 练一练 计算： 解法1：   原式 解法2： 原式      解法3：原式 所以 根据你对上题解法的理解，选择一种合适的方法计算：． 【答案】 【分析】根据题干给定的三种方法，选择一种方法进行求解即可． 【详解】解：解法一：原式 ； 解法二： 原式 ； 解法三： ； ∴． 类型八、含乘方的有理数混合运算 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 36．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘以2得： ， 将下式减去上式得， 即， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方以及有理数的混合运算，数式规律问题的有关知识，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值； （2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以2得， 将下式减去上式得：，即， ； （2）解：设， 两边乘以3得：， 下式减去上式得：， 即， ． 37．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘除混合运算进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 38．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （2）先算乘方，再根据乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．（2025·安徽合肥·一模）【问题呈现】我们知道，，那么如何求的值？ 【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系： 【归纳猜想】 （1）______． （2）______． 【拓展应用】 （3）求的值． 【答案】（1）225；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及规律型：图形的变化类，得出规律并运用规律解决实际问题是解本题的关键． （1）根据前四个图直接推出结论，即可； （2）由（1）发现规律可得，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ， ； 故答案为： 225 （2）解：由（1）发现： ； （2）解： ． 40．（2025·安徽宣城·一模）观察下列等式： ； ； ； ； …… 根据上述规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出第个等式：____________________；并求出的值． 【答案】(1) (2)；2025 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类，难度适中，注意找等式的规律时，要注意观察等式的左边和右边的规律，还要注意观察等式的左右两边之间的关系． （1）根据题意材料即可得出第5个等式即可； （2）根据题意材料即可得出第n个等式即可；根据得出的一般等式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； …… ∴第5个等式为： ； （2）解：∵； ； ； ； …… ∴第n个等式为： ； 当时， ． 类型九、新定义我问题 41．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）定义一种新运算“f”：表示n在运算f作用下的结果．若表示n在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，……根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1)39 (2) 【分析】本题考查了数字规律类探索及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． （1）根据新运算，令即可求得的值； （2）利用新运算可分别求得的值，代入即可求解； 【详解】（1）解：当时，； （2）解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ． 42．（23-24七年级上·广东深圳·期中）综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)【发现】归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________． (2)【实践】计算：________． (3)【提升】是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； (2)17 (3)， 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． （1）首先根据运算的运算法则进行运算的算式，归纳出运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行 运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． （2）根据（1）中总结出的运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2） ． 故答案为：17 （3）， ，， 解得，． 43．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）已知a，b均为有理数，现我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据，可以求得所求式子的值； （2）根据，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意可得， ． 44．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）对于有理数a，b，定义新运算“☆”，规则如下：，例如：． (1)求的值； (2)请你判断交换律在“☆”运算中是否成立?并说明理由． 【答案】(1) (2)交换律在“☆”运算中成立，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据，可以计算出所求式子的值； （2）先判断，然后根据，可以得到，即可说明判断的正确性． 【详解】（1）解：， ； （2）解：交换律在“☆”运算中成立， 理由：由题意可得，，， ， 交换律在“☆”运算中成立． 45．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义新运算“”：对于任意的有理数 a 和 b ，． (1)分别求出 ，的值； (2)若，求代数式 的值； (3)若 ，且的运算结果与n 的 取值无关，求 m 的值及的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的加减，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算得到，再将代数式去括号合并化简后，将整体代入计算即可解答； （3）根据定义的新运算列出的式子，代入已知数据利用整式加减法则化简，根据的运算结果与n 的 取值无关，先求出的值，然后代入m的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：∵， ∴，即， ∵ ； ∴原式； （3）解： ； ∵ ， ∴ ； ∵的运算结果与n 的 取值无关， ∴中， 解得：， ∴的值为． 1．（2025·安徽芜湖·模拟预测）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题z主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每操作一次，等边三角形的个数增加4，据此进行作答即可； （2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答；②运用①中的结论进行解答即可； （3）先提取，然后运用（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 操作1次，共得到的等边三角形个数为：； 操作2次，共得到的等边三角形个数为：； 操作3次，共得到的等边三角形个数为：； 操作4次，共得到的等边三角形个数为：； 故答案为：． （2）解：①∵原等边三角形的边长为1， ∴操作1次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作2次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作3次所得的小等边三角形的边长为：； …， ∴第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； ②由①题可知： ； 令①， 则②， 得： ， 即． 故答案为：． （3）解： 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加法运算律，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）用提供提供的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． (1)请写出第5个等式：________________________； (2)写出第n个等式：________________________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键． （1）根据规律计算即可求解； （2）根据规律总结归纳即可求解； （3）先将乘法化为加法，再结合分配律进行简便运算即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：归纳可得：第n个等式：， 故答案为：； （3）解： ． ； 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读材料】 当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作； 把3个相同的有理数x的除法运算记作； 把4个相同的有理数x的除法运算记作； …． 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则______； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的除法新运算，有理数的乘除混合运算，理解新运算是解题的关键． （1）根据运算的定义即可得到答案； （2）根据运算的定义计算即可得到答案； （3）根据运算的定义和有理数的运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：； （3）解：原式 ， ， ． 5．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）观察如图，解答下列问题 (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈，如果要你继续画下去，那么第八层有_______个小圆圈，第层有_______个小圆圈； (2)某一层上有65个圆圈，这是第________层； (3)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为或， 由此得，． 同样，由前三层的圆圈个数和得：； 由前四层的圆圈个数和得：； 由前五层的圆圈个数和得：； … 根据上述请你写出前层的圆圈个数和的表达式； (4)计算：的和； (5)计算：的和． 【答案】(1)15， (2)33 (3) (4)1000000 (5)22121 【分析】本题考查图形类规律探究、数字类规律探究、有理数的混合运算，找到变化规律是解答的关键． （1）根据前几层的圆圈个数得到规律，进而可求解； （2）由求解即可； （3）根据前几个等式的变化规律可得结论； （4）由（3）中规律，先求出n值，进而可求解； （5）由（4）中求法，利用已知数据求解即可． 【详解】（1）解：由题意，第一层有个小圆圈， 第二层有个圆圈， 第三层有个圆圈， …， 第六层有个圆圈， 依此类推， 第八层有个圆圈， 第n层有个圆圈， 故答案为：15，； （2）解：由得， 故第33层有65个圆圈， 故答案为：33； （3）解：前两层的圆圈个数和为或，即； 同样，由前三层的圆圈个数和得：； 由前四层的圆圈个数和得：； 由前五层的圆圈个数和得：； … 依此类推， 前层的圆圈个数和的表达式为； （4）解：由得， ∴ ； （5）解：由得， ∴ ． 6．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）新定义一种运算“”，对于任意两个不相等的有理数a，b，其运算法则为 (1)求的值． (2)请举具体的实例计算说明，在什么条件下，？ 【答案】(1) (2)，和， 【分析】本题考查新定义运算，有理数的加减运算，理解“”的运算法则是解题的关键． （1）根据“”的运算法则计算即可； （2）分别列举实例，再推广到一般情况，分和两种情况，令即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：令，， 则，，两者相等， 即当时，，， 若，则， 解得，； 令，， 则，，两者相等， 即当时，，， 若，则， 解得，； 综上可知，当，和，两种条件下，． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知a，b为有理数，现规定一种新的运算符号，定义．例如：，请根据符号的意义解答下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值； (3)若，，试判断m、n的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（）根据新定义运算计算即可； （）根据新定义运算列出方程即可求解； （）根据新定义运算表示出，再利用作差法解答即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，整式的加减，解一元一次方程，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴， 解得； （3）解：，理由如下： ∵ ， ， ∴ ， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$