专题04 二次函数的整点，顶点，定值及图形变换类问题（压轴题专项训练）数学沪科版九年级上册

专题04 二次函数的整点，定点，定值及图形变换类问题 目录 2 类型一、与二次函数有关的整点问题 2 类型二、与二次函数有关的定点问题 9 类型三、与二次函数有关的定值问题 18 类型四、二次函数的平移变换 27 类型五、二次函数的旋转变换 36 类型六、二次函数的翻折变化 46 类型七、二次函数的对称变换 57 64 类型一、与二次函数有关的整点问题 1．（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生）在坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，试在二次函数的图像上找出满足的所有整点． 【答案】，，，，， 【分析】根据题意及不等式的性质可得，再根据绝对值的性质分类讨论，①当时；②当时；根据因式分解法解一元二次方程，再根据不等式的性质求出的取值范围，最后代入二次函数计算即可求解． 【详解】解：由已知，，，即，整理得，， ∴①当时，，整理得，， ∴， ∴代入二次函数， 当时，， ∴，即； 同理，符合条件的整数点有个，分别为：，，，； ②当时，，整理得，，即， ∴， ∴代入二次函数，符合条件的整数点有个，分别为，； ∴满足条件的整点一共有个，即，，，，，． 【点睛】本题主要考查二次函数定义新运算，因式分解法解一元二次方程，求不等式的解集等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数． (1)若点，都在二次函数的图象上，试比较的大小； (2)若当时，函数的图象与x轴只有一个交点，求m的取值范围； (3)平移二次函数的图象，使其顶点与原点重合，得到二次函数L，若直线与二次函数L的图象所围成的封闭图形内部（不包含边界）只有6个整点（横坐标与纵坐标均为整数的点），直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）分别将点，代入，然后作差比较即可； （2）由题意得，然后可令，，可得直线过定点，问题化为当时，直线与抛物线只有一个公共点，则，解得（舍去），．当时，，求得．当时，，求得，那么即可求解取值范围； （3）平移后的二次函数，可得过定点，然后找出临界点，分类讨论，画图求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴可令，． ∵， ∴直线过定点． ∵当时，关于的方程只有一个实数根， ∴当时，直线与抛物线只有一个公共点，如图1， ∴， 解得（舍去），． 当时，， 则， ∴． 当时，， 则， ∴． 综上，或． （3）解：∵平移二次函数的图象，使其顶点与原点重合， ∴平移后的二次函数． ∵过定点． 当直线经过点时， ∴，此时有2个整点，如图： 当直线经过点时，则 ∴，此时有6个整点，如图： 当直线经过点时，则 ∴，此时有6个以上整点，如图： 当直线经过点时，则 ∴，此时有5个整点，如图： ∵封闭图形内部（不包含边界）只有6个整点， ∴． 3．（2023·安徽合肥·二模）如图，直线和直线分别与轴交于点，点，顶点为的抛物线与轴的右交点为点． (1)若，求的值和抛物线的对称轴； (2)当点在下方时，求顶点与距离的最大值； (3)在和所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出时“整点”的个数． 【答案】(1)，对称轴 (2)1 (3)4048个 【分析】（1）先求得，根据即可得出，然后确定抛物线的对称轴即可； （2）设点与的距离为，求出与的函数关系式，即可确定顶点与距离的最大值； （3）求出抛物线与直线的交点，在其范围内，根据抛物线解析式和直线解析式的特点确定“整点”的个数． 【详解】（1）解：当时，可有， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为； （2）设点与的距离为， ∵抛物线， ∴的顶点， ∵点在下方， ∴与的距离为， ∴当时，点与距离的最大值为1； （3）当时，抛物线解析式， 直线解析式， 联立上述两个解析式，得，， ∴抛物线与直线的交点为和， ∴每一个整数的值都对应一个整数值，且和2023之间（包括和2023）共有2025个整数， ∵所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有2025个整数点， ∴总计4050个点， ∵这两段图像交点有2个点重复， ∴ “整点”的个数：个． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了新定义“整点”、 坐标与图形、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． 4．（2024·河北石家庄·二模）在平面直角坐标系中，抛物线．我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”． (1)当时， ①求该抛物线的顶点坐标； ②求该抛物线与轴围成的图形边界上的整点数 (2)若该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）有4个整点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②，，，，，，， (2) 【分析】（1）①将二次函数配成顶点式，即可得到顶点坐标；②先求出该抛物线与轴的交点，确定x的范围后再进行计算即可求解； （2）结合图象确定有4个整数点时m的最大和最小值，进而确定m的范围． 【详解】（1）①当时， ， 抛物线顶点坐标为， ②当时， 抛物线与轴交点为和，顶点坐标为， 此时抛物线与轴边界有，，，，，，，八个整点； （2） 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当抛物线顶点为，即时， 抛物线与直线所围成的区域内（不含边界）有，，，四个整点，如图： 当抛物线顶点为，即时， 抛物线与直线所围成的区域内（不含边界）有一个整点： 结合图象可知，． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征，数形结合解题是解题的关键． 类型二、与二次函数有关的定点问题 【命题预测】函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图像会随着待定的系数的变化而变化，图像变化过程中,有时始终会经过某个固定的点. 定点问题常出现在各地考试中，难度中上，掌握好定点问题的本质即可快速解决. 解题方法（以一次函数定点问题为例）：将一次函数化成即经过的顶点坐标为（a，b）. 5．（2025·安徽安庆·一模）已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）． (1)求的值和的顶点坐标． (2)已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________； (3)当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式及顶点坐标，二次函数的性质，二次函数的平移，以及利用二次函数解决几何面积最值问题，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）解析式联立利用根的判别式确定交点的个数，整理解析式即可求解； （3）根据题意画出图形，利用函数解析式表示出顶点纵坐标，利用三角形面积公式列出关于的二次函数，根据顶点坐标求最值即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， ， 顶点坐标为； （2）解：联立得， 整理得 ∴两个图形一定有交点， 整理得 ∴当时，无论取何值， 由（1）得，的顶点坐标为， ∴与总交于一个定点的坐标为， 故答案为：； （3）解： 如图所示， 当时，抛物线， 平移之后顶点坐标为，即 ∴平移之后 ，此二次函数抛物线开口向下， 可求顶点横坐标为，， ∴顶点纵坐标为最大值 当时，代入二次函数得， ∴面积的最大值 6．（2025·安徽淮北·三模）定义：若一个函数图像上至少存在两个点关于y轴对称，则称该函数为“纵轴点对称函数”，对称点叫作“纵轴对称点”． (1)概念理解： ①请写出一个已学过的“纵轴点对称函数”：________； ②若函数是“纵轴点对称函数”，请写出它的“纵轴对称点”． (2)概念应用： ①一次函数是否为“纵轴点对称函数”？请说明理由； ②已知函数是“纵轴点对称函数”，与直线（，）交于点，，且．若经过定点，求点的坐标． 【答案】(1)①（答案不唯一）②和 (2)①不是，理由见解析② 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点坐标变换规律，二次函数与一次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用所学的知识是解题的关键． （1）①根据“纵轴对称点”的定义以及二次函数的性质，写出一个对称轴为轴的二次函数，即可求解； ②根据关于轴对称的点的坐标特征，设对称点为和，分别代入反比例函数和二次函数，求得的值，即可求解； （2）①设点、均在直线上，得出，则点和点为同一个点，即可判断不是“纵轴点对称函数”； ②若函数是“纵轴点对称函数”，则，得出，根据点，均为抛物线与直线的交点，得出、是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而可得当时，，即可得出定点的坐标． 【详解】（1）解：①根据“纵轴对称点”的定义以及二次函数的性质，对称轴为轴的二次函数，都符合题意， 故答案为：（答案不唯一）； ②设对称点为和，则，， ，解得， 当时，，所以纵坐标对称点坐标为和． （2）①不是，理由如下：设点、均在直线上， 则两式相减，得． ， ，此时点和点为同一个点， 故不是“纵轴点对称函数”； ②若函数是“纵轴点对称函数”，则， ． 当时，， 点，均为抛物线与直线的交点， 、是方程的两根， ，， ， ， ， ， 当时，， 点的坐标为． 7．（22-23九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图（1）所示，抛物线，经过，，三点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否一点，使得以，，的顶点的三角形与相似，如有请求出满足要求的所有点，如果没有，请说明理由． (3)如图（2）所示，点，为抛物线上的动点，满足，请证明直线必定通过一个定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设抛物线解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）假设，如图所示，易求得此时，不在抛物线上．同理当时也不在抛物线上，当时求得，符合要求． （3）设，，所以，；，．根据，得出，设的直线方程为：，代入P，Q的坐标有，得出的方程为，即可求解． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 抛物线过点代入得 解得： 所以抛物线解析式为：． （2）解：∵，， ∴， 当，则，即 ∴，过点作轴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设，则① 又∵ ∴② 联立①②解得：（负值舍去） ∴ 由，当时，，故，不在抛物线上 当时，则，即，如图所示，则 由，当时，，故，不在抛物线上 当时，则，即，如图所示， 同理可得 由，当时，，故，在抛物线上，符合要求． 综上满足要求的点为 （3）如图（3）所示，设，， 所以，；，． ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 设的直线方程为：，代入P，Q的坐标有 所以的方程为代入上式可得 当时恒等于4，所以总经过定点． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数求解析式，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定以及二次函数的性质是解题的关键． 8．（21-22九年级上·安徽安庆·期中）已知抛物线． (1)若该抛物线经过点，求的值； (2)不论取何实数，该函数总经过一个定点． ①求这个定点的坐标； ②证明：这个定点就是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）把点当代入中，进行计算即可得； （2）①，令，则，即可得； ②，可得顶点为，根据，得当时，纵坐标有最大值6，则此时，，即抛物线的顶点． 【详解】（1）解：把点当代入中，得 ， ， ， ； （2）解：①， 令，则， 故定点为； ②， ∴顶点为， ∵， ∴当时，纵坐标有最大值6， 此时，，即抛物线的顶点， 故定点是所有顶点中纵坐标的最大值的点． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法，二次函数的性质． 类型三、与二次函数有关的定值问题 【解题方法】二次函数中的定值问题常与几何知识综合考查，常见的有线段和(差)面积，比值等.利用二次函数求解这些几何线段所代表的代数式定值问题属于定量问题，一般采用参数计算法，即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)，设出参数，将要求的代数式用含参数的形式表示出来，消去参数后即得定值. 9．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】(1)对称轴是直线 (2)；， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再利用特殊值法即可求出系数的值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得， ，即， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：①由（1）可知，抛物线的解析式为． 又， 故． 因为抛物线过原点，且点A与原点不重合，所以． 于是， 故． ②由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，． 故，即． 于是． 依题意知，是与无关的定值． 则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． 所以，． 10．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，抛物线与x轴交于点O和点A，将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线．    (1)抛物线表达式为；_______； (2)点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q． ①若，求的值； ②试判断是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②为定值，这个定值为6． 【分析】（1）根据平移的性质，求出抛物线的解析式即可； （2）①求出点坐标，再求出直线的表达式，求出点坐标即可求解； ②过点P作轴，过点Q作轴于点Q，证明，得出，根据，，，，得出，求出． 【详解】（1）解：∵， ∴将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为： ； （2）解：把代入得，， 点， 令， 解得：， ∴点， 设直线的表达式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去），， 则； ②是定值；过点P作轴，过点Q作轴于点Q，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∵点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q， ∴点P的纵坐标为，点Q的纵坐标为， ∴，，，， ∴， ∴， 整理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 11．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，线段上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒． (1)直接填出两点的坐标：A： ，B： ； (2)如图，过点P作x轴的垂线交直线于点C，设以C为顶点的抛物线与直线的另一交点为D． ①用含t的代数式分别表示 ， ； ②随着点P运动，长是否为定值？若是，请求出长；若不是，说明理由； ③设的边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？ 【答案】(1) (2)①，；②为定值，；③ 【分析】本题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质等知识，根据已知得出相似三角形进而得出线段长度是解题关键． （1）在直线的解析式中，令，能得到点B的坐标；令，能得到点A的坐标． （2）①根据直线的解析式，用t表示出点C的坐标，而点C是抛物线的顶点，且抛物线的解析式已表示为顶点式，则m、n的值可求； ②根据过点D作于点E，得出，进而得出的长； ③要使边上的高的值最大，只要最短，当时，最短，此时的长为，，进而得出t的值． 【详解】（1）解：直线中，当时，，即； 当时，，即； ∴、． 故答案为： （2）解：①由题意，知：，则，而抛物线的顶点坐标为， ∴，； ②由①知：， 由， 解得：，， 过点D作于点E， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵、 ∴ ∴ ∴， ∴； ③∵，边上的高， ∴， ∴为定值， 要使边上的高的值最大，只要最短， ∵当时，最短，此时的长为，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 所以，当秒时，h的值最大． 12．（2024·安徽亳州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)求点的坐标； (2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标； (3)如图2，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于、两点，连接、，分别交轴于、两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为． (2) (3)与的积是定值为2，理由见解析 【分析】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，根和系数的关系 （1）令，解一元二次方程即可求出； （2）证明，得到，即可求解； （3）证明得到，求出，同理，，即可求解． 【详解】（1）解：令，则，解得，． ∵点A在点B的左侧，∴，， 即点A的坐标为，点B的坐标为． （2）解：由抛物线，得点． 如图1，过点A作交于点，过点作轴于点． ∵，∴是等腰直角三角形， ∴． 又∵，， ∴， ∴，，∴，∴． 设直线的解析式为，则， 解得，∴直线的解析式为． 联立，得解得或（舍去）， ∴点D的坐标为． （3）解：与的积是定值． 设直线的解析式为，，． ∵直线过点交抛物线于P，Q两点， ∴，即， ∴直线PQ的解析式为， 联立，得整理，得， ∴，． 如图2，过点P作轴于点，过点Q作轴于点， 则， ∴，即． ∵，∴． 同理得， ∴ ， 即与的积为定值，此定值为2． 类型四、二次函数的平移变换 13．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知直线分别与x轴、y轴相交于，B，O为坐标原点，C是的中点，二次函数的图象经过点A，C． (1)求a，b，c的值； (2)判断抛物线的顶点在不在直线上； (3)点P是抛物线上的任意一点，平移直线使它经过点P，平移后的直线与y轴交点的纵坐标为k，求k的最大值． 【答案】(1)，， (2)顶点在直线上 (3) 【分析】（1）把代入可求出b，求出点C的坐标，再把点A和点C的坐标代入可求出a，c的值； （2）先求出二次函数的顶点坐标，把代入验证即可； （3）平移后的直线的解析式为，设点P的坐标为， 则，求出，得出，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得，即点， ∵C是的中点， ∴点， ∵二次函数的图象经过点A，C， ∴ 解得，， ∴，，； （2）解； 即抛物线的顶点为， 把代入， 得， ∴顶点在直线上； （3）解：由题意得，平移后的直线的解析式为，设点P的坐标为， 则，即， ∵点P在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴当时，k取最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 14．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点． (1)求此二次函数解析式及其图象的顶点坐标； (2)结合图象，填空： ①当时，函数的最大值等于4，则的最大值为_____； ②已知，，连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，则的取值范围是__________． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2)①2；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求函数解析式、二次函数的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入和，利用待定系数法求出函数解析式，再将解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）①根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合对称轴及y的最大值即可求解； ②先求出平移后的二次函数解析式，再分别求出平移后的二次函数顶点在上，恰好经过点，时对应的值，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：代入和，得， 解得：， 二次函数的解析式为， ， 顶点坐标为， 综上所述，二次函数解析式为，其图象的顶点坐标为． （2）解：①由（1）得，的顶点坐标为，且抛物线开口向下， 当时，有最大值为4， 又当时，函数的最大值等于4， ， 解得：， 的最大值为2． 故答案为：2． ②二次函数的图象向上平移个单位， 平移后的二次函数解析式为， 此时图象的顶点坐标为， 当线段经过点时，此时，解得； 当平移后的二次函数恰好经过点，代入得，， 解得：； 当平移后的二次函数恰好经过点，代入得，， 解得：； 平移后的二次函数与线段有一个公共点， 结合图象得，的取值范围是或． 故答案为：或． 15．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点D在第二象限内抛物线上，连接交于点E，连接．若，求点D的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，过抛物线的顶点M作轴，垂足为点N，过线段上的点H的直线与抛物线交于K，L两点，直线分别与x轴交于P，Q两点．若，求点H的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）当时，，即，当时，，可求，待定系数法求直线的表达式即可； （2）如图，过点D作轴交于点F，过点B作轴交延长线于点G，证明，则，由，，可得．同理（1），直线的表达式为．设，则，．当时，，即，则，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可得平移后，则M．设，直线的表达式为．联立，整理得，可得．设直线的表达式为．联立，整理得，则，即，可求，则直线的表达式为．                  当时，，即，同理，，则，由，可得，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，， 解得，或， ∴， 设直线的表达式为． 将点代入得，， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：如图，过点D作轴交于点F，过点B作轴交延长线于点G， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 同理（1），直线的表达式为． 设，则，． 当时，，即， ∴， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或． （3）解：∵， ∴平移后， ∴的顶点M的坐标为． 设，直线的表达式为． 联立，整理得， ∴． 设直线的表达式为． 联立，整理得， ∴，即， 解得，， ∴直线的表达式为．                   当时，，即， 同理，， ∴， ∴， 整理得，，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知函数（其中，是常数）． (1)若，两点在该函数图象上，求此函数的表达式； (2)在（1）的条件下，函数的图象顶点为，与轴正半轴交点为，与轴的交点为，若将该图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围； (3)若，当时，函数的最大值为8，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)2或 【分析】（1）将，代入，即可求出函数表达式； （2）由（1）求得的表达式可得点A、B、C的坐标，平移后顶点坐标为，按照平移后的图象顶点在点A、H之间求解即可； （3）分、、三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）将，代入，得 ， 解得， 此函数的表达式为； （2）由（1）知， 顶点的坐标为， 平移后顶点坐标为， 令，则或， 令，则 ， 过点A作y轴的平行线交于点H， 设直线的解析式为， 把点B的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 故点， 函数图象的顶点落在的内部，则， 解得； （3）若，则， 函数的对称轴为：直线， 当，即时， 时，y取得最大值，即， 解得：或（舍去）； 当，即时， 时，y取得最大值，即， 解得：或（舍去）； 当，即时， 时，y取得最大值，即， 解得：（舍去）或（舍去）； 综上所述：的值为2或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数的平移问题，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 类型五、二次函数的旋转变换 17．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）已知，如图抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段下方抛物线上的动点，求三角形面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴l上，是否存在一个动点M，使得将线段绕点M旋转后，点C仍落在抛物线上？若有，请直接写出M点坐标；若没有，简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M点坐标是或，， 【分析】（1）对于二次函数，令，则，得到，，进而求得，，，，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）过点D作轴，交于点E，求出直线的解析式为，设，，则，根据表示出的面积，根据二次函数的性质即可解答． （3）抛物线的对称轴为，设点M的坐标为．分两种情况讨论：①线段绕点M逆时针旋转后，点C落在抛物线上点处，过点C作于点P，过点作于点Q，证明，得到，，求出点坐标为，根据点在抛物线上，即可求解．②线段绕点M顺时针旋转后，点C落在抛物线上点处，同①方法求解即可． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：过点D作轴，交于点E， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，为． （3）解：抛物线的对称轴为． ∴设点M的坐标为 ①若线段绕点M逆时针旋转后，点C落在抛物线上点处， 过点C作于点P，过点作于点Q，则， 由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ∴，， ∴点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得，， ∴点M的坐标为或． ②若线段绕点M顺时针旋转后，点C落在抛物线上点处， 过点C作于点G，过点作于点H， 由①同理可得， ∴，． ∵，， ∴，， ∴，， ∴点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得，， ∴点M的坐标为或． 综上所述，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，坐标与图形，三角形全等的判定及性质，旋转的性质等，综合运用相关知识是解题的关键． 18．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图像的“琦点”．例如，点是函数的图像的“琦点”． (1)分别判断函数，的图像上是否存在“琦点”？如果存在，求出“琦点”的坐标； (2)若抛物线有两个“琦点”为点，，过点A作轴的平行线与抛物线交于点（不与A点重合）．当的面积为10时，求抛物线解析式； (3)若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图像记为， ①求出的函数解析式（用含的式子表示）． ②当，两部分组成的图像上恰有3个“琦点”时，求的值． 【答案】(1)的图像不存在“琦点”；的图像存在“琦点”为和 (2) (3)①；②或或 【分析】（1）根据“琦点”的定义分析计算即可； （2）首先确定抛物线的对称轴，根据“琦点”的概念得到，进而可得，，结合，可解得或6，然后分情况确定点坐标，利用待定求解即可； （3）首先确定抛物线旋转后的抛物线解析式，再根据“琦点”的定义解得图像上两个“琦点”的坐标，然后分图像上只有一个“琦点”，图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于函数，当时，，无解， ∴的图像不存在“琦点”； 对于函数，当时，， 整理得， 解得或1， ∴的图像存在“琦点”为和． （2）解：由题可知抛物线的对称轴为， ∵抛物线有两个“琦点”为点，， ∴根据“琦点”的概念得，， ∴， ∵过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合）， ∴点A和点C关于对称轴对称， ∴点C的横坐标为3， ∴， ∴， ， ， 即， 解得或6． 当时，， ， 解得． 当时，， ， 解得（不合题意，舍去）． 综上，抛物线解析式为； （3）解：①∵抛物线绕点旋转后的图象记为， ∴开口大小不变，方向向反，对称轴不变为y轴， ∴的二次项系数为1， ∴设的表达式为， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点和关于对称， ∴， 解得， ∴的解析式为； ②由， 得或， ∴图像上有两个“琦点”和； 当图像上只有一个“琦点”时， 即与只有一个交点， ， ∴， 解得． 当图像上有两个“琦点”时， 若其中一个为的“琦点”， 则， 解得． 若其中一个为的“琦点”， 则， 解得． 综上，或或． 【点睛】本题主要考查了新定义——函数图象的“琦点”，熟练掌握新定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，一次函数图象与性质，旋转性质，中心对称性质，解一元二次方程等知识，是解题关键． 19．（24-25九年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线以某一点为对称中心旋转后得到抛物线，其顶点坐标为． (1)填空：_____，_____； (2)点B为的顶点坐标，连接，过A作交于点C，求点C的坐标以及的值． 【答案】(1)0，0 (2)， 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识； （1）先求出抛物线的顶点坐标为，根据旋转可得和的中点为，据此求解即可； （2）过A作轴，过C作于E，过B作于D．，得到，求出抛物线解析式为，设，则，，，，得到，解方程得到，即可求出点C的坐标以及的值． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线以某一点为对称中心旋转后得到抛物线，其顶点坐标为， ∴和的中点为， ∴，， 故答案为：0，0； （2）解：过A作轴，过C作于E，过B作于D． ， ，， ， ， ， ∵抛物线以点为对称中心旋转后得到抛物线，其顶点坐标为， ∴抛物线解析式为， ∴设， ∵，， ，，，， ， 整理得， 解得（与重合，舍去），， ，． 20．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线与轴交于和两点． (1)求出该抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； (2)若，对于该抛物线上的任意两点，当时，总有． ①求该抛物线的函数解析式； ②若直线与抛物线交于，两点（，都不与，重合），将直线绕点旋转得到，时恰好经过抛物线与轴的交点，请求出的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数综合应用，待定系数法求解析式，旋转的性质； （1）利用抛物线与x轴交于，求得与的关系，然后利用对称轴公式即可求解； （2）①先根据题意求得点或，利用抛物线的增减性，确定，再利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； ②根据直线恒过，旋转中心为得出旋转后过恒过点得出，进而根据旋转的性质可得两直线平行，相等，即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于， ， ， 该抛物线的对称轴为，即． （2）①， 或， 对于该抛物线上的任意两点，当时，总有， 当时，随的增大而增大， ． ． 又， ． 该抛物线的解析式为． ②恒过，旋转中心为 旋转后过恒过点 还过点 设的解析式为 ∴ 解得： ∴ 旋转180°得 平行于 类型六、二次函数的翻折变化 ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值. 21．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点是函数的图象的“等值点”． (1)求函数的等值点坐标； (2)若函数的图象上只有一个等值点，求k的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)函数的等值点坐标为， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数与新定义“等值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题． （1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可； （2）根据“等值点”的定义建立方程，再根据图象上只有一个等值点求解即可； （3）由函数的等值点坐标为，，再利用翻折的性质分类讨论即可． 【详解】（1）解：在中，令， 解得，， 函数的图象上有2个“等值点”，为，； （2）解：令， 整理得， 函数的图象上只有一个等值点， ， 解得或； （3）解：①当时，由（1）知，，两部分组成的图象上总有有2个“等值点”：，在上，若，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，则上无“等值点“， 由：沿直线翻折后的图象记为，可得的解析式为， 在中，令得：， 整理得：， ， ， 解得， 此时； ②当时，，两部分组成的图象上有3个等值点：，，； ③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”； ④当时，，两部分组成的图象上只有1个“等值点”：； ⑤当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”， 综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或． 故答案为：或． 22．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）已知抛物线． (1)当时，求抛物线与坐标轴的交点坐标． (2)若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像．经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点，求此时m的值： (3)当时，抛物线的最大值与最小值的差是3，求m的值． 【答案】(1)轴交点，轴交点 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别令，解方程即可； （2）顶点为，由抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得顶点翻折至，由于经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点，则直线经过点即可，则，解方程即可； （3）当时，，当时，，由，得，故当时，，而当时，，则，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 时，， 解得：， ∴与轴交点为：，与轴交点为； （2）解：， ∴顶点为， ∵抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折， ∴顶点翻折至 ∵经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点， 则直线经过点即可，如图： ∴， ∴； （3）解：如图： 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴当时， ∵，抛物线的对称轴为直线，且， ∴当时，， ∴， 解得：． 23．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方），作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积为2？求出此时点坐标； (3)若将上方的抛物线沿直线翻折下来，原图象其余部分不变，与翻折下来的部分组成新图象，当直线与新图象有四个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)此时P点坐标为 (3) 【分析】（1）先求出，，再将两点坐标代入抛物线求得：，从而可得抛物线的解析式为； （2）先求出点C的纵坐标为3，再代入抛物线解析式中求出，从而可求得，再设点P坐标为且（），可根据轴，可用表示出D点坐标，从而可用表示出，再用表示出，然后根据四边形的面积为2，求得，从而可得此时P点坐标为； （3）先画出图形，当直线在图示区间符合有四个交点，再求得翻折后的抛物线解析式为（0），接着根据当直线过点A时，求得，当直线于抛物线有唯一一个公共点时，求得，从而可得出当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围． 【详解】（1）∵，当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∵抛物线过A，B两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵轴，， ∴点C的纵坐标为3， ，解得：或， ∴， ∴， 设点P坐标为且（）， ∵轴， ∴D点坐标为， ∴， ∵， ， ∵四边形的面积为2， ，解得：，， ∵， ， 此时P点坐标为； （3）如图所示，当直线在图示区间符合有四个交点． 翻折后的抛物线与原抛物线的形状大小一致，开口相反， 所以它们的二次项系数互为相反数， 所以翻折后的抛物线可设为， ∵，在抛物线上， ∴，解得， ∴翻折后的抛物线解析式为（）， 当直线过点A时，，解得； 当直线于抛物线有唯一一个公共点时， 方程有相等的实数解， 所以有相等的实数解， 所以， 解得:， 所以当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数图象及性质求解，解题关键是利用待定系数法求二次函数解析式． 24．（24-25九年级下·湖北孝感·期中）二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，直线经过，两点． (1)则点的坐标是______，点的坐标是______，直线的解析式为______； (2)如图1，已知点为直线上的一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点．     ①当点在第四象限，且时，求点的横坐标； ②当的长度随的增大而增大时，直接写出的取值范围． (3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1)，，直线的解析式为 (2)①点的横坐标为或；②或 (3)当时，直线与这个新图象有4个公共点 【分析】（1）先令，求出坐标，再令，求出，再有待定系数法求解直线的解析式； （）①由题意得，，即得，根据对称轴为直线，可得，即得，解方程即可求解；②由，设，其开口向上，对称轴为，当时，，解得，，画出其函数图象，当时，需将在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，然后观察图象可以得出答案； （）根据折叠可得翻折上来的部分抛物线解析式为，再分别求出直线与新图象恰好有个公共点时的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，当时，， 解得：或， ∴， 当时，， ∴点， 设直线， 代入点， 则， 解得：， ∴直线的解析式为； 故答案为：；；； （2）解：①如图， ∵点为直线上的一点，其横坐标为，点在二次函数图象上，且轴， ∴，， ∴， ∵抛物线 ∴该抛物线的对称轴为直线， 又∵轴，且点在二次函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴或 ， 解得（舍）或或或（舍）， ∴点横坐标为或； ②由①知，， 设，其开口向上，对称轴为， 当时，，解得，， 画出其函数图象，如图所示： 如图可知，当或时，；当时，； 当时，需将在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，如图所示： 观察图象可知，当或时，的长度随的增大而增大； （3）解：在中，令得， 解得或， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴将抛物线的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，则翻折上来的部分抛物线顶点为， ∴翻折上来的部分抛物线解析式为， 直线向上平移个单位长度得到直线， 当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点， 如图： ①当直线经过点时， 把代入得，， 解得； ②当直线与相切时，即直线与抛物线只有一个交点，此时方程只有一个解， 即方程的判别式， ∴， 解得； 综上，直线与这个新图象有个公共点时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，二次函数几何应用，折叠的性质，一次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 类型七、二次函数的对称变换 25．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为． (1)抛物线的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线”的顶点坐标为 ； (2)求抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式； (3)如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，．依次连接点，，，．当四边形为正方形时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”． （1）根据顶点式直接写出顶点坐标； （2）根据顶点式的顶点坐标为；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式； （3）写出点B的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求a． 【详解】（1）解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为， 故答案为：， （2）解：， ∴顶点为， ∵关于x轴的对称点为， ∴抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式为：； （3）解：当时，， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线L的对称轴为直线， ∴点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即， 解得：（舍）或． ∴． 26．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于轴对称． (1)当，时，求和的值； (2)若抛物线与抛物线分别交轴于和，求抛物线的解析式（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，当且时，设抛物线的最大值为，抛物线的最小值为，令，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质，二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线形状不变，即，而对称轴关于y轴对称，即可求解； （2）由对称性得：抛物线过、，代入求解即可； （3）的解析式为：，可知当时，取得最大值，，同理，则，利用二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：由题意知：抛物线与抛物线关于轴对称， 则，对称轴也关于y轴对称， ∴ ∴ ∴； （2）解：由对称性得：抛物线过、，代入得： ，解得：， 故的解析式为：； （3）解：由（1）（2）知：的解析式为：，开口向下且对称轴为直线， 因为， 所以当时，取得最大值， 则代入得，，         同理，的解析式为：，开口向下且对称轴为直线，当时，取得最小值， 即，    则，        ∵该函数对称轴为直线且开口向下， 当时， ∴故当时，． 27．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，抛物线与抛物线关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线的表达式为 ； (3)如图3，将（2）中抛物线向上平移m个单位，得到抛物线，当抛物线经过点A时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征： （1）将点和点代入，即可求解； （2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式； （3）利用平移的规律得到抛物线的解析式为，代入点A的坐标即可求得m的值． 【详解】（1）解：将点和点代入，得： ， 解得：， ∴； （2）∵， ∴抛物线的顶点为， ∵顶点关于原点的对称点为， ∴抛物线的解析式为， 即； （3）依题意，有抛物线的解析式为， 因抛物线经过点， ∴ ∴． 28．（23-24九年级上·天津和平·期中）已知抛物线（，，是常数，）的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)若点，求点和点的坐标； (2)将点绕点逆时针方向旋转，点的对应点为，若，两点关于点中心对称，求点的坐标和抛物线解析式： (3)在（1）的条件下，点为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，与相交于点，过点作轴，与轴相交于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3)取得最大值，此时 【分析】（1）根据题意，设抛物线解析式为，将点代入，即可求解； （2）根据题意设设，则，求得的长，表示出的坐标，根据，两点关于点中心对称求得的值，进而得出的坐标，待定系数求得解析式，即可求解； （3）设交于点，设，则，，得出是等腰直角三角形，，进而表示出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，将点代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时， 解得：， ∵点在点的左侧， ∴，； （2）解：∵，抛物线，与轴相交于，两点 ∴，对称轴为直线， 设，则， ∴ ∵点绕点逆时针方向旋转得到，则点一定在第四象限，如图所示， 则，， ∵，两点关于点中心对称， ∴ 解得：，则 ∴，    将点代入得， 解得： ∴抛物线解析式为； （3）解：如图所示，设交于点，    由（1）可得，， 设直线的解析式为，将点代入得， 解得 所以直线的解析式为， ∵抛物线解析式为， 设，则， ∴, ∵轴，轴， 由∵ 则是等腰直角三角形， ∴ ∴也是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴当时，取得最大值 此时，即． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，旋转的性质，中心对称的性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1．（24-25九年级下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或或或 【分析】（）当时，函数表达式为，可得一次函数与轴有交点；当时，为二次函数，根据可得抛物线与轴有交点，综上即可求证； （）当时，不符合题意；当时，可得抛物线与的交点横坐标为或，由可得是的因数，据此解答即可求解； 本题考查了二次函数与轴的交点问题，一次函数与轴的交点问题，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）证明：当时，函数表达式为， 令，则， ∴， ∴此时函数（实数为常数）的图象与轴有交点； 当时，为二次函数， ， ∴函数（实数为常数）的图象与轴有交点； 综上所述，无论取什么实数，图象与轴总有公共点； （2）解：存在整数，使图象与轴的公共点中有整点，理由如下： 当时，不符合题意； 当时， 令，则， 解得或， ，是整数，是奇数， ∴当是的奇因数时，是整数， ∴或或或， 解得或或或． 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质． x … 0 1 2 3 4 … y … a b … (1)列表，写出表中a，b的值： ， ； 观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． (2)观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确，在横线上打“”或“” ①函数的图象关于y轴对称． ②当时，函数有最小值，最小值为． ③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小． ④函数的图象不经过第一、二象限． (3)若将横、纵坐标都为整数的点称为整点，直接写出直线与函数围成的封闭图形的内部恰有六个整点时，a的取值范围． 【答案】(1)，，画图见解析； (2)①；②；③；④； (3) 【分析】本题考查的是画函数图象，函数的性质；类比二次函数的图象与性质； （1）把，代入，再计算即可；根据表格信息先描点，再画图即可； （2）结合图象可得答案； （3）画直线，结合图象可得答案； 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 故答案为：，， 如图，描点画图如下： ； （2）解：由图象可得： ①函数的图象关于y轴对称．； ②当时，函数有最小值，最小值为．； ③当时，函数y的值随自变量x的增大而减小，当时，函数y的值随自变量x的增大而增大； ∴在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．； ④函数的图象不经过第一、二象限．； 故答案为：①；②；③；④； （3）解：如图， 直线与函数围成的封闭图形的内部恰有六个整点时，a的取值范围为： ． 3．（2024·河北邯郸·三模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究（）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】 （1）①请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程： ， ； ②抛物线上的动点P到它的焦点之间距离最小值为 ． 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物上一点（）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：，过抛物线上P点作x轴垂线，交直线m于点Q，，，当时，请直接写出P点横坐标x的取值范围． 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线（）平移至（）．坐标系内有一定点，直线l过点．且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请直接写出最小值及此时的面积． 【答案】（1）①，②1（2）（3）（4） 【分析】（1）①根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；②根据点到焦点的距离等于点到定直线的距离，得到动点到焦点的最小值即为抛物线的最低点到定直线的距离，即为的长度； （2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解； （3）由题意得，设直线交准线l于点N，则可分别得点Q与N的坐标，从而得关于x的表达式，利用则可求得x的范围． （4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积． 【详解】解：（1）①∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 故答案为：，； ②∵点到焦点的距离等于点到定直线的距离， ∴动点到焦点的最小值即为抛物线的最低点到定直线的距离，即为的长， ∵， ∴； 故答案为：1； （2）由（1）知抛物线的焦点F的坐标为， ∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍， ∴，整理得：， 又∵， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， ∴点P的坐标为； （3）∵点P的横坐标为x，且点P在抛物线上， ∴， 如图，连接，设直线交准线l于点N，则； 由（1）知，抛物线的焦点为，准线的方程为； ∵轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解，得：； 对于，化简得：， 考虑二次函数，令， 解得：， 即二次函数图象与x轴交于， ∵二次函数的图象开口向上， ∴的解集为：或； 综上，不等式的解集为：， 即x的范围为． （4）∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：    若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：    ∵点的坐标为，准线， ∴，点的横坐标为，代入解得， 即，，的最小值为， 则的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，根据交点确定不等式解集等知识，理解题干中焦点与准线的意义，善于利用抛物线上的点到焦点的距离等于此点到准线的距离是解题的关键． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）抛物线与轴交于A，B两点，点在点的右边，与轴交于点，且过点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接、，点是线段上的动点（不含端点A，B），过点E作交于点，连接．求面积的最大值． (3)如图2，是定直线上一动点，连接、，直线交抛物线于点．直线交抛物线于点，连接，直线是否会经过定点，若经过定点，请求出这个定点．若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点，理由见解析 【分析】（1）由抛物线过点，对称轴为直线，利用待定系数法即可求解； （2）求得，，，得直线的解析式为，直线的解析式为，设点，求得直线的解析式为，进而求得，根据结合二次函数的性质即可求解； （3）设点，，求得直线的解析式为，同理：直线的解析式为，直线的解析式为，直线，的交点在直线上运动，求得，可知，整理得，结合直线的解析式，当时，，进而可知直线经过定点． 【详解】（1）解：由题意可得：对称轴为直线， ∴， ∵抛物线过点， ∴，可得， ∴抛物线的解析式为：； （2）当时，，解得：，， 即：，， 当时，，即：， 设直线的解析式为：，可得，解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得直线的解析式为：， 设点， ∵， ∴设直线的解析式为：， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立得，解得：， ∴， 则 ， ∴当时，有最大值； （3）过定点，理由如下： 设点，， 设直线的解析式为：，代入，， 有，解得：， 即直线的解析式为：， 同理：直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∵直线，的交点在直线上运动， ∴， 解①得：，解②得， 即：，整理得：， 即：直线的解析式为：， 当时，， 即：直线经过定点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，面积问题，抛物线与直线的交点问题等，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关函数的解析式． 5．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，点是此二次函数的图象上的两个动点，且满足． (1)求此一次函数和二次函数的表达式； (2)如图1，若点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接．求证：的值为定值； (3)如图2，若点在轴的上方移动，点为线段的中点，求点纵坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数以及一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将点的坐标代入一次函数表达式得一次函数的表达式为：；将点坐标代入一次函数得出的坐标，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意可得，，，，；求得和的表达式，进而求比值，即可求解； （3）根据中点坐标公式得出点的纵坐标，根据，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则，即一次函数的表达式为：； 将点坐标代入一次函数表达式得， 将点的坐标代入二次函数 表达式得：， 则即抛物线的表达式为：； （2）证明：由题意可表示有关点的坐标为： ，，，， 则 同理可得： 则为定值； （3）解：点的两点的坐标分别为：， 点纵坐标可表示为 当，即， 解得： ∴二次函数的图象与轴的交点和点， 又若点在轴的上方移动， 当时，； 当时，； 故的取值范围： 6．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，若为锐角，且，求点D的横坐标的取值范围； (3)如图2，经过点的一次函数图象与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是4，是定值，见解析 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）以点C为顶点在的下方作，交抛物线于点D，过点A作于点A，交的延长线于点E，过点E作于点F，利用特殊角的三角函数值，待定系数法，解方程组解答即可； （3）设经过点的一次函数的解析式为，，，得到，利用根与系数关系定理，公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：如图，以点C为顶点在的下方作，交抛物线于点D，过点A作于点A，交的延长线于点E，过点E作于点F， ∵，令，得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 解得（舍去），， ∵，且点D是第三象限内抛物线上的点， ∴． （3）解：是定值．理由如下： 设经过点的一次函数的解析式为， ∴， ∴， 故一次函数的解析式为， 设，， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， 同理可证，， ∴ ， ∴，是定值． 【点睛】本题考查了待定系数法，勾股定理，特殊角的三角函数值，根与系数关系定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握待定系数法，勾股定理，特殊角的三角函数值，根与系数关系定理是解题的关键． 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知二次函数． (1)若，且函数图像经过，两点，求此二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值． (3)已知，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证． 【答案】(1) (2)2或8 (3)见解析 【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，画出函数图像，结合图像可求解； （2）分两种情况：①当C在B的左侧时，先根据三等分点的定义得：，由平移个单位可知：，计算点A和B的坐标可得的长，从而得结论．②当C在B的右侧时，同理可得结论； （3）由，得，得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出，最后注意利用条件判断，得证结论． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）当时，， ， ，， ∴，， ∴， ①如图，当C在B的左侧时， ∵B，C是线段的三等分点， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ②同理，当C在B的右侧时，， ∴， 综上，的值为2或8； （3）证明：由，得， 由题意，得，， 所以 ， 由条件，知．所以 ． 【点睛】本题查了二次函数的图像和性质，待定系数法求解析式，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用配方法判断代数式的取值范围，数形结合的思想的运用是解题的关键． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知关于x的二次函数． (1)若该二次函数的图象经过三点中的一点． ①求a的值； ②若该二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，求直线BC的函数表达式； (2)当时，y有最小值，若将该二次函数的图象沿x轴平移m（）个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最小值，求a，m的值． 【答案】(1)①  ② (2)，或4 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数图象的性质， （1）①分别将三个点的坐标代入关系式，计算可得答案； ②，由①得出关系式，进而求出点的坐标，然后根据待定系数法求出关系式； （2）先根据在，y有最小值，则抛物线在对称轴处取得最小值，可求出抛物线的表达式， 再根据平移m个单位得出新抛物线的表达式，及其对称轴，然后根据抛物线在对称轴处取得最小值时，即时，得出方程，求出即可；当抛物线在时取得最小值时，此时，即，可得方程，求出解；当抛物线向左平移m个单位时得出新抛物线的表达式，其对称轴为直线，在抛物线的对称轴或时取得最小值，同理得出解. 【详解】（1）解：（1）①， 将分别代入上式，均无法求出的值，不符合题意， 将代入函数表达式得：， 解得 ②由①知，函数的表达式为：， 当时，，令，则或4， 即点B、C的坐标分别为：. 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， 则直线的关系式为； （2）解：当时，y有最小值，则抛物线在对称轴处取得最小值， 当时，， 解得：，     则抛物线的表达式为：， 当抛物线向右平移m个单位时，则新抛物线的表达式为：，其对称轴为直线， 在抛物线的对称轴或时取得最小值， 当抛物线在对称轴处取得最小值时，即时，，方程无解； 当抛物线在时取得最小值时，此时，即，即，解得：（不合题意，舍去）或； 当抛物线向左平移m个单位时，则新抛物线的表达式为：，其对称轴为直线， 在抛物线的对称轴或时取得最小值， 同理可得：. 综上，或4． 9．（20-21九年级上·河北唐山·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题： （1）若，求x的值； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）将（2）中的抛物线绕着原点旋转，写出得到的新的抛物线解析式． 【答案】（1）；（2）顶点坐标（，）；（3）． 【分析】（1）利用新定义运算法则列出方程，然后解方程即可； （2）利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案； （3）根据关于原点对称的函数性质解答． 【详解】解：（1）根据题意，得， 移项、合并同类项，得， 整理，得， 解得：； （2）根据题意知， 整理得： 所以，顶点坐标（，）； （3）根据题意知，新的抛物线解析式为． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的性质，二次函数的几何变换；关键在于读懂新定义的运算法则． 10．（24-25九年级上·广东江门·期末）【问题背景】如图1，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，现将图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的部分与原图象x轴上方部分组成新的函数图象． 【问题探究】 （1）请求出A、B、C三点的坐标； （2）若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求b的值； 【问题拓展】 （3）如图2，直线l与x轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点，从左到右依次为点P、Q、M、N，当时，求点M的坐标． 【答案】（1）A、B、C三点的坐标分别为：、、；（2）或；（3）． 【分析】（1）对于，令，则或1，则函数的对称轴为直线，则，即可求解； （2）分两种情况讨论，当直线与函数的图象相切时和当直线经过点B时，据此即可求解； （3）根据函数的对称性得：，得到，即可求解． 【详解】解：（1）对于，令，则或1， 则函数的对称轴为直线， 当时，， 则， 故A、B、C三点的坐标分别为：、、； （2）由翻折的性质得，翻折后的抛物线表达式为：， 分两种情况讨论， ①当直线与函数的图象相切时： 联立和得：， 整理得： 则，则， ②当直线经过点B时： 将点B的坐标代入得：，则， 综上，或； （3）根据函数的对称性得：， ∵，则，即， 设直线l为：， 联立和得：， 则，， 则， 同理可得：， 则， 解得：， 令， 解得：(舍去负值)， 即点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象翻折、一次函数的图象和性质，确定临界点和利用根和系数的关系处理数据是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数的整点，定点，定值及图形变换类问题 目录 1 类型一、与二次函数有关的整点问题 1 类型二、与二次函数有关的定点问题 3 类型三、与二次函数有关的定值问题 4 类型四、二次函数的平移变换 6 类型五、二次函数的旋转变换 8 类型六、二次函数的翻折变化 9 类型七、二次函数的对称变换 11 13 类型一、与二次函数有关的整点问题 1．（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生）在坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，试在二次函数的图像上找出满足的所有整点． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数． (1)若点，都在二次函数的图象上，试比较的大小； (2)若当时，函数的图象与x轴只有一个交点，求m的取值范围； (3)平移二次函数的图象，使其顶点与原点重合，得到二次函数L，若直线与二次函数L的图象所围成的封闭图形内部（不包含边界）只有6个整点（横坐标与纵坐标均为整数的点），直接写出m的取值范围． 3．（2023·安徽合肥·二模）如图，直线和直线分别与轴交于点，点，顶点为的抛物线与轴的右交点为点． (1)若，求的值和抛物线的对称轴； (2)当点在下方时，求顶点与距离的最大值； (3)在和所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出时“整点”的个数． 4．（2024·河北石家庄·二模）在平面直角坐标系中，抛物线．我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”． (1)当时， ①求该抛物线的顶点坐标； ②求该抛物线与轴围成的图形边界上的整点数 (2)若该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）有4个整点，直接写出的取值范围． 类型二、与二次函数有关的定点问题 【命题预测】函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图像会随着待定的系数的变化而变化，图像变化过程中,有时始终会经过某个固定的点. 定点问题常出现在各地考试中，难度中上，掌握好定点问题的本质即可快速解决. 解题方法（以一次函数定点问题为例）：将一次函数化成即经过的顶点坐标为（a，b）. 5．（2025·安徽安庆·一模）已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）． (1)求的值和的顶点坐标． (2)已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________； (3)当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值． 6．（2025·安徽淮北·三模）定义：若一个函数图像上至少存在两个点关于y轴对称，则称该函数为“纵轴点对称函数”，对称点叫作“纵轴对称点”． (1)概念理解： ①请写出一个已学过的“纵轴点对称函数”：________； ②若函数是“纵轴点对称函数”，请写出它的“纵轴对称点”． (2)概念应用： ①一次函数是否为“纵轴点对称函数”？请说明理由； ②已知函数是“纵轴点对称函数”，与直线（，）交于点，，且．若经过定点，求点的坐标． 7．（22-23九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图（1）所示，抛物线，经过，，三点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否一点，使得以，，的顶点的三角形与相似，如有请求出满足要求的所有点，如果没有，请说明理由． (3)如图（2）所示，点，为抛物线上的动点，满足，请证明直线必定通过一个定点，并求出这个定点的坐标． 8．（21-22九年级上·安徽安庆·期中）已知抛物线． (1)若该抛物线经过点，求的值； (2)不论取何实数，该函数总经过一个定点． ①求这个定点的坐标； ②证明：这个定点就是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点． 类型三、与二次函数有关的定值问题 【解题方法】二次函数中的定值问题常与几何知识综合考查，常见的有线段和(差)面积，比值等.利用二次函数求解这些几何线段所代表的代数式定值问题属于定量问题，一般采用参数计算法，即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)，设出参数，将要求的代数式用含参数的形式表示出来，消去参数后即得定值. 9．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 10．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，抛物线与x轴交于点O和点A，将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线．    (1)抛物线表达式为；_______； (2)点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q． ①若，求的值； ②试判断是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 11．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，线段上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒． (1)直接填出两点的坐标：A： ，B： ； (2)如图，过点P作x轴的垂线交直线于点C，设以C为顶点的抛物线与直线的另一交点为D． ①用含t的代数式分别表示 ， ； ②随着点P运动，长是否为定值？若是，请求出长；若不是，说明理由； ③设的边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？ 12．（2024·安徽亳州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)求点的坐标； (2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标； (3)如图2，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于、两点，连接、，分别交轴于、两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 类型四、二次函数的平移变换 13．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知直线分别与x轴、y轴相交于，B，O为坐标原点，C是的中点，二次函数的图象经过点A，C． (1)求a，b，c的值； (2)判断抛物线的顶点在不在直线上； (3)点P是抛物线上的任意一点，平移直线使它经过点P，平移后的直线与y轴交点的纵坐标为k，求k的最大值． 14．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点． (1)求此二次函数解析式及其图象的顶点坐标； (2)结合图象，填空： ①当时，函数的最大值等于4，则的最大值为_____； ②已知，，连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，则的取值范围是__________． 15．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点D在第二象限内抛物线上，连接交于点E，连接．若，求点D的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，过抛物线的顶点M作轴，垂足为点N，过线段上的点H的直线与抛物线交于K，L两点，直线分别与x轴交于P，Q两点．若，求点H的坐标． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知函数（其中，是常数）． (1)若，两点在该函数图象上，求此函数的表达式； (2)在（1）的条件下，函数的图象顶点为，与轴正半轴交点为，与轴的交点为，若将该图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围； (3)若，当时，函数的最大值为8，直接写出的值． 类型五、二次函数的旋转变换 17．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）已知，如图抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段下方抛物线上的动点，求三角形面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴l上，是否存在一个动点M，使得将线段绕点M旋转后，点C仍落在抛物线上？若有，请直接写出M点坐标；若没有，简要说明理由． 18．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图像的“琦点”．例如，点是函数的图像的“琦点”． (1)分别判断函数，的图像上是否存在“琦点”？如果存在，求出“琦点”的坐标； (2)若抛物线有两个“琦点”为点，，过点A作轴的平行线与抛物线交于点（不与A点重合）．当的面积为10时，求抛物线解析式； (3)若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图像记为， ①求出的函数解析式（用含的式子表示）． ②当，两部分组成的图像上恰有3个“琦点”时，求的值． 19．（24-25九年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线以某一点为对称中心旋转后得到抛物线，其顶点坐标为． (1)填空：_____，_____； (2)点B为的顶点坐标，连接，过A作交于点C，求点C的坐标以及的值． 20．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线与轴交于和两点． (1)求出该抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； (2)若，对于该抛物线上的任意两点，当时，总有． ①求该抛物线的函数解析式； ②若直线与抛物线交于，两点（，都不与，重合），将直线绕点旋转得到，时恰好经过抛物线与轴的交点，请求出的值． 类型六、二次函数的翻折变化 ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值. 21．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点是函数的图象的“等值点”． (1)求函数的等值点坐标； (2)若函数的图象上只有一个等值点，求k的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 22．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）已知抛物线． (1)当时，求抛物线与坐标轴的交点坐标． (2)若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像．经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点，求此时m的值： (3)当时，抛物线的最大值与最小值的差是3，求m的值． 23．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方），作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积为2？求出此时点坐标； (3)若将上方的抛物线沿直线翻折下来，原图象其余部分不变，与翻折下来的部分组成新图象，当直线与新图象有四个交点时，直接写出的取值范围． 24．（24-25九年级下·湖北孝感·期中）二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，直线经过，两点． (1)则点的坐标是______，点的坐标是______，直线的解析式为______； (2)如图1，已知点为直线上的一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点．     ①当点在第四象限，且时，求点的横坐标； ②当的长度随的增大而增大时，直接写出的取值范围． (3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，求的取值范围． 类型七、二次函数的对称变换 25．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为． (1)抛物线的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线”的顶点坐标为 ； (2)求抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式； (3)如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，．依次连接点，，，．当四边形为正方形时，求的值． 26．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于轴对称． (1)当，时，求和的值； (2)若抛物线与抛物线分别交轴于和，求抛物线的解析式（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，当且时，设抛物线的最大值为，抛物线的最小值为，令，求的取值范围． 27．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，抛物线与抛物线关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线的表达式为 ； (3)如图3，将（2）中抛物线向上平移m个单位，得到抛物线，当抛物线经过点A时，求m的值． 28．（23-24九年级上·天津和平·期中）已知抛物线（，，是常数，）的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)若点，求点和点的坐标； (2)将点绕点逆时针方向旋转，点的对应点为，若，两点关于点中心对称，求点的坐标和抛物线解析式： (3)在（1）的条件下，点为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，与相交于点，过点作轴，与轴相交于点，求的最大值及此时点的坐标． 1．（24-25九年级下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质． x … 0 1 2 3 4 … y … a b … (1)列表，写出表中a，b的值： ， ； 观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． (2)观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确，在横线上打“”或“” ①函数的图象关于y轴对称． ②当时，函数有最小值，最小值为． ③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小． ④函数的图象不经过第一、二象限． (3)若将横、纵坐标都为整数的点称为整点，直接写出直线与函数围成的封闭图形的内部恰有六个整点时，a的取值范围． 3．（2024·河北邯郸·三模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究（）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】 （1）①请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程： ， ； ②抛物线上的动点P到它的焦点之间距离最小值为 ． 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物上一点（）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：，过抛物线上P点作x轴垂线，交直线m于点Q，，，当时，请直接写出P点横坐标x的取值范围． 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线（）平移至（）．坐标系内有一定点，直线l过点．且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请直接写出最小值及此时的面积． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）抛物线与轴交于A，B两点，点在点的右边，与轴交于点，且过点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接、，点是线段上的动点（不含端点A，B），过点E作交于点，连接．求面积的最大值． (3)如图2，是定直线上一动点，连接、，直线交抛物线于点．直线交抛物线于点，连接，直线是否会经过定点，若经过定点，请求出这个定点．若不过定点，请说明理由． 5．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，点是此二次函数的图象上的两个动点，且满足． (1)求此一次函数和二次函数的表达式； (2)如图1，若点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接．求证：的值为定值； (3)如图2，若点在轴的上方移动，点为线段的中点，求点纵坐标的取值范围． 6．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，若为锐角，且，求点D的横坐标的取值范围； (3)如图2，经过点的一次函数图象与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值？请说明理由． 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知二次函数． (1)若，且函数图像经过，两点，求此二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值． (3)已知，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知关于x的二次函数． (1)若该二次函数的图象经过三点中的一点． ①求a的值； ②若该二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，求直线BC的函数表达式； (2)当时，y有最小值，若将该二次函数的图象沿x轴平移m（）个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最小值，求a，m的值． 9．（20-21九年级上·河北唐山·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题： （1）若，求x的值； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）将（2）中的抛物线绕着原点旋转，写出得到的新的抛物线解析式． 10．（24-25九年级上·广东江门·期末）【问题背景】如图1，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，现将图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的部分与原图象x轴上方部分组成新的函数图象． 【问题探究】 （1）请求出A、B、C三点的坐标； （2）若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求b的值； 【问题拓展】 （3）如图2，直线l与x轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点，从左到右依次为点P、Q、M、N，当时，求点M的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$