第六章反比例函数暑假预习2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第六章 反比例函数 暑假预习 一、单选题 1．已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象在第一、三象限 C．随的增大而增大 D．当时， 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点A，B，C在反比例函数图象上，，点A的横坐标为2，点C的横坐标为4，则k的值为（    ） A． B．8 C． D． 4．电压一定时，经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）是反比例函数关系，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．如图，平面直角坐标系内有正六边形，，，若的图象使得正六边形的六个顶点分布在它的两侧，每侧各三个点，则的整数值的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（    ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．保持不变 8．物理实验中，同学们分别测量经过甲、乙、丙三个用电器的电流和它们两端的电压，根据图及物理学知识，可判断这三个用电器的电阻大小排序正确的是（   ） A．甲>乙>丙 B．乙>甲>丙 C．甲>丙>乙 D．丙>甲>乙 9．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象在第四象限内的部分交于点，将直线绕点逆时针旋转后与的图象在第二象限内的部分交于点，连结，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．如图1是一款在某跨境电商平台销量排名第一的可调节亮度的台灯，图2是它的电路示意图，它是根据调节总电阻的大小来实现灯光亮度的变化，电流与总电阻之间的关系图象如图3所示，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与之间的函数表达式是 C．当时， D．当电压不变时，与成正比 二、填空题 11．已知反比例函数(为常数，)的图象与直线交于点，则的值为 ． 12．如图，点A，B分别在反比例函数和反比例函数的图象上，连接，且轴连接．若，则k的值为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点A是反比例函数图象上第一象限内一点，点是轴正半轴上一点且，将绕点旋转的对应点分别为．已知四边形的面积等于8，则的值为 ． 14．1`如图，正方形的顶点在轴上，点A，点在反比例函数图象上．若直线交轴负半轴于点，且，则直线的函数表达式为 ． 15．如图，点在反比例函数图象上，连接 并延长与反比例函数图象相交于点，连接与反比例函数图象交于点，若，则面积为 ． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C在y轴上，B在x轴上，把矩形沿对角线所在的直线翻折，点A恰好落在反比例函数的图象上点D处，与y轴交于点E，延长交x轴于点F，点D刚好是的中点．已知B的坐标为． (1)求的度数； (2)求反比例函数的函数表达式； (3)若Q是反比例函数图像上的一点，P点在x轴上，若以P，Q，B，E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点的坐标________________________． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C． (1)若点B坐标为时． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②在y轴上取一点P，当的面积为4时，求点P的坐标； (2)过点B作轴于点D，点Q为中点，线段交y轴于点P，连接．若的面积为5，则k的值为________． 18．根据学习函数的经验，对函数的图象性质进行探究．下表列出了y与x的几组对应值： x … … 0 1 2 4 … y … … 2 a … (1)_________； (2)在下图所示的平面直角坐标系中，已画出该函数的部分图象，请画出另一部分图象； (3)观察图象，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是_________； (4)直接写出方程的解． 19．反比例函数的图象经过点和点．    (1)求、的值； (2)如图①，在反比例函数的图象上有一点，小明发现将点绕原点顺时针方向旋转后得到的点在另一个反比例函数图象上，求出点所在的函数表达式，并写出自变量取值范围； (3)如图②，已知直线和，将反比例函数的图象绕原点旋转后得到新图象，在新图象上任取一点，过点作，垂足分别为点，点．求四边形的面积． 20．综合与实践：探索某款节能冰箱的日耗电量． 素材1：某款冰箱，耗电功率为0.16千瓦．当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行．温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环． 素材2：冰箱内部温度与时间（分钟）如图所示： 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 链接：冰箱每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）． 任务1：求时，关于的函数表达式，并求出的值； 任务2：该冰箱的广告中声称：每天耗电不超一度电．请问该冰箱的广告是否符合实际？（忽略特殊情况的耗电量）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第六章 反比例函数?暑假预习2025-2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C A C D C C C 1．C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：A：当时，，故图象经过点，正确； B：因，反比例函数图象位于第一、三象限，正确； C：当时，函数在每一象限内随的增大而减小，因此，选项C中“随的增大而增大”的结论错误； D：当时，的值趋近于0且小于1（如时），故，正确； 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质． 根据反比例函数的性质，当时，函数图象分布在第一、三象限，进而可判断各点值的大小关系． 【详解】解：∵， ∴函数图象分布在第一、三象限， 点的横坐标，位于第三象限，故． 点和的横坐标均大于0，位于第一象限，故，． ∵在第一象限内，随的增大而减小， ∴． 综上，， 故选：A． 3．A 【分析】此题考查了求反比例函数系数，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点A作轴于点D，延长过点C作交延长线于点E，根据题意表示出，，，，证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点A作轴于点D，延长过点C作交延长线于点E ∵点A，C在反比例函数图象上，点A的横坐标为2，点C的横坐标为4， ∴点A的纵坐标为，点C的纵坐标为， ∴，，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去）． 故选：A． 4．C 【分析】根据反比例函数的性质，得，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：C． 5．A 【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由题意可设点B的坐标为，易得，即点B的坐标为，再结合反比例函数图象即可解答． 【详解】解：∵四边形是面积为4的正方形，设点B的坐标为， ∴，解得：（已舍弃负值）． ∴点B的坐标为， ∵函数的图象经过点， ∴满足的的取值范围为． 故选A． 6．C 【分析】先求得正六边形的边长，再通过正六边形的内角和求得，连接，作于，通过等腰三角形三线合一和勾股定理，求得，表示出点的坐标，当过点时，；当过点时，，从而推出，然后得到的整数值的个数． 【详解】解：， ， 多边形是正六边形， ，其内角和为， ， 连接，作于，如图所示： ，，， ，， ， ， ， ， ． 当过点时，； 当过点时，； ， 则可取5，6，7，8，共4个整数值， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质、点的坐标与线段长度的关系、反比例函数系数的性质、勾股定理、等腰三角形三线合一，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 7．D 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义．根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， 则的面积为：， 即的面积保持不变， 故选：D． 8．C 【分析】根据题意得出，，，，则可得出，即可求解． 本题考查了反比例函数的应用，理解题意是关键． 【详解】为甲、乙、丙三个点构造直角三角形，产生交点A，B， ，，， ，， ． 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，两点间的距离公式，求出旋转后点交点，然后利用两点间的距离公式建立不等式进行求解即可． 【详解】解：过点且垂直于轴的直线， 将代入， 解得：，故， 将直线绕点逆时针旋转后， 直线， 联立， 解得：或， ， ， ，由图可知：， ， 解得：， 故选：C． 10．C 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式．据此依次对各选项进行分析即可作出判断． 【详解】解：设电流与总电阻之间的函数关系为， 由题意可得：， ∴， A．当时，，故此选项不符合题意； B．与之间的函数表达式是，故此选项不符合题意； C．当时，； ∴当时，，故此选项符合题意； D．∵， ∴， ∴当电压不变时，与成反比，故此选项不符合题意． 故选：C． 11． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，把代入，求出m，然后把代入，求出k即可．知道交点坐标适合两个函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得， ∴这个交点为， 把代入， 得，， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，掌握数形结合思想成为解题的关键． 由轴结合题意可得即；再结合可得，解得或，最后根据反比例函数图象所在的位置即可解答． 【详解】解：轴，点A，B分别在反比例函数和反比例函数的图象上， ，， ， ， 解得或， 反比例函数的图象位于第四象限， ， ． 故答案为：． 13．2 【分析】本题主要考查了反比例函数、平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 设点A的坐标为，则，，如图：过点作于点P，由等腰三角形的性质可得，即；再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质以及已知条件可得，进而得到即可解答． 【详解】解：如图：过点作于点P， 设点A的坐标为，则，， ∵， ∴， ∴ ∵将绕点旋转的对应点分别为， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积等于8， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 14． 【分析】过作轴于，过作轴于，根据已知条件设，，根据相似三角形的判定得出，然后得出，从而设，，再根据正方形的性质和三角形全等的判定得出，从而得出，，然后得出，坐标，再根据，在反比例函数上列出关于，的方程组，解方程组求出，的值，从而得出，坐标，然后再用待定系数法求出直线的函数解析式． 【详解】解：过作轴于，过作轴于， 在中，， 设，， ，， ， ， 设，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ，， 点，点在反比例函数图象上， ， 解得或（舍去）， ，， 设直线的解析式为， 把，坐标代入解析式得：， 解得， 直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 15． 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的应用． 设点的坐标是，点的坐标是，作轴，且，作于点，则，则，得到，推出，代入反比例函数可得到，直线的解析式是，进而得到直线与轴点的交点，根据，求出，作轴于点，轴于，得到，，，推出得到，连接，即可求解． 【详解】解：设点的坐标是，点的坐标是，作轴，且，作于点，则， ∴ ∴， 又∵，， ∴，， ∴，即， 又∵点在反比例函数 图象上， ∴， 整理可得：， ∴， ∴， 又∵ ∴， 设直线的解析式是， ∴，解得：， ∴直线的解析式是， 令，则， ∴直线与轴点的交点， ∴ ， 作轴于点，轴于， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 连接， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 16．(1) (2) (3)P点的坐标为或或 【分析】（1）根据折叠的性质，线段垂直平分线的判定和性质，角的计算解答即可； （2）利用中点坐标公式计算点D的坐标即可； （3）根据平行四边形的判定，中点坐标公式解答即可； 【详解】（1）解：根据题意，得， 又D是中点， 故垂直平分， 所以， 故． （2）解：∵B的坐标为． ∴ ∴， ∴， ∴ ∵点D在反比例函数的图象上， ∴ ∴反比例函数的解析式． （3）解：或或． 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， 设，，由， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得：， ∴； ∴； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得：， ∴； ∴； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：， ∴； ∴； 综上所述，存在点P，且P点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式，分类思想的应用，熟练掌握待定系数法，平行四边形的性质，中点坐标公式是解题的关键． 17．(1)①，；②P的坐标为或 (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据分割法求面积，进行求解即可； （2）设，求出点坐标，点坐标易得均为等腰直角三角形，根据三角形的面积公式求出，即可． 【详解】（1）解：①把点B坐标为分别代入和，得： ， ∴， ∴，； ②∵， ∴当时，当时，； ∴， ∴， ∴， ∴或，即：P的坐标为或； （2）∵， ∴当时，当时，； ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵过点B作轴于点D， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：． 18．(1)1； (2)见解析； (3)或（或者写亦可）； (4)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，画函数图象，利用数形结合的思想是解题关键． （1）把代入解析式即可求出值， （2）根据列表描点连线即可， （3）观察图象即可得出结论， （4）根据图象可知，方程的解即与的交点横坐标． 【详解】（1）解：当时，代入得： ， 故答案为1； （2）解：如图， （3）观察图象可知：当或，当y随x的增大而减小时， （4）解：∵，可化为， 方程的解即与的交点横坐标． 由图可知：方程的解为或． 19．(1)， (2)点所在的函数表达式为 (3)矩形的面积为6 【分析】（1）将点和点代入，解答即可． （2）作轴，轴，构造一线三垂直全等模型，确定Q的坐标解答即可． （3）在上取点，使得，作轴，轴，根据旋转性质，三角形全等的判定和性质，反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：将点和点代入，得： ， 解得． （2）解：作轴，轴，    根据题意，得 ， ， 轴，轴， ， ， ， 设，则， 设， ， 点所在的函数表达式为． （3）解：方法①：    在上取点，使得，作轴，轴， 由旋转得， ， ， 即四边形和四边形为矩形， ， 设， 矩形的面积矩形的面积． 方法②：    设，作，交延长线于点， 为等腰直角三角形， 点， 直线的函数表达式为， 设， ， ， ， ， ， ， 矩形的面积 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握性质，待定系数法是解题的关键． 20．任务一：；任务二：冰箱的广告符合实际 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 任务1：设时，关于的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可，再求出当时x的值，即可得到t的值； 任务2：结合任务1，可得冷柜每60分钟为一个循环，且每一个循环运行时间为分钟，然后根据“冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）”求解即可． 【详解】解：任务1：将代入得，， ． 当时，， 解得， ， 即． 任务2：每天的耗电量度度， 冰箱的广告符合实际． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 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