1.1集合的概念和表示方法课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1 集合的概念 一、元素与集合的概念 1.当你走进这个校园时,一切都是那么的新鲜: ①校园里所有的建筑物形态各异; ②教我们班的各科老师学识渊博; ③班里的所有同学都朝气蓬勃,有男同学,有女同学; (1)以上各语句中要说明描述的对象分别是什么? 提示: ①校园里所有的建筑物; ②教我们班的各科老师; ③班里的所有同学,男同学,女同学; 共同特点：都是一个集体 思考：在数学中如何表示一个集体呢 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). 集合的概念 思考：是否所有的总体都能被称为集合呢？ 我们通常用大写拉丁字母A,B,C...来表示集合，用小写字母a,b,c...来表示集合中的元素。 元素的特征 1.我们班比较高的同学能否构成一个集合?我们班身高不低于180 cm的同学能否构成一个集合?说明了什么问题? 提示:比较高的同学不能构成一个集合,因为“比较高”标准不确定; 身高不低于180 cm的同学能构成集合,因为“身高不低于180 cm”标准确定； 说明集合中元素具有确定性. 2.学校超市一天内进了两次货,第一次进的中性笔、矿泉水、面包,第二次进的火腿肠、矿泉水、方便面,把这天进的货物构成一个集合,集合中有哪几个元素?说明什么? 提示:有5个元素,分别是中性笔、矿泉水、面包、火腿肠、方便面. 说明集合中元素具有互异性.重复的元素只能算一个. (3)我们全班同学构成了一个集合,如果在班内调整一次座位,班级这个集合改变了吗?说明什么? 提示:集合没有改变,因为元素是一样的. 说明集合中元素具有无序性. 元素的特征 探究学习 学习概览 填空 (1)集合中元素的三大特性:确定性、互异性、无序性. (2)只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的. 探究学习 学习概览 做一做 下列说法正确的是(　　) A.我校爱好足球的同学组成一个集合 B.{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合 C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合 解析:选项A不满足确定性,故错误; 选项B中漏了元素0,故错误; 选项C正确; 答案:C 探究学习 学习概览 1.(1)你所在班级中的所有同学组成了一个集合.任意指定一位同学,这位同学与这个班集体有什么关系? 提示:任意指定一位同学,要么属于这个班集体,要么不属于.即元素与集合只有两种关系:属于和不属于. (2)由大于1的数构成的集合记作集合A.1和2与集合A是怎样的关系? 提示:因为2>1成立,所以2是集合A中的元素,即2属于集合A; 因为1>1不成立,所以1不是集合A中的元素,即1不属于集合A. 元素与集合的关系 探究学习 学习概览 元素与集合的关系 探究学习 学习概览 做一做 已知集合A中的元素x满足x-1< ,则下列各式正确的是(　　) A.3∈A且-3∉A B.3∈A且-3∈A C.3∉A且-3∉A D.3∉A且-3∈A 答案:D 探究学习 学习概览 1.(1)0是自然数吗?0是正整数吗?0是整数吗? 提示:0是自然数,是整数,不是正整数. (2)自然数集与正整数集有什么区别? 提示:自然数集包含0,正整数集不包含0. (3)什么是有理数?什么是无理数? 提示:正整数,0,负整数,正分数,负分数这样的数称为有理数;无理数也称为无限不循环小数,不能写成两个整数的比. 2.填空 常见数集的表示 探究学习 学习概览 做一做 用符号“∈”或“∉”填空: (1)1　　　　　N*;(2)-3　　　　　N;  答案:(1)∈　(2)∉　(3)∈　(4)∉　(5)∈ 探究学习 学习概览 若集合A是由所有形如3a+ b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2 是不是集合A中的元素? 例3已知集合A含有3个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值. 分析:由-3∈A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验. 归纳 1. 根据集合元素的确定性解出字母参数的所有可能取值； 2. 再根据集合元素的互异性进行检验. 互异性是元素的三个特性中最常用的一个. 探究学习 学习概览 一、自然语言法 1.我们在初中学习过正整数、负整数、有理数、实数等,请思考以下问题: ①小于6的正整数有哪些? 提示:1,2,3,4,5. ②小于6的正整数是否可以组成一个集合? 提示:显然这些数是确定的,根据集合的定义,这些数可以组成一个集合. ③如何用自然语言表示这个集合？ 自然语言：用文字叙述的形式表述集合的方法； 特点：直接、通俗易懂； 自然语言表示为:由1,2,3,4,5组成的集合; 如何用符号语言表示出这个集合? 如何用数学语言描述集合 探究学习 学习概览 (1)什么特点的集合适合用列举法表示? 提示:集合为有限集,元素又不太多,适合用列举法表示. (2)列举法可以表示无限集吗? 提示:可以.元素之间存在明显规律的无限集可以用列举法表示,如自然数集N可表示为{0,1,2,3,…,n,…}. 二、列举法 把集合的所有元素一一列举出来,并用“逗号”隔开， 花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 小于6的正整数用列举法表示： {1,2,3,4,5} (3)大于0小于6的实数,是否能组成一个集合?能否用列举法表示？ 探究学习 学习概览 三、描述法 一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有 的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法. (1)如何理解定义中的“共同特征P(x)”? 提示:属于集合A的任意一个元素都具有性质P(x),而不属于集合A的元素都不具有性质P(x). (2)什么类型的集合适合用描述法表示? 提示:元素较多,且元素间有共同特征的情况. 共同特征P(x) （3）如何用描述法表示集合 {描述元素|元素共同特征} 探究学习 学习概览 做一做 (1)用描述法表示1,2,3,4,5这五个数字组成的集合. 答案:可以,{x|0<x<6,x∈Z}或{x∈Z|0<x<6}. ②是否可以用列举法表示该集合? 例2 用描述法表示下列集合: (1)函数y=-x的图象上的点组成的集合; (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合; (3)不等式x-2<3的解组成的集合. 解:(1){(x,y)|y=-x,x∈R,y∈R}. (2){x∈R||x|>3}. (3){x|x<5,x∈R}. 探究学习 学习概览 归纳小结 1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点: (1)在元素个数较少或元素间有明显规律时用列举法表示集合. (2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间用“,”隔开,而不能用“、”;元素之间无顺序,满足无序性. 2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集或者其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素. 探究学习 学习概览 3.使用描述法表示集合时,应注意以下几点: （1）写清集合中元素的代表符号，若上下文关系明确，则可省略； （2）用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式等； （3）所有描述的内容都要写进花括号内，不能出现未被说明的字母。 做一做 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1){0,1}与{(0,1)}表示相同的集合. (　　) (2)用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为{1,1}.(　　) (3){x|x>-1}与{t|t>-1}表示同一集合. (　　) (4)集合{(x,y)|x>0,y>0,x,y∈R}是指第一象限内的点集. (　　) 答案:(1)×　 (2)×　 (3)√（x,t只是一种符号，换成什么字母都是一样的） (4)√ 探究学习 学习概览 例3 下面集合: ①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}; 它们是不是相同的集合?它们各自的含义是什么? ①集合{x|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有x值的集合,所以{x|y=x2+1}=R; ②集合{y|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有y值的集合,因为y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1}; ③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),表示的是满足y=x2+1的数对(x,y)的集合,所以{(x,y)|y=x2+1}={点P|点P是抛物线y=x2+1上的点}; 它们是互不相同的集合. 探究学习 学习概览 1.已知集合A= {x∈N|x<6},则下列关系式不成立的是 (　　) A.0∈A B.1.5∉A C.-1∉A D.6∈A 解析:由题意知A={0,1,2,3,4,5},故选D. 答案:D 2.集合{x∈N*|x<5}的另一种表示法是(　　) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 解析:N*为正整数集,所以集合{x∈N*|x<5}表示小于5的正整数组成的集合. 答案:B 随堂演练 探究学习 学习概览 3.集合{-1,1}用描述法可以表示为　　　　　.  解析:开放题,找出集合的一个特征性质即可. 答案:答案不唯一,如{x||x|=1} 4.集合A={(x,y)|x+y=6,x,y∈N}用列举法表示为　　　　　.  答案:A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)} 5.分别用描述法和列举法表示下列集合: (1)方程x2-x-2=0的解组成的集合; (2)大于1,且小于5的所有整数组成的集合. 解:(1)描述法表示为{x|x2-x-2=0}; 列举法表示为{-1,2}. (2)描述法表示为{x ∈Z |1< x<5}; 列举法表示为{2,3,4}. 探究学习 学习概览 D.数1,0,5,组成的集合中有7个元素 选项D,组成的集合中有5个元素,错误. 关系 概念 记法 读法 元素与 集合的 关系 属于 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 解析:∵3-1=2>,∴3∉A. ∵-3-1=-4<,∴-3∈A.故选D. 数集名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 字母表示 N N*或N+ Z Q R (3)　　　　　Q; (4)　　　　　Q;  (5)-　　　　　R.  解:是.因为-6+2=3×(-2)+×2,此时a=-2∈Z,b=2∈Z,所以-6+2是集合A中的元素. 解:因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3,解得a=-1或a=-. 当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,集合A不满足元素的互异性,所以舍去a=-1. 当a=-时,经检验,符合题意.故a=-. $$