13.3.1 三角形的内角 第1课时 课件 2025—2026学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 1、请回顾平角的定义及平行线的性质，并完成下面的填空: 知识关联 已知：如图，点B、A、E在同一直线上，∠1=∠B. 求证：∠C=∠2. 证明：∵∠1=∠B(　　　　 ) ∴AD∥BC(　　　　　　　　 　) ∴∠C=∠2(　　　　　　 　) 已知 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 2、如图，假如你正站在金字塔下，现有用于测量角的量角器，但为了保护文化遗产，在不允许人攀爬的情况下，你能想办法测量塔尖处一个侧面角的度数吗？说一说你的做法. 知识关联 分析：可以先测出侧面三角形底边上的两个角，再求出塔尖处的侧面角. 解决方案：利用三角形的内角和 问题1　在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究． 探究与应用 【探究】三角形的内角和 探究与应用 【探究】三角形的内角和 度量法 600＋480＋720＝1800 480 720 600 探究与应用 【探究】三角形的内角和 折叠法 探究与应用 【探究】三角形的内角和 A B C 2 1 剪拼法 探究与应用 三角形的内角和定理的证明 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在 一起，就得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现 证明的思路吗？ 【探究】三角形的内角和 探究与应用 【探究】三角形的内角和 已知：△ABC . 求证:∠A+∠B+∠C=180°. A B C 2 4 1 5 3 　 l 证明：如图, 过点A作直线l,使l //BC. ∵ l//BC, ∴ ∠2= ∠4 (两直线平行，内错角相等). 同理 ∠3= ∠5. ∵ ∠1 ,∠4, ∠ 5组成平角， ∴ ∠1 + ∠4+ ∠5=180° (平角定义). ∴ ∠1 + ∠2+ ∠3=180° (等量代换). 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等180°. 验证结论 A B C B C 探究与应用 【探究】三角形的内角和 证法2： 延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. E D 1 2 C B A A B C A B 探究与应用 【探究】三角形的内角和 C B A E D F 关键是通过“平移”将分散的聚集在一起“转化”为一个平角 A B C D E C A B 1 2 3 4 5 l 探究与应用 【探究】三角形的内角和 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 探究与应用 【理解应用】 例1 如图 ，在△ABC 中，∠BAC =40°，∠B = 75°, AD是△ ABC的角平分线.求 ∠ADB 的度数. C B D A 解：由∠BAC=40°，AD是△ ABC的角平分线， 得∠BAD= ∠BAC=20°. 在△ ABD中， ∠ADB =180°－∠B－∠BAD = 180° － 75°－ 20°=85°. 【理解应用】 探究与应用 变式.在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°， ∠C为(x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180°. 解得 x ＝ 33°. 所以 3x ＝ 99° ， x ＋ 15 ＝ 48°. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°. 几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想. 探究与应用 【理解应用】 例2 下图是A、B、C三岛的平面图， C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北 偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛 看A、B两岛的视角∠ ACB呢？ 北 北 C A B D E 分析：A，B，C三岛的连线构成 ABC， 所求的∠ACB是△ABC的一个内角.如果能求出∠CAB, ∠ABC,就能求出∠ACB. 探究与应用 【理解应用】 解：∠CAB=∠BAD － ∠CAD=80°－ 50°=30°. 由 AD//BE，得 ∠ BAD +∠ ABE=180°. 所以∠ ABE=180°－ ∠BAD = 180°－ 80°= 100°, ∠ ABC=∠ ABE － ∠EBC=100° － 40°=60°. 在△ABC中， ∠ ACB =180° － ∠ABC － ∠ CAB = 180° － 60° － 30°=90°. 答：从B岛看A、C两岛的视角∠ ABC是60°, 从C岛看A、B两岛的视角∠ ACB是90°. 北 北 C A B D E 你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？ 探究与应用 【理解应用】 方法二： B D C E 北 A 1 2 50° 解：过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °, ∵ CF∥AD, 又AD ∥BE， ∴ CF∥ BE， ∴∠2＝∠CBE ＝40 ° ∴ ∠ACB＝∠1 ＋ ∠2 ＝50 ° ＋ 40 ° ＝90 ° F 探究与应用 【拓展提升】 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，写出∠BPC与∠A 之间的数量关系． 解：∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°- （∠ABC+∠ACB） =180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A ． B A C P 变式一　如图在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠A=60°,则∠BFC的度数为 ( ) A.118°　　　B.119°　　　 C.120°　　　D.121° 探究与应用 C 【拓展提升】 B A C F D E 变式二　如图在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC=115°, 则∠A的度数是 ( ) A.50° B.57.5° C.60° D.65° 探究与应用 A 【拓展提升】 B A C F 课堂小结与检测 【小结】 证法 应用 转化为一个平角 或同旁内角互补 三角形的 内角和等 于180 ° 辅助线 求角度 【检测】 课堂小结与检测 1.下列各组角中,属于同一个三角形的内角的是(　　) A.95°、75°、10° B.60°、73°、67° C.34°、36°、50° D.25°、160°、15° A 2.在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是_____三角形 . 直角 【检测】 课堂小结与检测 3.在△ABC中∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则∠A= ， ∠B= ，∠ C= . 60° 50° 70° 4.已知:如图所示,可求出∠1=　 °, ∠2= 　 °,∠3=　 °.  60 35 90 $$