13.3.1 三角形的内角 第2课时 课件 2025—2026学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第2课时 直角三角形中两锐角的关系 知识关联 1.三角形的内角和定理的内容是什么? 2.我们研究三角形的内角和定理采用了哪些方法? 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等180°. 思考并回答下列问题 度量法 剪拼法 折叠法 证明法 知识关联 下图所示是我们常用的一副直角三角板，观察这两个直角三角形，它们两锐角之和分别为多少？ 那对于任意直角三角形，这一结论是否还成立呢？ 两锐角之和分别为90° 探究与应用 【探究1】直角三角形的性质 由三角形内角和定理， 得∠ A+ ∠ B+ ∠ C = 180°, 即∠ A+ ∠ B+90°=180°, 所以∠ A + ∠ B = 90° . 由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ 如图, 在直角三角形ABC中，∠C = 90°， 探究与应用 【探究1】直角三角形的性质 A B C 直角三角形的两个锐角互余．　　 几何语言： 在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°．　 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 总结归纳 探究与应用 【理解应用】 例1 如图，∠C=∠D=90°，AD、BC相交于点E，比较∠CAE与∠DBE的大小关系？ 解：∠CAE与∠DBE相等.理由如下. ∵在△CAE和△DBE中， ∠C=∠D=90°，∠CEA=∠DEB， ∴∠CAE=90°-∠CEA， ∠DBE=90°-∠DEB， 即∠CAE=∠DBE. 变式一　如图在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC，BD⊥AE交AE的延长线于点D。若∠1=24°，则∠EAB等于 (　　) 探究与应用 【理解应用】 A.66°　　　 B.33°　　　 C.24°　　　 D.12° C C A B 变式二　如图，在△ABC中，CE、BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°, 则∠EBF的度数是　　　　 ,∠FBC的度数是　　　　.  探究与应用 【理解应用】 20° 40° 变式三　如图所示，DH⊥AB于点 H，AC⊥BD于点C，DH与AC相交于点E，仔细观察图形，回答以下问题: 探究与应用 【理解应用】 (1)图中有几个直角三角形? (2)∠AEH和∠B有什么关系?为什么? (3)若∠B=70°,∠A和∠CED各是多少度? 4个 相等 ∵DH⊥AB，AC⊥BD， ∴∠AEH+∠A＝90°，∠B+∠A＝90° ∴∠AEH=∠B. ∵AC⊥BD， ∴∠ACB＝90°，∴∠A=90°-∠B=20°. ∵∠AEH=∠B=70°,∴∠AEH=∠CED=70° 【探究2】直角三角形判定 探究与应用 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？ 思考 Lenovo (L) - 处理方式： 学生分小组活动，通过交流讨论，得出结论，组内成员畅所欲言，最后总结答案，公开展示，各个小组互相对比，教师给予评价。 探究与应用 【探究2】直角三角形判定 在△ABC中， 因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°， 所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形. 证明： 探究与应用 【探究2】直角三角形判定 A B C 几何语言： 在△ABC 中， ∵　∠A +∠B =90°， ∴　△ABC 是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 总结归纳 探究与应用 【理解应用】 例2 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ A C B D E ( ( 1 2 解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2, ∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形. 探究与应用 如图，AB、ED均垂直于BD，垂足分别是B，D，点C在BD上，且∠ACB＝∠CED.求证：△ACE是直角三角形． 【拓展提升】 探究与应用 【拓展提升】 证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠CDE＝90°. ∴∠CED＋∠DCE＝90°. ∵∠ACB＝∠CED， ∴∠ACB＋∠DCE＝90°. 又∵∠ACB＋∠DCE＋∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝90°. ∴△ACE是直角三角形． 探究与应用 【拓展提升】 判定一个三角形是直角三角形的方法 (1)根据定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)根据判定方法：有两个角互余的三角形是直角三角形． 总结归纳 课堂小结与检测 【小结】 直角三角形中两锐角关系 性质 直角三角形的两个锐角互余 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 1.如图∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。下列结论中错误的是 ( ) A.图中有三个直角三角形 B.∠1=∠2 C.∠1和∠B都是∠A的余角 D.∠2=∠A 【检测】 课堂小结与检测 B C B A D 2.如图,已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=40°，则∠D的度数为 (　 　) A.40°　　　B.50°　　　 C.60°　　　 D.70° 【检测】 课堂小结与检测 A B C D A 3.在△ABC中,满足下列条件:①∠A=60°,∠C=30°; ②∠A+∠B=∠C;③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;④∠A=90°-∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的有 (　　 ) A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个 【检测】 课堂小结与检测 C 4.如图,在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为(　　) A．50° B．60° C．30° D．40° 【检测】 课堂小结与检测 D 【检测】 课堂小结与检测 5. 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是 直角三角形吗？ 为什么？ 解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD， ∴∠CED=90°， ∴∠C+∠D=90°， ∵∠A=∠C， ∴∠A+∠D=90°， ∴△ABD是直角三角形. $$