13.3.2 三角形的外角 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.2 三角形的外角 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 三角形外角的定义 7. 课堂小结 3. 新课导入 5. 知识点2 三角形外角的性质 8. 当堂小练 CONTENTS 2. 知识回顾 9. 对接中考 10. 拓展与延伸 6. 知识点3 三角形外角和定理 1. 理解三角形的外角的概念,并能够在复杂图形中找出三角形的外角. 2. 掌握三角形外角的性质,会利用三角形外角的性质进行角度的计算和证明. 学习目标 知识回顾 三角形的内角和定理 文字语言 几何语言 图形 三角形的内角和等于180 在 ABC 中, ∠ A+∠ B+ ∠ C=180 直角三角形的性质与判定 文字语言 几何语言 图形 性质 直角三角形的两个锐角互余 在Rt ABC 中, ∵ ∠ C=90 , ∴∠ A+ ∠ B=90 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在 ABC 中, ∵ ∠ A+∠ B=90 , ∴∠ C=90 ,即 ABC是直角三角形 知识回顾 邻补角的概念:∠1和∠2有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补),具有这种关系的两个角,互为邻补角. 邻补角的性质:∠1+∠2=180 . C A B O 1 2 如果延长 ABC的边AB至点D,那么该延长线BD与相邻的边BC形成的角∠CBD具有什么样的性质呢? B C A D 新课导入 同学们,假设现在我们在一个巨大的三角形广场游玩.从顶点 A 出发,依次沿着 AB、BC、CA 边走回起点,这三次转身的角度藏着什么秘密?今天,就让我们一起探索三角形外角的性质! A B C 新课讲解 知识点1 三角形外角的定义 如图,把 ABC 的一边 BC 延长,得到∠ACD. 外角 B A C D 三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫作三角形的外角. 三角形外角的定义 新课讲解 外角 B A C D E 1. 延长 AC 到 E,∠BCE 是不是 ABC 的一个外角? 是 2. ∠DCE 是不是 ABC 的一个外角? 不是 三角形的外角应具备的条件: ①角的顶点是三角形的顶点. ②角的一边是三角形的一边. ③另一边是三角形中一边的延长线. 思考 总结 新课讲解 三角形的一个外角,就是三角形一个内角的邻补角. 向两个方向延长三角形的各边,可以画出一个三角形所有的外角. A B C 三角形的每一个顶点处有两个外角,它们互为对顶角,一个三角形共有六个外角. 新课讲解 例 1. 如图,∠BEC 是哪个三角形的外角?∠AEC 是哪个三角形的外角?∠EFD 是哪个三角形的外角? F A B C D E 解:∠BEC 是 AEC 的外角; ∠AEC 是 BEC 和 BEF 的外角; ∠EFD 是 BEF 和 DCF的外角. 新课讲解 例 2. 如图,点,,在直线上,点在线段上,则下列是 的外角的是 ( ) C A. B. C. D. 新课讲解 练一练 如图,点B,C分别在∠EAF的边AE,AF上,点D在线段AC上,则下列是 ABD的外角的是 ( ) A. ∠BCF B. ∠CBE C. ∠DBC D. ∠BDF D 新课讲解 1. 三角形的外角和它相邻的内角互为邻补角. 2. 三角形的外角在三角形的外部,但是不能错误地理解为三角形外部的角就是三角形的外角. 3. 三角形的外角具备3个特征: ①顶点在三角形的一个顶点上; ②一条边是三角形的一条边; ③另外一条边是三角形某条边的延长线. 4. 三角形共有6个外角.每个顶点处有2个外角. 注意 A B E F C D 新课讲解 知识点2 三角形外角的性质 思考 如图,在 ABC中,∠A=70 ,∠B=60 ,∠ACD是 ABC的一个外角.能由∠A,∠B求出∠ACD吗?如果能,∠ACD与∠A,∠B有什么关系? A B C D ( ( ( 70 60 解:由三角形内角和定理,得 ∠ACB=180 -∠A-∠B=180 -70 -60 =50 . 由平角的定义,得 ∠ACD=180 -∠ACB=180 -50 =130 . 又∠A+∠B=70 +60 =130 , 所以∠ACD=∠A+∠B. 新课讲解 思考 任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系? 证明:∵∠A+∠B+∠ACB=180 , ∴∠A+∠B=180 -∠ACB. ∵∠ACB+∠ACD=180 , ∴∠ACD=180 -∠ACB. ∴∠ACD=∠A+∠B. A B C D ( ( ( 新课讲解 三角形外角性质 符号语言: ∵ ∠ACD是 ABC的一个外角. ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论是由定理直接推出的结论.和定理一样,推论可以作为进一步推理的依据. 一般地,由三角形的内角和定理可以推出下面的推论: 新课讲解 例 3. ABC的外角∠CAE的平分线AD交BC的延长线于点D,∠B=35 ,∠DAE=60,求∠ACD 的度数. 方法点拨:利用三角形外角的性质,将∠ACD 转化为∠B+∠BAC 进行求解. 解:∵ AD 是∠CAE 的平分线,∠DAE=60, ∴∠CAE=2∠DAE=2 60=120. ∴∠BAC=180-∠CAE=180-120=60. ∵∠ACD 是 ABC的一个外角, ∴∠ACD=∠BAC+∠B=60+35=95. 新课讲解 例 4. 一个零件的形状如图13.3-10所示,按规定∠A应等于90 ,∠B,∠D应分别是20和30. 李叔叔量得∠BCD=142,就断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗? 思路导引: 解:方法一 延长DC 交AB 于点M. ∵∠BCD 是 BCM的一个外角, ∴∠BCD=∠B+∠BMD. ∵∠BMD是 ADM的一个外角, ∴∠BMD=∠A+∠D. ∴∠BCD=∠B+∠A+∠D=20+90+30=140≠142. ∴这个零件不合格. 解:方法二 连接AC 并延长. ∵∠1是 ACD的一个外角,∠2是 ACB的一个外角, ∴∠1=∠D+∠DAC,∠2=∠B+∠BAC. ∴ ∠BCD=∠1+∠2=∠D+∠B+∠BAC+∠DAC =∠D+∠B+∠BAD=30+20+90=140 ≠ 142. ∴这个零件不合格. 解:方法三 连接BD. ∵∠A=90, ∴∠ADB+∠ABD=90. ∵∠ADC=30,∠ABC=20, ∴∠CDB+∠CBD=90-30-20=40 . ∴∠DCB=180-40=140≠ 142. ∴这个零件不合格. 新课讲解 练一练 1. 如图所示,已知AB∥CD,∠1=45 ,∠2=35 ,则∠3的度数为_. 解析:∵AB∥CD, ∴∠BCD=∠1=45, ∴∠3=∠2+∠BCD=35+45=80. 80 新课讲解 练一练 2. 如图,CE是 ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E. 求证:∠BAC=∠B+2∠E. 解:∵∠1是 BCE的一个外角, ∴∠1=∠B+∠E. ∵CE是 ABC的外角∠ACD的角平分线, ∴∠1=∠2. ∵∠BAC是 ACE的一个外角, ∴∠BAC=∠E+∠2=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E, 即∠BAC=∠B+2∠E. A C E D B 1 2 新课讲解 1. 性质推论:三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角. 2. 当三角形的一个外角等于与它相邻的内角时,这个三角形是直角三角形; 当三角形的每个外角都大于与它相邻的内角时,这个三角形是锐角三角形; 当三角形的一个外角小于与它相邻的内角时,这个三角形是钝角三角形. 拓展 新课讲解 知识点3 三角形外角和定理 思考 如图, ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是 ABC的三个外角,请问它们之间的大小关系? 解:解法1 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠BAE=∠2+∠3, ∠CBF=∠1+∠3, ∠ACD=∠1+∠2. 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3). 由∠1+∠2+∠3=180 ,得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360 . 解:解法2 如图,∠BAE+∠1=180 , ① ∠CBF +∠2=180 ,② ∠ACD +∠3=180 ,③ 又∠1+ ∠2+ ∠3=180 , ①+ ②+ ③得 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 , 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 – 180 =360 . 新课讲解 三角形外角和 三角形的每一个顶点处有两个外角,它们互为对顶角,一个三角形共有六个外角.在每个顶点处各取个外角,则三角形的外角和为360. 如图,∠1+∠2+∠3=360. 三角形的每一个顶点处各有两个外角,三角形的外角和不是指六个外角的总和,而是说在三角形的每一个顶点处取一个外角,三个不同顶点处的外角和叫做三角形的外角和. 注意 课堂小结 三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的外角和等于360 . 性质 外角和 定义 当堂小练 1. 试说出下列图形中∠1和∠2的度数. 解:(1),. (2),. (3),. 60〫 80〫 1 2 (1) A B C 30〫 40〫 1 2 (2) A B C 40〫 2 1 (3) A B C 当堂小练 2. 判断下列观点是否正确. (1)三角形的外角都是钝角. ( ) (2)三角形的外角大于任何一个内角. ( ) (3)三角形的外角等于它的两个内角的和. ( ) (4)三角形的外角和等于360 . ( ) 分析:(1)三角形的外角是锐角、钝角或者直角. (2)三角形的外角大于任何一个不相邻内角. (3)三角形的外角等于它的不相邻两个内角的和. √ 当堂小练 3. 如图,∠ACD是 ABC的外角,CE平分∠ACD,若∠A=60 ,∠B=40 ,则∠ECD等于( ) A.40 B.45 C.50 D.55 解析:∵∠A=60 ,∠B=40 , ∴∠ACD=∠A+∠B=100 . ∵CE平分∠ACD, ∴∠ECD=50 . A B C D E C 当堂小练 4. 如图,CE是 ABC的外角∠ACD的平分线,CE交BA的延长线于点E,∠B=35,∠E=20,则∠ACD的度数为_ . 110 当堂小练 5. 如图,AB∥CD,AE与CD相交于点O,∠A=45 ,∠C=∠E.求∠C的度数. 解:∵AB//CD,∠A=45 , ∴∠1=∠A=45 . ∵∠1=∠C+∠E,∠C=∠E, ∴∠C= ∠1=22.5 . A C B D E 1 O 当堂小练 解:∵AD⊥BC, ∴∠ADC=∠ADB=90 . ∵∠ADC是 ABD的外角, ∴∠ADC=∠1+∠2=90 . ∵∠1=∠2, ∴∠1=∠2=45 . 6. 如图,AD⊥BC,∠1=∠2,∠C=65 ,求∠BAC的度数. B A D C 2 1 ∵∠ADB是 ACD的外角, ∴∠ADB=∠DAC+∠C=90 . ∵∠C=65 , ∴∠DAC=90 -∠C=25 . 则∠BAC=∠1+∠DAC=70 . 当堂小练 7. 如图,在 ABC中,D是边AB上一点,E是边AC上一点,BE,CD相交于点F,∠A=62,∠ACD=35,∠ABE=20.求∠BDC和∠BFD的度数. 解:∵∠BDC是 ADC的一个外角.∠A=62,∠ACD=35, ∴∠BDC=∠A+∠ACD=62+35=97. 在 BDF中,∠BDF+∠DBF+∠BFD=180, ∴∠BFD=180∠BDF∠DBE = 180 9720= 63. F A D E B C 62 35 97 当堂小练 8. 下图是可调躺椅示意图(数据如图),AE与BD的交点为C,且∠A,∠B,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠EFD=110,则图中∠D应_ (填“增加”或“减少”)_. 减少 10 当堂小练 9. 如图,有一艘渔船上午九点在A处沿正东方向航行,在A处测得灯塔C在北偏东60 方向上,行驶2小时到达B 处,测得灯塔C在北偏东15方向上,求∠C的度数及∠ DBC的度数. 解:∵在A处测得灯塔C在北偏东60方向上, ∴∠MAC=60. ∴易知∠CAB=30. ∵在B处测得灯塔C在北偏东15 方向上, ∴∠NBC=15.∴易知∠ABC=105. ∴∠C=180-∠CAB-∠ABC=180-30-105=45. ∴∠DBC=∠CAB+∠C=30+45 =75. 对接中考 1. 小明把一副含有45、30的直角三角板如图摆放,若∠C=∠F=90,∠A=45,∠D=30,则∠ +∠ 等于( ) A.180 B.210 C.360 D.270 解析:∵∠ 、∠ 是三角形的外角, ∴∠ =∠1+∠D,∠ =∠2+∠F. ∵∠1=∠3,∠2=∠4, ∴∠ +∠ =∠1+∠D+∠2+ ∠F =∠3+∠4+∠D+∠ =210. B E B C A F D 1 2 3 4 对接中考 2. 如图,一束平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后,其折射光线与一束经 过光心的直线交于点 ,点为焦点,若 , ,则 的 度数是( ) C A. B. C. D. 拓展与延伸 1. 如图,点在轴上,点在轴上,的平分线交的外角 的平分线于点,则 的度数是( ) B A. B. C. D. 解:的平分线交 的外角的平分线于点, , , , , , . 拓展与延伸 2. 已知五角星如图所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 分析:利用三角形内角和定理和三角形外角的性质, 将∠A,∠B,∠C,∠D,∠E转化在同一个三角形中.仔细观察五角星,并在五角星中构建出 BGD和 CFE. C A B E F G D 解:∵在 BGD中,∠AGF是它的外角, ∴∠AGF=∠B+∠D. ∵在 CFE中,∠AFG是它的外角, ∴∠AFG=∠C+∠E. ∵在 AFG中,∠A、∠AFG、∠AGF是三个内角, ∴∠A+∠AFG+∠AGF=180 , 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180 . $$