吉林省松原市前郭县西部学区2024—2025学年下学期期末教学质量检测七年级数学试卷

2025年七年级第二学期期末教学质量检测 数学 题号 一 二 三 总分 分值 命题人：韩磊 审题单位：长春市卓越教育 开启时间：2025 年 7 月 3 日 一．选择题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 1 ．（3 分）下列采用的调查方式中，合适的是 ( ) A ．调查观众对电影《哪吒 2》的满意度，采用全面调查 B ．调查广东省中学生的户外体锻时间，采用抽样调查 C ．对某批次的新能源电池使用寿命检测，采用全面调查 D ．调查某班男生的身高情况，采用抽样调查 2 ．（3 分）若 a＜b ，则下列结论一定成立的是 ( ) A ． - 4a＞ - 4b B． ＞ C． 一 2 ＞ 一 2 D ．ac2＜bc2 ( 2x 一 4y = 1 ② )3 ．（3 分）解方程组3x + 2y = 3①中，下列步骤能消元的是 ( ) A ．①×2 - ② B ．①×2 - ②×3 C ．①×2+②×3 D ．① - ②×3 4 ．（3 分）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以表示数 2 的点为圆心，正方形的对角线长为半径 画弧，交数轴于点 A 和点 B ，则点 A 表示的数是 ( ) A ．0.6 B ． 2 C ． 2 一 2 D ．2 一 2 5 ．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，A（8 ，0），B（ - 4 ，0），C（8 ，8），D（ - 4 ，12），点 E 在 x 轴上，满足∠BED = ∠DEC，则点 E 的坐标为 ( ) ( 第四题图 ) ( 第五题图 )第六题图 A ．（2 ，0） B ．（6 ，0） C ．（8 ，0） D ．（2 ，0）或（8 ，0） 6 ．（3 分）如图，AD∥BC，∠D = ∠ABC，点 E 是边 DC 上一点，连接 AE 交 BC 的延长线于点 H．点 F 是边 AB 上一点．使得∠FBE = ∠FEB ，作∠FEH的角平分线 EG 交 BH 于点 G ，若∠DEH＝100 ° , 则∠BEG 的度数为 ( ) A ．30 ° B ．40 ° C ．50 ° D ．60 ° 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 7 ．（3 分）若 3a(a ≠ 0)的值是有理数，则 a 的最小偶数值是 ． 8 ．（3 分）已知二元一次方程组3x (5x) +一 y (8)y==一 1 (2)025 ，则 2x+9y 的值为 ． 9 ．（3 分）若关于 x，y 的方程组y (3)y==3 一 1 的解满足 3x - y≤1 ，则 m 的最大整数解为 ． 10 ．（3 分）吃元宵是元宵节的传统习俗之一，某食品厂为了解市民对 2024 年销售较好的 A ，B ，C，D 四种元宵的喜好程度，在元宵节前对某小区居民进行抽样调查（每人只能选择一种元宵），并将调查 结果绘制成如图所示不完整的扇形统计图，已知选择 A 种元宵的有 75 人，选择 B 种元宵的有 200 人， 则选择 C 种元宵的有 人． ( 第十题图 )第十一题图 11 ．（3 分）将一副三角板按如图放置， ∠BAC = ∠DAE ＝90° , ∠B ＝45° , ∠E ＝60° , 则：①∠1 = ∠3； ②∠CAD+∠2 ＝180° ; ③如果∠2 ＝30° , 则有 AC∥DE；④如果∠2 ＝45° , 则有BC∥AD ．上述结论 中正确的是 （填写序号）． 三．解答题（共 11 小题，满分 87 分） 12 ．（6 分）已知实数 a ，b ，c ，d，e，f，且 a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，e 的绝对值为 2，f 的算 术平方根是 8 ，求ab+ +e2 + 3 f 的值． 13 ．（6 分）雅西高速公路于 2012 年 4 月 29 日正式通车，西昌到成都全长 420 千米，一辆小汽车和一辆 客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过 2.5 小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶 70 千米，求 出小汽车和客车的平均速度． 保密★启用前 【七年级数学试卷 第 1 页 共 4 页】 14 ．（6 分）某商店以每辆 250 元的进价购入 200 辆自行车，并以每辆 275 元的价格销售．两个月后自行 车的销售款已超过这批自行车进货款的，这时至少已售出多少辆自行车？ 15 ．（7 分）如图，图（1）是某款共享单车的实物图，图（2）是其结构示意图，其中AB 、CD 都与地面 l 平行， ∠BCD ＝60 ° , ∠BAC ＝55 ° , 如果 AM∥BC，求∠MAC 的度数． 16 ．（7 分）如图，直角坐标系中，△ABC 的顶点都在网格点上，其中，C 点坐标为（1 ，2）． （1）填空：点 A 的坐标是 ，点 B 的坐标是 ； （2）将△ABC 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到△A ′B ′C ′．请写出△A ′ B ′C ′ 的三个顶点坐标； （3）求△ABC 的面积． 17 ．（7 分）现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖 50 千克，其中各种糖的质量和单价如表． 品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 质量/千克 x y 20 单价/（元/千克） 35 30 25 已知乙种糖的质量是甲种糖的质量的 2 倍，且商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖 的总质量）作为混合糖的单价． （1）求表中 x，y 的值． （2）要使混合糖的单价每千克降低 2 元，需加入甲、乙、丙三种糖中的哪一种糖？加入多少千克？ 保密★启用前 【七年级数学试卷 第 2 页 共 4 页】 学科网（北京）股份有限公司 18 ．（8 分）数学文化有利于激发学生数学学习兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校 七年级学生中随机抽取 20 名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和 分析（成绩均不低于 70 分，用 x 表示，共分三组：A.90≤x≤100 ，B.80≤x＜90 ，C.70≤x＜80）． 七年级 20 名学生的竞赛成绩如下： 85 ，87 ，76 ，87 ，87 ，80 ，82 ，84 ，74 ，87 ，92 ，78 ，78 ，93 ，95 ，96 ，81 ，82 ，97 ，98． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填写表格： 竞赛成绩（分） 90≤x≤100（A） 80≤x＜90（B） 70≤x＜80（C） 频数 10 频率 0.5 0.2 （2）根据以上数据，画出该校七年级学生竞赛成绩扇形统计图（如图），则扇形统计图中A 组对应的 圆心角的度数是 ° ; （3）该校七年级学生有 180 人，估计该校七年级学生中数学文化知识为“优秀 ”（x≥80）的总共有多 少人？ 19．（8 分）对于实数，我们规定：用符号[ a]表示不大于 a 的最大整数，称[ a]为 a 的根整数，例如：[ 9] = 3， [ 10] = 3． （1）根据规定，计算：[ 37] = ； （2）已知 x 为非负整数，x 满足以下方程： ①若方程[ x] = 2 ，则 x 的所有取值为 ； ②解方程：[ 18 − x] − [ x − 6] = 2． （3）如果我们对a 连续求根整数，直到结果为 1 为止．例如：对 10 连续求根整数2 次，[ 10] = 3 → [ 3] = 1， 这时候结果为 1 ．同理对 253 连续求根整数，至少 3 次之后结果为 1 ．试求至少需要进行 4 次连续求 根整数运算后结果才为 1 的所有正整数中最小的整数． 20 ．（10 分）【阅读思考】阅读下列材料： “已知 x - y ＝2 ，且 x＞1，y＜0 ，试确定 x+y 的取值范围”有如下解法： 解： ∵x - y ＝2， ∴x＝y+2 又∵x＞1 ∴x＝y+2 ∴y＞ - 1 又∵y＜0 ∴ - 1＜y＜0① 同理 1＜x＜2② 由①+②得 - 1+1＜x+y＜0+2 ∴x+y 的取值范围是 0＜x+y＜2 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知 x - y ＝3 ，且 x＞2，y＜1 ，则 x+y 的取值范围是 ； （2）已知 x - y ＝a ，且 x＜ - 1，y＞1 ，试确定 x+y 的取值范围（用含有 a 的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知 x+y ＝2 ，且 x＞1，y＞ - 4 ，试确定 x - y 的取值范围． 保密★启用前 【七年级数学试卷 第 3 页 共 4 页】 学科网（北京）股份有限公司 21．（10 分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 C 按如图 1 方式叠放在一起，其中∠A ＝60 ° , ∠D ＝30 ° , ∠E = ∠B ＝45 ° . （1）填空： ∠1 与∠3 的数量关系： ；理由是 ； （2）直接写出∠2 与∠ACB 的数量关系： ； （3）如图 2 ，当点 E 在直线 AC 的上方时，将三角尺 ACD 固定不动，改变三角尺 BCE 的位置，但始 终保持两个三角尺的顶点 C 重合；探究一下问题： ①当 BE∥AD 时．画出图形，并求出∠ACE 的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时∠ACE 角度所有可能的值． 22 ．（12 分）在图所示的平面直角坐标系中表示下面各点： A（0 ，3），B（1 ， - 3），C（3 ， - 5），D（ - 3 ， - 5），E（3 ，5），F（5 ，7）． （1）A 点到原点 O 的距离是 个单位长． （2）将点 C 向左平移 6 个单位，它会与点 重合． （3）连接 CE，则直线 CE 与y 轴是什么位置关系？ （4）点 F 到 x、y 轴的距离分别是多少？ 保密★启用前 【七年级数学试卷 第 4 页 共 4 页】 学科网（北京）股份有限公司 2025年七年级第二学期期末教学质量检测 数学 参考答案与试题解析 一．选择题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 1 ．（3 分）下列采用的调查方式中，合适的是 ( ) A ．调查观众对电影《哪吒 2》的满意度，采用全面调查 B ．调查广东省中学生的户外体锻时间，采用抽样调查 C ．对某批次的新能源电池使用寿命检测，采用全面调查 D ．调查某班男生的身高情况，采用抽样调查 【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时 长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代 表性，直接关系到对总体估计的准确程度；据此进行判断即可． 【解答】解：调查观众对电影《哪吒 2》的满意度，采用抽样调查，则 A 不符合题意， 调查广东省中学生的户外体锻时间，采用抽样调查，则 B 符合题意， 对某批次的新能源电池使用寿命检测，采用抽样调查，则 C 不符合题意， 调查某班男生的身高情况，采用全面调查，则 D 不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查全面调查与抽样调查，熟练掌握其定义及优缺点是解题的关键． 2 ．（3 分）若 a＜b ，则下列结论一定成立的是 ( ) A ． - 4a＞ - 4b B． ＞ C． 一 2 ＞ 一 2 D ．ac2＜bc2 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：若 a＜b， 两边同时乘 - 4 得 - 4a＞ - 4b ，则 A 符合题意， 两边同时除以 3 得 ＜，则 B 不符合题意， 两边同时除以 5 再同时减去 2 得 一 2 ＜ 一 2 ，则 C 不符合题意， 当 c ＝0 时，ac2 ＝bc2 ，则 D 不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． ( 2x 一 4y = 1 ② )3 ．（3 分）解方程组3x + 2y = 3①中，下列步骤能消元的是 ( ) A ．①×2 - ② B ．①×2 - ②×3 C ．①×2+②×3 D ．① - ②×3 【分析】利用加减消元法即可得出答案． ( 【解答】 解： )3x + 2y = 3① 2x 一 4y = 1② , 要消去未知数y ，则需①×2+② , 要消去未知数 x ，则需①×② - ②×3． 故选：B． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 4 ．（3 分）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以表示数 2 的点为圆心，正方形的对角线长为半径 画弧，交数轴于点 A 和点 B ，则点 A 表示的数是 ( ) A ．0.6 B ． 2 C ． 2 一 2 D ．2 一 2 【分析】先利用勾股定理求得正方形对角线的长度，从而确定点 A 所表示的数． 【解答】解：正方形的对角线长为 2， ∴A 点所表示的数为 2一 2， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的减法，实数与数轴，勾股定理等，建立数形结合思想的解题意识是关键． 5 ．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，A（8 ，0），B（ - 4 ，0），C（8 ，8），D（ - 4 ，12），点 E 在 x 轴上，满足∠BED = ∠DEC，则点 E 的坐标为 ( ) A ．（2 ，0） B ．（6 ，0） C ．（8 ，0） D ．（2 ，0）或（8 ，0） 【分析】两种情况： （1）作 DT 垂直⊥AC 于 T 点，得正方形，利用正方形的性质可得结论； （2）过 D 作 DH⊥CE 于 H，利用角平分线的性质与勾股定理可得结论． 【解答】解：分两种情况： （1）如图，过 D 作 DT⊥AC 于 T， ∵A（8 ，0），B（ - 4 ，0），C（8 ，8），D（ - 4 ，12）， ∴ ∠DBA = ∠BAT= ∠ATD ＝90° , BD＝BA ＝12， ∴四边形 ABDT 是正方形， 连接 AD ，则∠BAD = ∠TAD ＝45° , ∴E，A 重合时，有∠BED = ∠DEC， ∴E 点的坐标为（8 ，0）； 保密★启用前 学科网（北京）股份有限公司 【七年级数学试卷 ·参考答案 第 1 页 共 7 页】 （2）2 如图，过 D 作 DH⊥EC 于 H， ∵ ∠BED = ∠DEC，DB⊥BE， ∴DB＝DH＝12， 又∵DE＝DE， ∴Rt△BDE≌Rt△HDE（HL）， ∴HE＝BE， 由（1）知四边形 ABDT 是正方形， ∴BD＝DT＝AB＝AT＝12， ∴DH＝DT＝12， 又∵CD ＝CD， ∴Rt△DTC≌Rt△DHC（HL）， ∴CT＝CH， ∵AC ＝8， ∴CT＝CH＝AT - AC＝4， 设 BE＝x ，则 HE＝x， ∴CE＝HE+CH＝x+4， AE＝AB - BE ＝12 - x， 在 Rt△AEC 中，由勾股定理可得： AE2+AC2 ＝CE2 ，即：（12 - x）2+82 ＝（x+4）2， 解得：x ＝6， ∴BE ＝6， ∴OE＝BE - OB ＝6 - 4 ＝2， 此时 E（2 ，0）， 综上所述：E（2 ，0）或（8 ，0）， 故答案选：D． 【点评】本题考查正方形的性质，角平分线的性质，平面直角坐标系内点的坐标特征，还有斜边直角 边公理，勾股定理的计算，掌握相关知识点是解题的关键． 6 ．（3 分）如图，AD∥BC，∠D = ∠ABC，点 E 是边 DC 上一点，连接 AE 交 BC 的延长线于点 H．点 F 是边 AB 上一点．使得∠FBE = ∠FEB，作∠FEH的角平分线 EG 交 BH 于点 G，若∠DEH＝100° , 则 ∠BEG 的度数为 ( ) A ．30° B ．40° C ．50° D ．60° 【分析】AD∥BC，∠D = ∠ABC，则 AB∥CD，则∠AEF＝180° - ∠AED - ∠BEG ＝180° - 2β , 在△AEF 中，100°+2α+180° - 2β = 180° , 故β - α =40° , 即可求解． 【解答】解：设 FBE = ∠FEB = α , 则∠AFE ＝2α , ∠FEH的角平分线为 EG ，设∠GEH= ∠GEF= β , ∵AD∥BC， ∴ ∠ABC+∠BAD ＝180° , 而∠D = ∠ABC， ∴ ∠D+∠BAD ＝180° , ∴AB∥CD， ∠DEH＝100° , 则∠CEH= ∠FAE ＝80° , ∠AEF＝180° - ∠FEG - ∠HEG ＝180° - 2β , 在△AEF 中，80°+2α+180° - 2β = 180° 故β - α =40° , 而∠BEG = ∠FEG - ∠FEB = β - α =40° , 故选：B． 【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线、外角定理，本题关键是落脚于△AEF 内角和 为 180° , 即 100°+2α+180° - 2β = 180° , 题目难度较大． 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 7 ．（3 分）若 3a(a ≠ 0)的值是有理数，则 a 的最小偶数值是 12 ． 【分析】根据有理数的概念和算术平方根的求法进行判断即可． 【解答】解：由条件可知 a ＝12 ，此时 3 × 12 = 36 = 6 是有理数， 故答案为：12． 【点评】本题考查有理数的概念、求一个数的算术平方根，熟练掌握以上知识点是关键． 8 ．（3 分）已知二元一次方程组3x (5x) +一 y (8)y==一 1 (2)025 ，则 2x+9y 的值为 2026 ． 【分析】利用第一个方程减去第二个方程，即可得出答案． ( 3x 一 y =一 1 ② )【解答】解：5x + 8y = 2025① , ① - ② , 得 2x+y ＝2026． 故答案为：2026． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 9 ．（3 分）若关于 x，y 的方程组x+y (3)y==3 一 1 的解满足 3x - y≤1 ，则 m 的最大整数解为 0 ． 【分析】把方程组中的两个方程左右两边分别相加可得 3x - y ＝3m+1 ，则 3m+1≤1 ，解不等式即可得 保密★启用前 【七年级数学试卷 ·参考答案 第 2 页 共 7 页】 学科网（北京）股份有限公司 到答案． ( x + 2y = 3m 一 1 ② , )【解答】解：2x 一 3y = 2① ①+②得：3x - y ＝3m+1， ∵关于 x，y 的方程组的解满足 3x - y≤1， ∴3m+1≤1， ∴m≤0， ∴m 的最大整数解为 0， 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是关键． 10 ．（3 分）吃元宵是元宵节的传统习俗之一，某食品厂为了解市民对 2024 年销售较好的 A ，B ，C，D 四种元宵的喜好程度，在元宵节前对某小区居民进行抽样调查（每人只能选择一种元宵），并将调查 结果绘制成如图所示不完整的扇形统计图，已知选择 A 种元宵的有 75 人，选择 B 种元宵的有 200 人， 则选择 C 种元宵的有 125 人． 【分析】先用选择 B 种元宵的人数除以其所占百分比可得总人数，再用总人数分别减去其它人数可得 选择 C 种元宵的人数． 【解答】解：总人数为：200÷40% ＝500（人）， 选择 C 种元宵的有：500 - 200 - 75 - 500×20% ＝125（人）， 故答案为：125． 【点评】本题考查的是扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 11．（3 分）将一副三角板按如图放置， ∠BAC = ∠DAE ＝90° , ∠B ＝45° , ∠E ＝60° , 则：①∠1 = ∠3； ②∠CAD+∠2 ＝180° ; ③如果∠2 ＝30° , 则有 AC∥DE；④如果∠2 ＝45° , 则有BC∥AD ．上述结论 中正确的是 ①②③④ （填写序号）． 【分析】根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【解答】解：①∵∠BAC = ∠DAE ＝90° , ∴ ∠1+∠2 = ∠2+∠3 ＝90° , ∴ ∠1 = ∠3 ，故①正确； ②∵∠1+∠2+∠2+∠3 ＝180° , ∴ ∠CAD+∠2 ＝180° , 故②正确； ③∵∠2 ＝30° , ∴ ∠1 = ∠E ＝60° , ∴AC∥DE，故③正确； ④∵∠2 ＝45° , ∴ ∠3 = ∠B ＝45° , ∴BC∥AD ，故④正确． 故答案为：①②③④. 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 三．解答题（共 11 小题，满分 87 分） 12 ．（6 分）已知实数 a ，b ，c ，d，e，f，且 a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，e 的绝对值为 2，f 的算 术平方根是 8 ，求ab+ +e2 + 3 f 的值． 【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出 c+d，ab 及 e 的值，代入计算即可． 【解答】解：由题意可知：ab ＝1 ，c+d＝0 ，e = ± 2，f＝64， ∴e2 = ( ± 2 ）2 ＝2 ，3 f = 3 64 = 4， ∴ab+ +e2+ 3 f = +0+2+4 ＝6． 【点评】此题考查了实数的运算，平方根，绝对值，以及倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13 ．（6 分）雅西高速公路于 2012 年 4 月 29 日正式通车，西昌到成都全长 420 千米，一辆小汽车和一辆 客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过 2.5 小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶 70 千米，求 出小汽车和客车的平均速度． 【分析】设小汽车的速度为 xkm/h ，客车的速度为ykm/h ，根据客车与小汽车的路程之和等于总路程， 相遇时，小汽车比客车多行驶 70 千米，列出方程组即可． 【解答】解：设小汽车和客车的平均速度分别为 x 千米/小时和y 千米/小时， 由题意得： 2.5x + 2.5y = 420 2.5x 一 2.5y = 70 ( = 98 = 70 ) ( y )解得x 答：小汽车的速度为 98km/h ，客车的速度为 70km/h． 【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程组 解答即可． 14 ．（6 分）某商店以每辆 250 元的进价购入 200 辆自行车，并以每辆 275 元的价格销售．两个月后自行 车的销售款已超过这批自行车进货款的 ，这时至少已售出多少辆自行车？ ( 3 )【分析】设至少已售出 x 辆自行车，两个月后自行车的销售款已超过这批自行车进货款的4，不等关系 为：销售收入＞ 总成本，列出不等式求解，然后找出最小整数解即可． ( 11 ， ∵ x 应取正整数， ∴ x 应取 137 ． 答：这时至少已售出 137 辆自行车． )【解答】解：设已售出 x 辆自行车， 根据题意，得：275x＞ ×250×200， 解得：x＞136 4 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所 求的量的不等关系． 保密★启用前 【七年级数学试卷 ·参考答案 第 3 页 共 7 页】 学科网（北京）股份有限公司 15 ．（7 分）如图，图（1）是某款共享单车的实物图，图（2）是其结构示意图，其中AB 、CD 都与地面 l 平行， ∠BCD ＝60° , ∠BAC ＝55° , 如果 AM∥BC，求∠MAC 的度数． 【分析】由平行线的性质推出∠ABC = ∠BCD ＝60° , ∠MAC = ∠ACB，由三角形内角和定理求出∠ACB 的度数，即可得到∠MAC 的度数． 【解答】解： ∵AB ，CD 都与地面 l 平行， ∴AB∥CD， ∴ ∠ABC = ∠BCD ＝60° , ∵ ∠BAC ＝55° , ∴ ∠ACB ＝180° - 55° - 60° =65° , ∵AM∥BC， ∴ ∠MAC = ∠ACB ＝65° . 【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出∠ABC = ∠BCD， ∠MAC = ∠ACB． 16 ．（7 分）如图，直角坐标系中，△ABC 的顶点都在网格点上，其中，C 点坐标为（1 ，2）． （1）填空：点 A 的坐标是 （2 ， - 1） ，点 B 的坐标是 （4 ，3） ； （2）将△ABC 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到△A′B ′ C′ ．请写出△A′B ′ C′ 的三个顶点坐标； （3）求△ABC 的面积． 【分析】（1）利用点的坐标的表示方法写出A 点和 B 点坐标； （2）利用点的坐标平移规律写出点A ′ 、B ′ 、C′的坐标，然后描点得到△A′B ′C′； （3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可得到△ABC 的面积． 【解答】解：（1）A（2 ， - 1），B（4 ，3）； 故答案为（2 ， - 1），（4 ，3）； （2）如图，△A′B ′ C′为所作；A ′（0 ，0），B ′（2 ，4），C′（ - 1 ，3）； （3）△ABC 的面积＝3×4- ×2×4- ×3×1- ×3×1 ＝5． 【点评】本题考查了坐标与图形变化 - 平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加 上（或减去）一个整数 a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移 a 个单位长度；如果把它 各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数 a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移 a 个单 位长度． 17 ．（7 分）现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖 50 千克，其中各种糖的质量和单价如表． 品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 质量/千克 x y 20 单价/（元/千克） 35 30 25 已知乙种糖的质量是甲种糖的质量的 2 倍，且商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷ 混合糖 的总质量）作为混合糖的单价． （1）求表中 x，y 的值． （2）要使混合糖的单价每千克降低 2 元，需加入甲、乙、丙三种糖中的哪一种糖？加入多少千克？ 【分析】（1）根据“现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖 50 千克，且乙种糖的质量是甲种糖的质量的 2 倍” ，可列出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）求出混合糖的单价，结果甲、乙、丙三种糖及混合糖单价间的关系，可得出需加入丙种糖，设 需加入丙种糖 m 千克，根据加入丙种糖后混合糖的单价每千克降低 2 元，可列出关于 m 的一元一次方 程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：y (x) 2 (y) 20 = 50， 解得：y (x) 20 (10)． 答：x 的值为 10，y 的值为 20； （2）混合糖的单价为 =29（元/千克）， ∵35＞30＞29＞25， ∴要使混合糖的单价每千克降低 2 元，需加入丙种糖． 设需加入丙种糖 m 千克， 根据题意得： =29 - 2， 解得：m ＝50． 答：需加入丙种糖，加入 50 千克． 【点评】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方 程组（一元一次方程）是解题的关键． 保密★启用前 【七年级数学试卷 ·参考答案 第 4 页 共 7 页】 学科网（北京）股份有限公司 18 ．（8 分）数学文化有利于激发学生数学学习兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校 七年级学生中随机抽取 20 名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和 分析（成绩均不低于 70 分，用 x 表示，共分三组：A.90≤x≤100 ，B.80≤x＜90 ，C.70≤x＜80）． 七年级 20 名学生的竞赛成绩如下： 85 ，87 ，76 ，87 ，87 ，80 ，82 ，84 ，74 ，87 ，92 ，78 ，78 ，93 ，95 ，96 ，81 ，82 ，97 ，98． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填写表格： 竞赛成绩（分） 90≤x≤100（A） 80≤x＜90（B） 70≤x＜80（C） 频数 6 10 4 频率 0.3 0.5 0.2 （2）根据以上数据，画出该校七年级学生竞赛成绩扇形统计图（如图），则扇形统计图中A 组对应的 圆心角的度数是 108 ° ; （3）该校七年级学生有 180 人，估计该校七年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥80）的总共有多少 人？ 【分析】（1）根据已知数据求解即可； （2）用 360°乘 A 组频率即可； （3）用总人数乘以样本中A 、B 组频率和即可． 【解答】解：（1）补全表格如下： 竞赛成绩（分） 90≤x≤100（A） 80≤x＜90（B） 70≤x＜80（C） 频数 6 10 4 频率 0.3 0.5 0.2 （2）扇形统计图中 A 组对应的圆心角的度数是 360°×0.3 ＝108° , 故答案为：108； （3）180×（0.3+0.5）＝144（人）， 答：估计该校七年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥80）的总共有 144 人． 【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键． 19．（8 分）对于实数，我们规定：用符号[ a]表示不大于 a 的最大整数，称[ a]为 a 的根整数，例如：[ 9] = 3， [ 10] = 3． （1）根据规定，计算：[ 37] = 6 ； （2）已知 x 为非负整数，x 满足以下方程： ①若方程[ x] = 2 ，则 x 的所有取值为 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ； ②解方程：[ 18 - x] - [ x - 6] = 2． （3）如果我们对a 连续求根整数，直到结果为 1 为止．例如：对 10 连续求根整数2 次，[ 10] = 3 → [ 3] = 1， 这时候结果为 1 ．同理对 253 连续求根整数，至少 3 次之后结果为 1 ．试求至少需要进行 4 次连续求 根整数运算后结果才为 1 的所有正整数中最小的整数． 【分析】（1）根据无理数大小的估算方法求解即可； （2）①根据新定义列出关于 x 的不等式，求解 x 的整数值即可； ②先求出 x 的取值范围，估算出 18 - x和 x - 6的取值范围，然后代入方程内验证，求得 x 的整数值； （3）逆向推理，求出四次连续求根整数运算的数的取值范围，求其最小值即可． 【解答】解：（1） ∵6= 36＜ 37＜ 49 =7， ∴[ 37] ＝6； 故答案为：6； （2）①∵[ x] ＝2， ∴2≤ x＜3， ∴4≤x＜9， ∴x 可取 4 ，5 ，6 ，7 ，8； 故答案为：4 ，5 ，6 ，7 ，8； ②∵二次根式有异议， ∴8-x≥≥00， ∴6≤x≤12， ∴6≤18 - x≤12 ，0≤x - 6≤6， ∴2＜ 6 ≤ 18 - x ≤ 12＜4 ，0≤ x - 6 ≤ 6＜3， ∴[ 18 - x] ＝3 ，[ x - 6] ＝1， ∴ 18 - x ≥3 ，1≤ x - 6＜2， ∴x≤9 且 7≤x＜10， ∴x ＝7 ，8 ，9； （3）令[ a] ＝1 ，[ b] ＝a ，[ c] ＝b ，[ d] ＝c ，其中，a ，b ，c ，d 均为正整数，a ，b ，c ，d 均不为 1， ∴1≤a＜4 ，即 2≤a≤3， ∴4≤b＜16 ，即 4≤b≤15， ∴16≤c＜225 ，即 16≤c≤50176， ∴256≤d＜501762 ，即 256≤d＜501762 - 1， ∴d 的最小值为 256 ，即需要进行 4 次连续求根整数运算后结果才为 1 的所有正整数中最小的整数为 256． 【点评】本题主要考查了新定义，根据新定义列出关于未知数的不等式是本题解题的关键． 20 ．（10 分）【阅读思考】阅读下列材料： “已知 x - y ＝2 ，且 x＞1，y＜0 ，试确定 x+y 的取值范围”有如下解法： 解： ∵x - y ＝2， ∴x＝y+2 又∵x＞1 ∴x＝y+2 ∴y＞ - 1 又∵y＜0 ∴ - 1＜y＜0① 同理 1＜x＜2② 由①+②得 - 1+1＜x+y＜0+2 ∴x+y 的取值范围是 0＜x+y＜2 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知 x - y ＝3 ，且 x＞2，y＜1 ，则 x+y 的取值范围是 1＜x+y＜5 ； （2）已知 x - y ＝a ，且 x＜ - 1，y＞1 ，试确定 x+y 的取值范围（用含有 a 的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知 x+y ＝2 ，且 x＞1，y＞ - 4 ，试确定 x - y 的取值范围． 【分析】（1）根据已知算式求出y 、x 的范围，再求出答案即可； （2）根据已知算式求出y 、x 的范围，再求出答案即可； 保密★启用前 【七年级数学试卷 ·参考答案 第 5 页 共 7 页】 学科网（北京）股份有限公司 （3）根据已知算式求出y 、x 的范围，再求出答案即可． 【解答】解：（1） ∵x - y ＝3， ∴x＝y+3， 又∵x＞2， ∴x＝y+3＞2， ∴y＞ - 1， 又∵y＜1， ∴ - 1＜y＜1① , 同理得：2＜x＜4② , 由①+②得 - 1+2＜x+y＜1+4， ∴x+y 的取值范围是 1＜x+y＜5， 故答案为：1＜x+y＜5； （2） ∵x - y ＝a， ∴x＝y+a， 又∵x＜ - 1， ∴y+a＜ - 1， ∴y＜ - a - 1， 又∵y＞1， ∴1＜y＜ - a - 1① , 同理得：a+1＜x＜ - 1② , 由①+②得 1+a+1＜y+x＜ - a - 1+（ - 1）， ∴x+y 的取值范围是 a+2＜x+y＜ - a - 2； （3） ∵x+y ＝2， ∴x ＝2 - y， 又∵x＞1 ， ∴2 - y＞1， ∴y＜1， 又∵y＞ - 4， ∴ - 4＜y＜1， ∴ - 1＜ - y＜4① , 同理得：1＜x＜6② , 由①+②得 0＜x - y＜10， ∴x+y 的取值范围是 0＜x - y＜10． 【点评】本题考查了解一元一次不等式、列代数式等知识点，能分别求出 x、y 的范围是解此题的关键， 注意：求解过程类似． 21．（10 分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 C 按如图 1 方式叠放在一起，其中∠A ＝60° , ∠D ＝30° , ∠E = ∠B ＝45° . （1）填空： ∠1 与∠3 的数量关系： ∠1 = ∠3 ；理由是 同角的余角相等 ； （2）直接写出∠2 与∠ACB 的数量关系： ∠2+∠ACB ＝180° ; （3）如图 2 ，当点 E 在直线 AC 的上方时，将三角尺 ACD 固定不动，改变三角尺 BCE 的位置，但始 终保持两个三角尺的顶点 C 重合；探究一下问题： ①当BE∥AD 时．画出图形，并求出∠ACE 的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时∠ACE 角度所有可能的值． 【分析】（1）由直角三角形中∠ACD = ∠BCE ＝90° , 可知∠1 与∠3 都是∠2 的余角，根据同角的余 角相等即可得出结论； （2）结合图形可得∠1+∠2+∠3 = ∠ACB ，则可求解； （3） ①如图 3 ，画出图形，作 CF∥AD ，可推出∠DCE = ∠D+∠E ＝30°+45° = 75° , 所以∠ACE = ∠ACD+∠DCE ＝90°+75° = 165° ; ②分四种情况讨论，①BC∥AD ，②BE∥AC，③CE∥AD ，④BE∥CD ，画出图形，结合平行线的性质 与进行求解即可． 【解答】解：（1） ∵ ∠ACD = ∠BCE ＝90° , ∴ ∠1+∠2 = ∠2+∠3 ＝90° , ∴ ∠1 = ∠3（同角的余角相等）， 故答案为： ∠1 = ∠3 ，同角的余角相等； （2） ∵ ∠1+∠2 = ∠2+∠3 ＝90° , ∴ ∠1+∠2+∠3+∠2 ＝180 ∵ ∠1+∠2+∠3 = ∠ACB， ∴ ∠2+∠ACB ＝180° , 故答案为： ∠2+∠ACB ＝180° ; （3）①如图 3 ，当 BE∥AD 时，作 CF∥AD， ∵BE∥AD ，CF∥AD， ∴BE∥AD∥CF， ∴ ∠ECF= ∠E ＝45° , ∠DCF= ∠D ＝30° , ∴ ∠DCE = ∠D+∠E ＝30°+45° =75° , ∴ ∠ACE = ∠ACD+∠DCE ＝90°+75° = 165° ; 保密★启用前 【七年级数学试卷 ·参考答案 第 6 页 共 7 页】 学科网（北京）股份有限公司 ②存在， 如图 4 ，当 BC∥AD 时， ∠DCB = ∠D ＝30° , ∴ ∠ACE ＝30° ; 如图 5 ，当 BE∥AC 时， ∠ACE = ∠E ＝45° ; 如图 6 ，当 AD∥CE 时， ∠DCE = ∠D ＝30° , ∴ ∠ACE ＝90°+30° = 120° ; 如图 7 ，当 BE∥CD 时， ∠DCE = ∠E ＝45° , ∴ ∠ACE ＝90°+45° = 135° . 综上，①如图 3 ，∠ACE ＝165° ; ②存在，当 BC∥AD 时，∠ACE ＝30° ；当 BE∥AC 时，∠ACE = ∠E =45° ；当 AD∥CE 时， ∠ACE ＝120° ；当 BE∥CD 时， ∠ACE ＝135° . 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，注意利用两 角互余的性质，角的和差进行计算． 22 ．（12 分）在图所示的平面直角坐标系中表示下面各点： A（0 ，3），B（1 ， - 3），C（3 ， - 5），D（ - 3 ， - 5），E（3 ，5），F（5 ，7）． （1）A 点到原点 O 的距离是 3 个单位长． （2）将点 C 向左平移 6 个单位，它会与点 D 重合． （3）连接 CE，则直线 CE 与y 轴是什么位置关系？ （4）点 F 到 x、y 轴的距离分别是多少？ 【分析】（1）点 A（0 ，3）在一轴上，根据y 轴上坐标的特点即可得出A 点到原点 O 的距离； （2）根据平移规律：向左平移 6 个单位，求出平移后的坐标，继而即可得出答案； （3）点 C 和点 E 的横坐标相等，可知直线 CE 与y 轴平行； （4）点 F（5 ，7）到 x 轴的距离即是其纵坐标的绝对值，到y 轴的距离即是其横坐标的绝对值． 【解答】解：在平面直角坐标系中表示出各点，如下所示： （1）A 点到原点 O 的距离是 3 个单位长； （2）将点 C 向左平移 6 个单位后的坐标为（ - 3 ， - 5），所以与点 D 重合； （3） ∵点 C 和点 E 的横坐标相等， ∴直线 CE 与y 轴平行； （4）点 F（5 ，7）到 x 轴的距离＝|7| ＝7 ，到y 轴的距离＝|5| ＝5． 故答案为 3，D． 【点评】本题考查坐标与图形的性质及坐标与图形变化中的平移问题，注意对直角坐标系中点的坐标 性质的掌握，属于基础题，比较容易解答． 【七年级数学试卷 ·参考答案 第 7 页 共 7 页】 学科网（北京）股份有限公司 $$