2.1等式性质与不等式性质 教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

本文围绕等式与不等式性质展开，核心知识点包括实数大小关系基本事实、不等式性质及重要不等式。承接初中等式与不等式基础，为后续基本不等式学习奠基。通过情境引入、探索新知等环节，培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养。 该设计亮点在于紧密联系生活实际，采用类比等教法。从学生层面看，提升其数学思维与应用能力；从教师层面看，提供清晰授课思路；从课堂效果看，有效突破不等式性质应用这一教学难点。

等式与不等式性质教学设计 课题 2.1等式与不等式性质 课型 新授课 课时 2 学习目标 1. 能从情境中抽象出不等关系，并能写出相应的不等式(组)，发展数学抽象素养. 2. 理解两个实数大小关系的基本事实，体会其蕴含的数学思想方法，并能用基本事实作为理论支撑去比较两个代数式的大小. 3. 经历重要不等式的探索过程，并能证明. 学习重点 掌握不等式性质及其应用． 学习难点 不等式性质的应用． 学情分析 学生在初中已经学习过等式与不等式，具备了一定的基础。等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫. 核心知识 1. 两个实数大小关系的基本事实的理解与运用 2. 不等式性质及其应用 3. 重要不等式的证明及其运用 教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备 一、情境引入 问题1：生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志，你知道它们的含义吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？ 提示：①最低限速.②限制质量.③限制高度.④限制宽度.⑤通行时间. 在数学中，我们用不等式来表示不等关系： 二、探索新知 问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，“限速40 km/h”，就是v的大小不能超过40，于是． 对于（2），由题意，得． 对于（3），设的三条边为，则，． 对于（4），如图2.1-1，设是线段外的任意一点，垂直于，垂足为，是线段上不同于的任意一点，则． 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式．接着，就可以用不等式研究相应的问题了． 问题2某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 设提价后每本杂志的定价为元，则销售总收入为万元．于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 ① 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围． 如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质． 关于实数大小的比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么．反过来也对． 这个基本事实可以表示为： 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. 等式性质与不等式性质 图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？ 提示　设直角三角形的两条直角边的长为，则正方形的边长为.这4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为，由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形EFGH缩为一个点，这时有. 于是就有. 你能证明得到的不等式吗？ 一般地，，有，当且仅当时，等号成立． 事实上，利用完全平方公式，得 ． 因为，，当且仅当时，等号成立，所以．因此，由两个实数大小关系的基本事实，得，当且仅当时，等号成立． 将图2.1-3中的“风车”抽象成图2.1-4．在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为．由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式． 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 于是就有. 三、应用新知 例1 比较和的大小． 分析：通过考查这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系． 解：因为 ， 所以．这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．这是解决不等式问题的常用方法． 反思感悟　作差法比较两个实数大小的基本步骤 【变式】已知，比较与的大小. 【解析】因为 因为，所以，所以， 所以. 【练习1】用一段长为的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园，墙长，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为.试用不等式表示其中的不等关系. 【解析】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为， 这时菜园的另一条边长为. 因此菜园的面积，依题意有，即. 故该题中的不等式关系表示为 【练习2】已知，求证：≥2. 【证明】方法一：利用，， ，当且仅当时，等号成立. 反思感悟　在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质． 四、总结新知 1. 不等式与不等关系 用不等式表示不等关系，注意文字语言与符号语言之间的转化． 2. 比较两个实数大小关系的依据 3. 作差比较法 作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论 4. 重要不等式 五、探究新知 关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础．那么，不等式到底有哪些性质呢？ 因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究中获得启发． 思考 请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 等式有下面的基本性质： 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么． 可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性． 运算中的不变性就是性质． 类比等式的性质1，2，我们可以猜想不等式有如下性质： 性质1 如果，那么；如果，那么．即 ． 性质2 如果，，那么．即 ，． 我们来证明性质2： 由两个实数大小关系的基本事实知 ． 类比等式的性质3～5，可以猜想不等式还有如下性质： 性质3 如果，那么． 这就是说，不等式两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向． 如图2.1-5，把数轴上的两个点与同时沿相同方向移动相等的距离，得到另两个点与，与和与的左右位置关系不会改变．用不等式的语言表示，就是上述性质3． 从不同角度描述不等式的性质，可以加深理解．对其他不等式的性质，你能用文字语言表述吗？ 由性质3可得，． 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边． 性质4 如果，，那么；如果，，那么． 这就是说，不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向． 利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质．例如，利用性质2，3可以推出： 性质5 如果，，那么． 事实上，由和性质3，得；由和性质3，得．再根据性质2，即得． 利用性质4和性质2可以推出： 性质6 如果，，那么． 性质7 如果，那么（）． 实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据． 注意点： (1)若，则；若，则. (2)不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算. 六、应用新知 例2 已知，，求证． 证明：方法一： 因为，所以. 于是，即.由，得. 证明：方法二：　 ， 证明:方法三： .即. 反思感悟　(1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 【变式】已知，求证:. 证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 板书设计 1、 不等式与不等关系 2、 比较两个实数大小关系的依据 3、 重要不等式 作业设计 1. 教材习题：习题2.1 第1、2、3、4题 2. 教辅书：《课后训练》2.1 等式性质与不等式性质 3. 补充习题：复印的作业 4. 其他任务：预习下一节 教学反思 1、 拓展的例题不足； 2、学生主体性体现不到位. 　　 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$