专题01 集合（压轴题8大类型专项训练）数学人教A版2019必修第一册

专题01 集合 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、集合与元素的关系 2 类型二、集合的包含关系及参数问题 4 类型三、集合的交并补运算及参数问题 5 类型四、韦恩图及容斥原理 7 类型五、集合的结构不良问题 9 类型六、集合的新定义问题Ⅰ—给定新概念 10 类型七、集合的新定义问题Ⅱ—给定新运算 11 类型八、集合的新定义问题Ⅲ—给定新性质 12 压轴专练 14 【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 类型一、集合与元素的关系 与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧 （1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合. （2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性. （3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数. （4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件. 一、单选题 1．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 2．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 3．（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海宝山·月考）判断下列命题为真命题的个数（   ） ①0是的真子集； ②； ③如果集合A是集合B的子集，那么集合B就不是集合A的子集； ④如果，那么除以4的余数为0或1. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（23-24高一上·北京·月考）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中至少有4个元素 D．集合中至少有5个元素 二、多选题 7．（23-24高一上·江西·月考）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 9．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 类型二、集合的包含关系及参数问题 1、根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解. ①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性. ②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点值能否取到. 2、集合的子集与真子集结论 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． 一、单选题 1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 二、多选题 3．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 三、填空题 4．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 ． 5．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 四、解答题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得 ，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 9．（23-24高一上·广东江门·月考）（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 类型三、集合的交并补运算及参数问题 利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍. （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 注：在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）. 一、单选题 1．（24-25高一上·湖北武汉·开学考试）已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南长沙·月考）若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西西安·月考）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（25-26高一上·全国·课后作业）［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．2 三、填空题 6．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 7．（24-25高一上·山东淄博·月考）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 类型四、韦恩图及容斥原理 容斥原理 在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 一、单选题 1．（24-25高一上·福建福州·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南京·月考）设全集，，，则集合为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西南昌·月考）如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 4．（24-25高一上·四川绵阳·月考）学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有（   ）人 A．5 B．4 C．3 D．2 二、多选题 5．（24-25高一上·福建福州·期中）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 三、填空题 6．（24-25高一上·上海·月考）某班有名同学，参加物理竞赛的有人，参加化学竞赛的有人，两科竞赛都不参加的有人，则两科竞赛都参加的有 人. 7．（24-25高一上·河北石家庄·月考）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 类型五、集合的结构不良问题 一、解答题 1．（24-25高一上·全国·周测）设全集为，集合或，. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在（1）；（2）；（3）这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 2．（24-25高一上·广东佛山·期中）在“①，②”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合． (1)若，求； (2)若__________（在①，②这两个条件中任选一个），求实数的取值范围． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 4．（24-25高一上·河北石家庄·月考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题． 设集合_______，集合． (1)若集合B的子集有2个，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 类型六、集合的新定义问题Ⅰ—给定新概念 集合新定义问题处理步骤 ①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么 ②看：看所求是什么？ ③代：将已知条件代入新定义的要素 ④解：结合数学知识进行解答 一、单选题 1．（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 2．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 二、解答题 3．（25-26高一上·全国·课后作业）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，. 4．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 5．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 类型七、集合的新定义问题Ⅱ—给定新运算 一、单选题 1．（23-24高一上·河南平顶山·月考）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·月考）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（25-26高一上·全国·课后作业）[多选题]对于数集A，B，它们的积，则（   ） A． B．若，则 C． D．集合表示y轴所在直线 4．（24-25高一上·吉林长春·月考）非空集合A，B满足，且中元素个数不大于1.定义集合，，则（    ） A．集合A，B中元素个数之和为10或11 B．集合中元素个数最多为17 C．集合中元素个数最多为18 D．集合中元素个数最多为9 三、填空题 5．（24-25高一上·云南昭通·月考）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 6．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 类型八、集合的新定义问题Ⅲ—给定新性质 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江·月考）若数集具有性质：对任意的与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（    ） A．“权集”中一定有1 B．为“权集” C．为“权集” D．为“权集” 2．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则，，且当时，，则称集合A是“紧密集合”．现有以下说法：①整数集是“紧密集合”；②实数集是“紧密集合”；③“紧密集合”可以是有限集；④若集合A是“紧密集合”，且x，，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 3．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 三、填空题 4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为 . 四、解答题 5．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 6．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知数集（，且），若，均有，则称具有性质．规定集合，集合，设集合中的元素个数为，集合中的元素个数为． (1)试判断集合和集合是否具有性质； (2)若具有性质，，证明：； (3)若具有性质，试比较a，b的大小，并说明理由． 一、单选题 1．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（23-24高一下·广东茂名·月考）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 3．（23-24高一下·江西·月考）若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东广州·月考）设集合，，那么（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东汕头·月考）若集合恰有两个子集，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C． D．或 8．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 9．（24-25高一下·浙江·月考）定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 10．（24-25高一上·江苏泰州·月考）已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（   ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 11．（24-25高一上·河北石家庄·月考）“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》.某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校被调查的200位学生阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数值是（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 12．（25-26高一·全国·假期作业）对于非空数集，用表示中所有元素之和.若非空集合，满足且，则称，为的一个划分.已知且，称为的一个划分，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 13．（24-25高一上·河南·期中）8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕.中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩.小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为（   ） A．26 B．46 C．28 D．48 14．（23-24高一上·湖北·月考）在实数集R中定义一种运算“”，具有以下三条性质： ①对任意，； ②对任意，，； ③对任意，，，， 以下正确的选项是（    ） A． B． C．对任意的，，，有 D．对任意，，，有 15．（24-25高一上·上海·期中）“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 二、多选题 16．（24-25高一上·山东泰安·月考）集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 三、填空题 18．（23-24高一上·福建泉州·月考）若，则 . 19．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 20．（2024高一·全国·专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为 . 四、解答题 21．（24-25高一上·河南信阳·期中）已知集合，． (1)在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答．问题：当集合满足_________时，求实数的取值范围． (2)若，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分． 22．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答． 问题：若_________，求实数的取值范围． 23．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 24．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 25．（24-25高一上·安徽·月考）设集合是的非空子集，若对任意，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由； (2)已知集合，若具有性质且恰有4个元素，直接写出符合条件的集合；（写出3个即可） (3)已知集合，若具有性质，证明：中的元素个数不大于10. 26．（24-25高一上·浙江·月考）设数集满足：①；②任意且，有，则称数集对于乘法封闭. (1)判断集合是否对于乘法封闭，并说明理由； (2)证明：集合对于乘法封闭； (3)求所有对于乘法封闭的三元素集. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、集合与元素的关系 2 类型二、集合的包含关系及参数问题 8 类型三、集合的交并补运算及参数问题 12 类型四、韦恩图及容斥原理 18 类型五、集合的结构不良问题 23 类型六、集合的新定义问题Ⅰ—给定新概念 28 类型七、集合的新定义问题Ⅱ—给定新运算 33 类型八、集合的新定义问题Ⅲ—给定新性质 36 压轴专练 41 【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 类型一、集合与元素的关系 与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧 （1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合. （2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性. （3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数. （4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件. 一、单选题 1．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 2．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C 3．（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 4．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，、不同在集合或中，、不同在集合或中，而、无限制，列举出满足条件的集合，即可得解. 【详解】因为，， 由题意可知，若，则，若，则， 若，则，若，则，、没有限制， 综上所述，满足条件的集合可为：、、、、、 、、、、、、、、 、、，共个， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出元素与集合的关系，然后利用列举法求解. 5．（24-25高一上·上海宝山·月考）判断下列命题为真命题的个数（   ） ①0是的真子集； ②； ③如果集合A是集合B的子集，那么集合B就不是集合A的子集； ④如果，那么除以4的余数为0或1. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】对①，根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断；对②，根据交集，并集运算，真子集的关系判断；对③，根据子集的定义判断；对④，设，，讨论，求解判断. 【详解】对于①，因为0是集合中的元素，所以，故①错误； 对于②，当时，，此时不是的真子集，故②错误； 对于③，当时，，且，故③错误； 对于④，，当，时，则除以4的余数为0， 当时，则除以4的余数为1， 综上，除以4的余数为0或1，故④正确. 所以真命题个数为1. 故选：B. 6．（23-24高一上·北京·月考）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中至少有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【答案】C 【分析】由题意可求出都在中，然后计算这些元素是否相等，继而判断的元素个数的特点. 【详解】因为若，则，所以，， 则， 当时，4个元素中，任意两个元素都不相等， 所以集合中至少有4个元素， 故选：C 二、多选题 7．（23-24高一上·江西·月考）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可. 【详解】因为，可设，，， 选项A，， 则，故A正确； 所以， 则，故B正确； 所以，其中， 则，故C错误； 所以，其中， 则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 8．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 9．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据集合相等，对应元素相同，即可求解 【详解】由于集合等于集合，所以， 此时可得，则，可得， 当，不满足集合元素互异性,故舍， 所以， 所以， 故答案为： 类型二、集合的包含关系及参数问题 1、根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解. ①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性. ②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点值能否取到. 2、集合的子集与真子集结论 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． 一、单选题 1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案. 【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【分析】根据集合中元素的特征分析做出判断． 【详解】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且， 故选：B． 二、多选题 3．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 【答案】AB 【分析】根据子集个数知集合中有2个元素，即对应方程有两个不同实根，进而求参数a的范围. 【详解】由题设，易知集合中有2个元素，故，即且， 所以符合要求. 故选：AB 三、填空题 4．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 ． 【答案】4 【分析】根据子集的定义及集合元素的关系可得出结论． 【详解】由集合，可得的可能情况有： ，，，，，，，， 其中，满足“若，则”的集合有：，，，， 故满足条件的集合的个数为4． 故答案为：4． 5．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【答案】7 【分析】由，即为奇数，求得集合，即可得真子集的个数. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故答案为：7. 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 【答案】0或 【分析】由，，，三种情况分别讨论即可. 【详解】， 因为， 所以的所有可能为， 当，可得， 当，可得， 当，可得， 故答案为：0或 四、解答题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得 ，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，，，． (2)存在，或． 【分析】（1）化简，再结合 逐个列举即可； （2）由和两类情况讨论求解. 【详解】（1）当时， ， ． 又因为 ，所以这样的集合P共有6个：，，，，，． （2）当，即，时，，满足题意． 当时，若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意； 若有两个不相等的实数根， 又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时． 综上，实数a的取值范围为或． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围； （2）当时，求得，满足题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解：（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 解：（2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 9．（23-24高一上·广东江门·月考）（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）根据相等集合的概念可得或，解之，结合集合元素的性质即可求解； （2）易知，根据集合间的包含关系画出数轴，结合数轴建立不等式，解之即可求解. 【详解】（1）由已知，得或. 当时，解得或； 当时，解得或. 又由集合中元素的互异性，得或. （2）因为，所以，利用数轴表示，如图所示， 或 则或，解得或， 所以的取值范围是或. 类型三、集合的交并补运算及参数问题 利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍. （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 注：在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）. 一、单选题 1．（24-25高一上·湖北武汉·开学考试）已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交并补运算的定义即可求解. 【详解】, 由于，故， 故选：D 2．（24-25高一下·湖南长沙·月考）若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断. 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 3．（24-25高一下·陕西西安·月考）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A，由题可得是的真子集，可判断；对B，根据集合和集合的意义判断；对C，由可判断；对D，由集合表示非负偶数的集合，集合表示能被4整除的非负整数，结合补集和并集运算判断. 【详解】对于A，因为，当是偶数，令，，此时， 当是奇数，令，，此时， 所以，所以，故A错误； 对于B，因为集合表示非负偶数的集合，集合表示能被4整除的非负整数， 表示自然数中除去被4整除的数，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为不含偶数，不含被4整除的数，所以不含被4整除的数，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，当时满足，求出的取值范围，当时，列出不等式组求出的取值范围，结合两种情况求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为，且满足，， 所以当时满足， 此时，解得， 当时，则有， 解得,综上，， 即实数的取值范围为． 故选：A． 二、多选题 5．（25-26高一上·全国·课后作业）［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】CD 【分析】解法一可先将p的值逐个代入集合再化简集合求交集看是否符合条件；解法二对集合进行分类讨论，结合二次方程的判别式和韦达定理及题意计算出p的取值范围即可. 【详解】解法一：若，因为，故方程有两个根，又因为两根之积为所以两根同号，且两根之和为故方程有两个正根，故不满足，A错误； 若，则，不满足，B错误； 若，则，满足，C正确； 若，则，满足，D正确. 解法二： 当时，，所以，满足； 当时，此时， 若方程有两个相同实数根，则， 显然当时，方程根为，此时不满足， 当时，方程根为，此时满足， 若方程有两个不同实数根，，此时，所以，同号，且，所以且，所以． 综上可知，实数p的取值范围是；故CD正确 故选：CD 三、填空题 6．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为． 四、解答题 7．（24-25高一上·山东淄博·月考）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）若，则是的子集，分集合是否是空集进行讨论即可. 【详解】（1）全集，集合， 当时，， ，或，. （2） 若，则是的子集， 情形一：若是空集，则显然满足题意，此时，解得； 情形二：若不是空集，此时， 若是的子集，则，解得，即此时满足题意的的范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】（1）由，结合数轴即可求解； （2）结合数轴即可求解； （3）由条件得到或，进而可求解； （4）由和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以，画出数轴如图： 所以，解得，故实数的取值范围是． （2）画出数轴如图，因为， 所以，解得． （3）因为，所以或． 又因为，所以或． 故实数的取值范围是． （4）①若，则，所以． ②若，因为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 类型四、韦恩图及容斥原理 容斥原理 在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 一、单选题 1．（24-25高一上·福建福州·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断阴影部分表示，然后求解，再根据并集的概念求解即可. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为， 所以或， 所以， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：. 2．（24-25高一上·江苏南京·月考）设全集，，，则集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦恩图可求集合. 【详解】由题设可得如下韦恩图： 而，故， 故， 故选：B. 3．（24-25高一上·江西南昌·月考）如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 【答案】D 【分析】由集合的交并补运算即可得出答案. 【详解】图形I表示的集合为； 图形Ⅱ表示的集合为； 图形Ⅲ表示的集合为； 图形Ⅳ表示的集合为； 图形Ⅴ表示的集合为； 图形Ⅵ表示的集合为； 图形Ⅶ表示的集合为； 图形Ⅷ表示的集合为． 故选：D. 4．（24-25高一上·四川绵阳·月考）学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有（   ）人 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，画出集合表示的韦恩图，结合韦恩图，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为， 只参加球类的人数为，画出韦恩图，如图所示： 结合韦恩图，可得，解得， 所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人． 故选：C. 二、多选题 5．（24-25高一上·福建福州·期中）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 【答案】BC 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又，说明， 综上，画出维恩图如下： 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，的不同真子集个数为7，故D错误， 故选：BC. 三、填空题 6．（24-25高一上·上海·月考）某班有名同学，参加物理竞赛的有人，参加化学竞赛的有人，两科竞赛都不参加的有人，则两科竞赛都参加的有 人. 【答案】 【分析】利用韦恩图可求两科竞赛都参加的人数. 【详解】 设集合为参加物理竞赛的同学构成的集合，集合为参加化学竞赛的同学构成的集合， 由题意作出韦恩图如上图，设两科竞赛都参加的有人， 则，解得. 故答案为：. 7．（24-25高一上·河北石家庄·月考）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 【答案】2 【分析】根据容斥原理可分析出3项都参加的人数. 【详解】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学， ， 则， 且， 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 故答案为：2. 类型五、集合的结构不良问题 一、解答题 1．（24-25高一上·全国·周测）设全集为，集合或，. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在（1）；（2）；（3）这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）由题意可知，阴影部分表示的集合是，通过集合运算解决即可； （2）选择（1）（2）（3），均可得，这里注意集合为空集这种情况，再通过子集之间的包含关系求解即可. 【详解】（1）全集为，集合或， 当时，， 或， 图中阴影部分表示的集合或. （2）选择（1）（2）（3）均得到， 当时，，解得； 当时，或 解得或， 综上，实数的取值范围是. 2．（24-25高一上·广东佛山·期中）在“①，②”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合． (1)若，求； (2)若__________（在①，②这两个条件中任选一个），求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案. （2）先选择条件，然后根据所选条件列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，； 所以. （2）若选①，， 当时，，解得， 当时，或，解得：或， 综上：实数的取值范围． 若选②，， 则， 即，解得：， 所以实数的取值范围． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】解：（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 4．（24-25高一上·河北石家庄·月考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题． 设集合_______，集合． (1)若集合B的子集有2个，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，集合B元素个数为1，再根据二次函数判别式为0计算即可； （2）选①②③，都是由题意，再求解，对集合B讨论，分二次方程的判别式小于、等于和大于0的情况求解即可. 【详解】（1）因为集合B的子集有2个，所以集合B元素个数为1. 则，即，解得. （2）选①：集合， 因为，所以， 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 选②：集合， 因为，所以， 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有 ， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 选③：集合， 因为，所以， 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 类型六、集合的新定义问题Ⅰ—给定新概念 集合新定义问题处理步骤 ①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么 ②看：看所求是什么？ ③代：将已知条件代入新定义的要素 ④解：结合数学知识进行解答 一、单选题 1．（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 【答案】C 【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可. 【详解】已知集合， “孤立元”为1的集合为，，，； “孤立元”为2的集合为，； “孤立元”为3的集合为； “孤立元”为4的集合为，； “孤立元”为5的集合为，，，； 综上，满足题意的集合有13个. 故选：C. 2．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】C 【分析】ABD举反例即可，C选项给出证明. 【详解】取，则，故A错误； 取，则，不是无理数，故B错误； 设，，则，，故C正确； 取，， 由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被整除或被整除的全体整数集， 取，则，不能被或整除，即，故D错误. 故选：C 二、解答题 3．（25-26高一上·全国·课后作业）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，. 【答案】(1)3 (2)18，，， 【详解】（1）由集合，知，，所以. （2）因为，，，，由此可知集合，，中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让取到最大值，则只需，，中元素不同且7，8，9分布在3个集合中，4，5，6分布在3个集合中，1，2，3分布在3个集合中，这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，所以有一组，，满足题意. 4．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)不一定是数域，理由见解析 【分析】（1）先证为数环，再证其为元素最少的数环； （2）设，，，再利用数环、数域的定义证明即可； （3）先取，说明是数域；再证为数域，接着取，即可得出是不是数域. 【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最少的数环； 综上所述：元素个数最少的数环为. （2）设，，，可知， 则有：， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②；综上所述：是数域. （3）不一定是数域，理由如下： ①若，，显然，均为数域，且是数域； ②设，， 设，，，可知，则有： ， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 因，，但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 5．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 【答案】(1)答案见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据“完美子集类”的定义，写出集合U的所有“完美子集类”即可； （2）（i）由A是U的“完美子集类”，可知对于任意的，从而，即可证得；（ii）由A是U的“完美子集类”及“完美子集类”得定义可得，则，通过证明，即可得证. 【详解】（1）集合U的“完美子集类”有: ,, ,,. （2）（i）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的， 从而， 所以. （ii）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的，， 从而                      下证： 一方面，且或， 即； 另一方面， 或且，即 故. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 类型七、集合的新定义问题Ⅱ—给定新运算 一、单选题 1．（23-24高一上·河南平顶山·月考）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案. 【详解】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 2．（24-25高一上·广东广州·月考）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由新定义，列举计算即可； 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 二、多选题 3．（25-26高一上·全国·课后作业）[多选题]对于数集A，B，它们的积，则（   ） A． B．若，则 C． D．集合表示y轴所在直线 【答案】BCD 【详解】由题知，表示数集A中的数表示横坐标，数集B中的数表示纵坐标所组成的点的全体，故，A错误；若，则，B正确；，则，C正确；集合表示y轴所在直线，D正确． 4．（24-25高一上·吉林长春·月考）非空集合A，B满足，且中元素个数不大于1.定义集合，，则（    ） A．集合A，B中元素个数之和为10或11 B．集合中元素个数最多为17 C．集合中元素个数最多为18 D．集合中元素个数最多为9 【答案】ACD 【分析】用表示有限集的元素个数,由题意，知非空集合满足,,得到或，根据集合的定义利用分类讨论结合举反例及穷举法对各选项逐一验证即可. 【详解】用表示有限集的元素个数,由题意，知非空集合满足,, 对于A，由，得或，因为， 当时，； 当时，，故A正确； 对于B，当，，此时，则，故B不正确； 对于C，∵中元素最大为，最小为，∴，，当取等号时，必有，而2只能为，只能为，故，这与矛盾.所以，即的最大值为18，故C正确； 对于D，∵非空，且，∴且中至少有1个元素不在中，∴，当，时取等号，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 5．（24-25高一上·云南昭通·月考）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 【答案】 【分析】根据题设定义，结合条件，即可求解. 【详解】由题设定义知， 故答案为：. 6．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 【答案】 【分析】求出集合，利用题中定义可得出集合，利用并集的定义可得出集合，确定集合的元素个数，由此可得出该集合的真子集个数. 【详解】因为，则， 又因为，故， 所以，集合有个元素，故集合的真子集个数. 故答案为：. 类型八、集合的新定义问题Ⅲ—给定新性质 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江·月考）若数集具有性质：对任意的与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（    ） A．“权集”中一定有1 B．为“权集” C．为“权集” D．为“权集” 【答案】B 【分析】根据集合的新定义，验证选项B,C,D，集合“权集”中不一定有1，判定A错误. 【详解】因为，，都属于数集,是“权集”， 所以“权集”中不一定有1，所以A错误； 因为都属于数集，为“权集”，所以B正确； 因为与均不属于数集，不为“权集”，所以C错误； 因为与均不属于数集，不为“权集”，所以D错误； 故选：B. 2．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则，，且当时，，则称集合A是“紧密集合”．现有以下说法：①整数集是“紧密集合”；②实数集是“紧密集合”；③“紧密集合”可以是有限集；④若集合A是“紧密集合”，且x，，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用特例说明①③④的真假，根据概念判断②的真假. 【详解】若，，而，故整数集不是“紧密集合”，所以①错； 根据“紧密集合”的定义，实数集是“紧密集合”，所以②正确； 因为集合是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，所以③正确； 因为集合是“紧密集合”，但，故④错. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是“紧密集合”的概念.正确理解概念是解决问题的关键. 二、多选题 3．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 【答案】BCD 【分析】根据已知条件新定义逐个分析即可． 【详解】对A选项，若，则 , 因为，故不可能存在满足题意，A错误； 对B选项，若 ，则， 则当 时， A 具有性质, B正确； 对C选项，将整数分成这五类， 依次记为集合 C、D 、 E 、 F 、 G , 当 时，肯定是这5类中的一类， 如果四个属于的集合各不相同， 比如 ，那么肯定是5的倍数，且，满足 的定义， 如果四个中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是5的倍数，故C正确； 对 D 选项， 将整数分成这10类， 依次记为集合，当时，分别是这10类中的一类， 分两类情况，如果七个属于的集合各不相同， 比如， 那么肯定是10的倍数，且，满足的定义， 如果七个属于的集合中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是10的倍数，且，满足的定义， 故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为 . 【答案】14 【分析】根据新定义列不等式组求解即可. 【详解】不妨设， ①当时，由，不满足题意； ②当时，由性质定义知： ，且， 所以m的最小值为，经检验符合题意. 故答案为：14. 四、解答题 5．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)至多只有5个，理由见解析 【分析】（1）根据新定义判断是否具有性质即可； （2）利用反证法，假设具有性质，可得集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾，从而得证； （3）分①5，6，7同时选，②5，6，7选2个，③5，6，7中只选1个，三种情况讨论，分别利用新定义求解即可. 【详解】（1）∵，，，，， ∴具有性质． （2）假设具有性质，那么有1不能有4，有2不能有5，有3不能有6， 那么集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾， ∴不可能具有性质． （3）．将这11个数分为，，，，，，，7个集合， ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10； 选7则不选3，11；则只剩4，8，又不能同时选，故1，2，3．．．，11中属于集合的元素个数不超过5个． ②5，6，7选2个， 若选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选5，7，则1，3，9，11，6不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． ③5，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个， 由上可知，属于集合的元素至多只有5个 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 6．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知数集（，且），若，均有，则称具有性质．规定集合，集合，设集合中的元素个数为，集合中的元素个数为． (1)试判断集合和集合是否具有性质； (2)若具有性质，，证明：； (3)若具有性质，试比较a，b的大小，并说明理由． 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由定义即可直接判断； （2）由新定义得到集合中元素的个数不超过，即可求证； （3）对集合中的元素分两种情况讨论：，得到或，得到，，进而得到，同样讨论集合中的元素，得到，即可求证； 【详解】（1）对于集合，若，则，所以集合不具有性质． 对于集合，因为，，，，，，，，所以集合具有性质． （2）依题意，集合中的元素构成有序数对，共有个． 因为，所以，又当时，， 所以当时，， 因此集合中元素的个数不超过，故． （3）对集合中的元素分两种情况讨论： ①若，则，，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，则，，．， 可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素，所以． 同理，对集合中的元素也分两种情况讨论： ①若，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素．所以． 综上可得． 【点睛】关键点点睛：通过或推出，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素，同理推出集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素． 一、单选题 1．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，联立方程组，求得集合中的元素个数，进而的集合的子集的个数，得到答案. 【详解】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 2．（23-24高一下·广东茂名·月考）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意可知：阴影部分可表示为，结合集合的并集和补集运算求解. 【详解】由题意得，阴影部分可表示为， 因为或，， 则或， 且，所以. 故选：B. 3．（23-24高一下·江西·月考）若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解. 【详解】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集及补集定义计算判断各个选项. 【详解】因为或，所以A，B错误，D正确； 又，故C错误. 故选：D. 5．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 6．（24-25高一上·广东广州·月考）设集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得. 【详解】由题意得， 即是的奇数倍构成的集合， ， 即是的整数倍构成的集合， 所以. 故选：. 7．（24-25高一上·广东汕头·月考）若集合恰有两个子集，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分析可知，集合只有一个元素，即关于的方程只有一个实数根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出.综合可得出实数的值. 【详解】因为集合恰有两个子集，则集合只有一个元素， 即关于的方程只有一个实数根，分以下两种情况讨论： 当，即当时，原方程为，解得，合乎题意； 当，即当时，则， 解得或. 综上所述，或. 故选：D. 8．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】由题，要使取最大值，则a取，c取，b取，据此可得答案. 【详解】因，要使最大， 则a取，c取，b取，则. 故选：C. 9．（24-25高一下·浙江·月考）定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果. 【详解】对于A，由，则， 所以，故A正确； 对于B，由，所以，故B错误； 对于C,由，则， 由，，则， 所以，，则， 所以，故C错误； 对于D，当时，结合选项B知，，故D错误. 故选：A. 10．（24-25高一上·江苏泰州·月考）已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（   ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】D 【分析】根据集合之间的关系作出图，逐项判断即可. 【详解】， 由，，，，， 作出图，如图所示，    由图可知，，，故A，正确； 集合的子集个数为个，故B正确； 因为，所以，错误. 故选：D 11．（24-25高一上·河北石家庄·月考）“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》.某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校被调查的200位学生阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数值是（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】A 【分析】设调查了200位学生构成全集，读过《大学》的60位构成集合，阅读过《论语》的有160位构成集合，阅读过《中庸》的有20位构成集合，根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图，即可求解. 【详解】设调查了200位学生构成全集，读过《大学》的60位构成集合， 阅读过《论语》的有160位构成集合，阅读过《中庸》的有20位构成集合， 可得， 因为阅读过《大学》或《论语》的有180位，即， 所以， 又因为阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位， 可得, 根据题意，作出韦恩图，如图所示： 可得被调查的200位学生阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》学生人数值是： 人. 故选：A.    12．（25-26高一·全国·假期作业）对于非空数集，用表示中所有元素之和.若非空集合，满足且，则称，为的一个划分.已知且，称为的一个划分，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】依题意可得，令，则，再分、、三种情况讨论，分别求出的值（范围），即可得解. 【详解】因为， 且，即， 令，则， 所以， 当时，； 当时，； 当时，； 为了使，需将正数尽可能的分配给，负数分配给， 如，， 此时，，此时， 所以的最大值为. 故选：C 13．（24-25高一上·河南·期中）8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕.中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩.小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为（   ） A．26 B．46 C．28 D．48 【答案】B 【分析】根据给定条件，画出韦恩图，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为，喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为， 喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为，喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为，如图， 则，②+③+④得⑤，①⑤得， 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为. 故选：B 14．（23-24高一上·湖北·月考）在实数集R中定义一种运算“”，具有以下三条性质： ①对任意，； ②对任意，，； ③对任意，，，， 以下正确的选项是（    ） A． B． C．对任意的，，，有 D．对任意，，，有 【答案】C 【分析】根据②③可推得，进而结合①即可得出.然后根据新定义对每个选项进行运算化简可得． 【详解】由②③可得， 令， ， 即. 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ， ， 对任意的 ，有 ，故C正确； 对于D， ， ， 当时，有，故D错误． 故选：C. 15．（24-25高一上·上海·期中）“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 【答案】D 【分析】分别判断每一个选项，是否为一个群即可. 【详解】A选项：有理数的和还是有理数，求和满足结合律， 设，单位元为，则，故， 所以每一个数的相反数为其逆元， 故为一个群，选项A正确； B 选项：中的任何两个数相加还是属于， 求和满足结合律， 设，单位元为， 则，所以， 每一个数的相反数为其逆元，为一个群，故选项B正确； C选项：中的两个元素相乘，其积可能为或， 又，， 设，单位元为，则，故，的逆元为，的逆元为， 所以则为一个群，故C正确； D选项：两个奇数相乘还是奇数，乘法满足结合率， 设，单位元为，则，故， 又，故存在，使得，则，矛盾， 故不为一个群，故D错误. 【点睛】关键点点睛：需要判断题中说的所有条件，先利用条件③判断单位元，然后再利用条件④判断逆元. 二、多选题 16．（24-25高一上·山东泰安·月考）集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A、B、C，由韦恩图直接判断即可，对于D，适当进行分析再结合韦恩图判断即可. 【详解】对于A，由韦恩图可知：阴影区域的元素都在集合中但不在中，故选项A正确； 对于B， 表示集合与公共元素以外的全集中的所有元素组成的集合， 阴影区域表示的集合是它的真子集，故选项B错误； 对于C，表示集合中元素除去集合与集合的公共元素剩余的元素 构成的集合，就表示为阴影区域，故选项C正确； 对于D，由于，所以 ， 与选项A相同，故选项D正确. 故选：ACD. 17．（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】ABC 【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C. 【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确， 对于B，取故B正确， 对于C，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确， 对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误， 故选：ABC 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 三、填空题 18．（23-24高一上·福建泉州·月考）若，则 . 【答案】 【分析】利用集合的列举法、元素与集合的关系、集合中元素的特性、集合间的关系分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，∵集合中有元素， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴，解得：或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，， 满足， ∴，则. 故答案为：. 19．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 【答案】或 【分析】根据条件中的新定义，先求和，再求. 【详解】，，． 故答案为：或 20．（2024高一·全国·专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【详解】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 四、解答题 21．（24-25高一上·河南信阳·期中）已知集合，． (1)在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答．问题：当集合满足_________时，求实数的取值范围． (2)若，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择①②③，都有，分类讨论集合是否为空集，限定出不等式范围即可得实数的取值范围； （2）分类讨论集合是否为空集，得出不等关系即可得实数的取值范围； 【详解】（1）选择①，由可得， 当时，，解得 当时，，解得． 综上，实数的取值范围为． 选择②，由可得， 当时，，解得 当时，，解得． 综上，实数的取值范围为． 选择③，由可得． 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. （2）当时，由，解得，符合题意 当时，或，解得； 综上，实数的取值范围为． 22．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答． 问题：若_________，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)选择见解析， 【分析】（1）依次求集合和其补集，再利用交集运算即得； （2）若选①，由题设得，就参数分类讨论，借助于数轴表示即可求得的范围；若选②，先求，就参数分类讨论，借助于数轴表示即可求得的范围；若选③，就参数分类讨论，借助于数轴表示即可求得的范围》 【详解】（1）当时，， 则，则． （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 若选②，因或，又，则. 当时，，需使，故； 当时，，需使，解得. 综上，实数的取值范围为. 若选③，因为， 当时，，，不合题意； 当时，，需使，故； 当时，，需使，解得. 综上，实数的取值范围为． 23．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【详解】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 24．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 【答案】(1)，集合是的恰当子集 (2)，或，；理由见解析 【分析】（1）利用给定定义求出集合并进行判断即可. （2）利用给定定义求出，进而建立关于的方程，求解参数值即可. 【详解】（1）若，有， 由，则， 满足，集合是的恰当子集. （2）若（）是的恰当子集，则 得到，由，则或 当时，，此时，，满足题意， 当时，，此时，，满足题意， 综上可得，或，. 25．（24-25高一上·安徽·月考）设集合是的非空子集，若对任意，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由； (2)已知集合，若具有性质且恰有4个元素，直接写出符合条件的集合；（写出3个即可） (3)已知集合，若具有性质，证明：中的元素个数不大于10. 【答案】(1)集合不具有，集合具有，理由见解析； (2)（答案不唯一） (3)证明见解析 【分析】（1）根据的含义直接验证即可； （2）写出集合并根据的含义验证即可； （3）转化为证明从上面每个集合中选出的元素不能超过2个，举例，证明从每个集合中选出的元素不超过2个即可. 【详解】（1）对于集合， 因为，所以集合不具有性质. 对于集合， 因为， 所以集合具有性质. （2）以下集合符合条件(答出其中任意3个即可)： ， ， 取其中3个， 证明：满足题意，因为，，， ，，， 则具有性质，同理可证明满足题意. （3）将集合分成如下的5个集合： . 要证明中的元素个数不大于10，只需证明从上面每个集合中选出的元素不能超过2个. 以为例，该集合超过2个元素的子集有：， 因为，则这些子集均不具有性质. 其余4个集合同理. 因为具有性质，所以从每个集合中选出的元素不超过2个. 综上，集合中的元素个数不大于10. 【点睛】关键点点睛：本题（1）（2）问的关键是充分理解的含义，再代入证明即可. 26．（24-25高一上·浙江·月考）设数集满足：①；②任意且，有，则称数集对于乘法封闭. (1)判断集合是否对于乘法封闭，并说明理由； (2)证明：集合对于乘法封闭； (3)求所有对于乘法封闭的三元素集. 【答案】(1)是，不是；理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据集合乘法封闭的定义可判断两个集合是否乘法封闭； （2）根据集合乘法封闭的定义可证对于乘法封闭； （3）对于三元素集，不失一般性，不妨设，根据乘法封闭的性质可判断只能取中的两个不同数，分类讨论后可求所有不同的三元素集. 【详解】（1）对于集合， 当时，，所以集合对于乘法封闭； 对于集合，其元素均为整数，满足条件①， 又因为，满足条件②， 所以集合对于乘法封闭. （2）证明：对于集合， 因为任意，所以满足条件①； 又因为任意且，所以满足条件：②， 故集合对于乘法封闭. （3）任意. 证明：对于三元素集，不失一般性，不妨设， 当时，，与三元素集矛盾，所以； 当时，，与三元素集矛盾，所以. 所以只能取中的两个不同数. 不妨设， 对于集合，因为其元素均为整数，所以满足条件①， 又因为，所以满足条件②， 所以集合对于乘法封闭. 对于集合，当时，. 对于集合，当时， 综上，所有对于乘法封闭的三元素集. 【点睛】思路点睛：对于集合新定义问题，我们可以根据定义展开讨论，而对于集合的存在性问题，有时为了便于讨论，可以假设元素的大小关系. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$