第一章 集合与常用逻辑用语（复习讲义）数学人教A版2019必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语（复习讲义） 1、了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义. 3、理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用图表达集合的基本关系及集合的基本运算. 4、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 5、理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定. 1、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、集合间关系与实数大小关系类比 实数 集合 定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或 相等 若且，则 若，，则 传递性 若，，则 若，，则． 若，，则 若，，则 3、有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 4、根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围 对于两个集合和，或中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法： （1）分类讨论：若，在未指明非空时，应分为和两种情况来讨论． （2）数形结合：对这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解． 5、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． （4）． （5）,． 6、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 7、条件关系判定的常用结论 与的关系 结论 ，但 是的充分不必要条件 ，但 是的必要不充分条件 且，即 是的充要条件 且 是的既不充分也不必要条件 8、从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 9、命题的否定： （1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定． （2）命题的否定与原命题的真假关系：p的否定与p“一真一假” 命题p 真 假 假 真 （3）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 10、含量词的命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 题型一 集合与元素 一、单选题 1．（2024高一上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 2．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 3．（24-25高一上·陕西·月考）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 4．（24-25高一上·安徽·月考）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高一上·江苏常州·月考）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（24-25高一上·山东淄博·月考）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 三、填空题 8．（23-24高一·全国·课堂例题）已知集合中含有2个元素，，写出一个满足的条件的 ． 题型二 （真）子集的个数问题 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（24-25高一上·云南昆明·月考）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 5．（25-26高一上·全国·课后作业）若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 题型三 集合间的基本关系及含参问题 一、单选题 1．（24-25高一上·广东广州·月考）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 二、填空题 5．（24-25高一上·重庆·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 6．（23-24高一上·湖南衡阳·月考），若，则+= . 三、解答题 7．（23-24高一上·海南·月考）已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 题型四 集合的交、并、补集运算 一、单选题 1．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建厦门·期末）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）已知全集，则图中的阴影部分所表示的集合等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东·月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·四川眉山·期中）高一1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 9．（24-25高一上·上海嘉定·月考）已知则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五 与集合的运算有关的含参问题 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·安徽·月考）已知集合，若，则实数的值可以为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25高一上·河北·月考）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．任意实数 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（   ） A．4 B．10 C．11 D．12 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·福建福州·期中）集合或，，若（R为实数集），则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型六 集合的新定义问题 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一上·上海·期中）已知全集为无理数集，将划分为两个非空的子集与，且满足，若中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为优分割.对于任一优分割，下列选项中一定不成立的是（   ） A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 5．（25-26高一上·全国·课后作业）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 6．（24-25高一下·湖北黄石·月考）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 7．（24-25高一下·广东湛江·月考）集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ． 题型七 充分、必要条件的判断 一、单选题 1．（24-25高一下·上海宝山·期末）“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·湖南衡阳·开学考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·四川眉山·期中）若，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·重庆·期中）命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·北京西城·期末）已知集合，．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型八 根据充分条件、必要条件求参数 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高一上·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 4．（24-25高一上·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山东泰安·月考）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高一上·广东肇庆·月考）已知“或”是“或”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 8．（23-24高一上·福建龙岩·开学考试）集合，．若“”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是 ． 题型九 全称、存在量词命题的真假与否定 一、单选题 1．（24-25高一上·山东枣庄·月考）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·山东淄博·月考）已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 4．（24-25高一上·贵州六盘水·月考）若命题p：有些三角形是锐角三角形，则（   ）． A．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 B．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 C．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 D．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 5．（24-25高一上·安徽·月考）下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 题型十 根据命题的真假求参数 一、单选题 1．（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏盐城·月考）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）命题，为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建莆田·月考）已知“，”为真命题；“，”为真命题，那么p，q的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25高一上·广东广州·月考）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 8．（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是 . 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）若，则集合可用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·全国·专题练习）已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 4．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 6．（24-25高一下·云南昆明·月考）已知集合⫋，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 8．（24-25高一上·云南·期中）集合的非空子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24高一上·广东惠州·月考）设集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，命题是奇数，则（   ） A．是奇数．是假命题 B．是奇数．是真命题 C．是奇数．是真命题 D．是奇数．是假命题 11．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·北京延庆·月考）已知命题：，，若为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·江苏淮安·月考）已知且，关于x的方程有两个不相等实数解，则p是q的什么条件（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 16．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·山东临沂·月考）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 18．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 19．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·湖南常德·月考）已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 21．（23-24高一上·广东佛山·月考）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·四川成都·月考）已知集合，若，求实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·四川达州·月考）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．（23-24高一上·河南平顶山·月考）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·陕西西安·月考）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·广东惠州·月考）对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·辽宁大连·月考）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 29．（江西省赣州市2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一上·广东肇庆·月考）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 31．（24-25高一上·广东广州·月考）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 二、填空题 32．（24-25高一上·全国·课后作业）若命题“，”为假命题，写出一组符合条件的和的值： ． 33．（24-25高一上·陕西西安·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 34．（24-25高一上·河南开封·期末）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 35．（24-25高一上·全国·课前预习）若由组成的集合与由组成的集合相等，则的值为 ． 36．（24-25高一上·福建泉州·月考）已知集合，集合且，命题，，若命题是真命题，则实数的取值范围是 37．（23-24高一上·重庆合川·月考）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 38．（24-25高一上·湖南长沙·期中）对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”.已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 . 三、解答题 39．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 40．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高一下·湖南长沙·月考）若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京·开学考试）已知集合，．则（    ） A． B．是的真子集 C． D． 4．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 5．（23-24高一上·湖南长沙·月考）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）给定数集M，若对于任意x，，都有，且，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 8．（25-26高一上·全国·课后作业）在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 三、填空题 9．（2024高一·全国·专题练习）已知或.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 11．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，且，则 ． 若集合有且只有两个子集，则实数 ． 12．（24-25高一·上海·假期作业）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 13．（24-25高一上·上海·月考）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 四、解答题 14．（24-25高一上·全国·周测）设全集，集合或，． (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·上海·月考）已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 16．（24-25高一下·河北保定·月考）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语（复习讲义） 1、了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义. 3、理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用图表达集合的基本关系及集合的基本运算. 4、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 5、理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定. 1、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、集合间关系与实数大小关系类比 实数 集合 定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或 相等 若且，则 若，，则 传递性 若，，则 若，，则． 若，，则 若，，则 3、有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 4、根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围 对于两个集合和，或中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法： （1）分类讨论：若，在未指明非空时，应分为和两种情况来讨论． （2）数形结合：对这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解． 5、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． （4）． （5）,． 6、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 7、条件关系判定的常用结论 与的关系 结论 ，但 是的充分不必要条件 ，但 是的必要不充分条件 且，即 是的充要条件 且 是的既不充分也不必要条件 8、从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 9、命题的否定： （1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定． （2）命题的否定与原命题的真假关系：p的否定与p“一真一假” 命题p 真 假 假 真 （3）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 10、含量词的命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 题型一 集合与元素 一、单选题 1．（2024高一上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 3．（24-25高一上·陕西·月考）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 4．（24-25高一上·安徽·月考）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合中的元素特征得出不等式组可解得结果. 【详解】由且，得 解得， 故选：A． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误. 【详解】A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 二、多选题 6．（23-24高一上·江苏常州·月考）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 7．（24-25高一上·山东淄博·月考）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】AC 【分析】分和两种情况进行讨论. 【详解】集合只有一个元素， 所以方程只有一个实数解. 若，方程只有一解； 若，方程只有一个实数解，所以. 故选：AC 三、填空题 8．（23-24高一·全国·课堂例题）已知集合中含有2个元素，，写出一个满足的条件的 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据集合中元素的互异性得出且，即可写出一个满足的条件的. 【详解】解：由集合中元素的互异性可知：， 解得且， 故时，，满足题意. 故答案为： 1（答案不唯一） 题型二 （真）子集的个数问题 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由集合子集，真子集的运算，集合中必有，且为集合{1,2,3,4,5}的子集. 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出集合A，再根据真子集的个数公式计算求解. 【详解】集合，则集合A的真子集的个数是. 故选：C. 4．（24-25高一上·云南昆明·月考）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据条件，先化简集合A，再利用子集个数的计算公式，即可求解. 【详解】由， 则集合A的子集个数为. 故选：B. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，转化为方程只有一个解，分和，两种情况，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意知，结合有且仅有2个子集， 即方程组只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，，满足条件； 当时，，解得或， 综上，实数的最小值为． 故选：A. 题型三 集合间的基本关系及含参问题 一、单选题 1．（24-25高一上·广东广州·月考）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由元素与集合关系，集合与集合关系逐个判断即可. 【详解】显然，，①③正确； 集合中的元素为一个式子，集合中的元素为数，②错误 在中，当时， 即有 因此，④正确 正确命题的个数是 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是的子集列方程，由此求得的取值集合. 【详解】由于，所以， 解得 所以实数的取值集合为. 故选：C. 3．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解． 【详解】当时，， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C 4．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【答案】A 【分析】根据，再利用是整数，是奇数即可判断集合间的关系. 【详解】∵， 是整数，是奇数，∴. 故选：A． 二、填空题 5．（24-25高一上·重庆·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系直接求出范围. 【详解】集合，，，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 6．（23-24高一上·湖南衡阳·月考），若，则+= . 【答案】 【分析】根据集合相等求出的值，计算即得结果. 【详解】∵集合， ∴ ∴+=+=2. 故答案为：. 三、解答题 7．（23-24高一上·海南·月考）已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为； （2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 题型四 集合的交、并、补集运算 一、单选题 1．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用集合的交运算求集合. 【详解】由. 故选：C 2．（24-25高一上·福建厦门·期末）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据自然数集的定义和并集的概念与运算直接得出结果. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：C 3．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）已知全集，则图中的阴影部分所表示的集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据韦恩图可知，图中的阴影部分为，利用交并补的运算即可求得. 【详解】由图可知，图中的阴影部分所表示的集合为, 因，，故. 故选：A. 4．（24-25高一下·广东·月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集定义计算求解. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 5．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的运算判断A，根据并集的运算举反例判断B，根据补集和交集的运算判断C，根据补集和并集的运算判断D. 【详解】对于A选项，因为，，所以，故A不正确； 对于B选项，因为，但，得，故B不正确； 对于C选项，由，，则或， 所以，故C正确； 对于D选项，由，得， 又，所以，故D不正确. 故选：C. 6．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，结合，可得，然后可求. 【详解】，， ， 故. 故选：B 7．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合B，再根据交集的运算求解即可. 【详解】因为，， 故． 故选：C． 8．（24-25高一上·四川眉山·期中）高一1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高一1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高一1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 9．（24-25高一上·上海嘉定·月考）已知则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的并集以及整数集，可得答案. 【详解】由题意可得，，则，，所以. 故选：C. 题型五 与集合的运算有关的含参问题 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集的定义即可求得结果. 【详解】因为集合，集合，且，所以， 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合补集的运算结果和集合元素的互异性，可求参数. 【详解】因为，所以，解得或2． 当时，，不满足互异性，舍去； 当时，集合，此时，符合题意，故． 故选：B 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【分析】利用补集概念得到，对照求出，得到答案. 【详解】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意有即． 5．（24-25高一上·安徽·月考）已知集合，若，则实数的值可以为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由集合交集的结果可得包含关系，可得答案. 【详解】由题意可得，由，则，可得. 故选：A. 6．（24-25高一上·河北·月考）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．任意实数 【答案】ABC 【分析】计算出集合后，由可得，再分为空集或不是空集进行讨论即可得. 【详解】由，解得或， 即， 由，则， 若，即时，符合要求； 若，则，， 有或，即或， 综上所述，实数的值可以是、或， 故A、B、C正确，D错误. 故选：ABC. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（   ） A．4 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【详解】解法1  由题意知S所有可能的集合为，，则符合条件的集合S的个数为12． 解法2  由题意，集合，若，则，此时集合S的个数为，所以当时，可得集合S的个数为． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 9．（24-25高一上·福建福州·期中）集合或，，若（R为实数集），则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示出N中不等式的解集，确定出N，根据N与M的补集不为空集，找出a的范围即可，进而求解结论． 【详解】解：∵全集R，或，，， ∴， 结合数轴可知，当时，， 故（R为实数集）时，a的取值范围为， 故选：C． 10．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，当时满足，求出的取值范围，当时，列出不等式组求出的取值范围，结合两种情况求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为，且满足，， 所以当时满足， 此时，解得， 当时，则有， 解得,综上，， 即实数的取值范围为． 故选：A． 题型六 集合的新定义问题 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】根据给定的定义，按分别求出即可. 【详解】当时，；当时，； 当时，，， 所以，共有8个元素. 故选：B 2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】求出集合中所有元素的和，进而得出三个集合中元素之和，然后通过列举法找出满足条件的“三分划”的个数. 【详解】集合的总和为： 每个子集的和应为： 列举所有和为且满足三分划条件的子集组合： 组合一：     组合二： 组合三： 共种不同的分法. 故选：D. 3．（24-25高一上·上海·期中）已知全集为无理数集，将划分为两个非空的子集与，且满足，若中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为优分割.对于任一优分割，下列选项中一定不成立的是（   ） A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 【答案】C 【分析】根据题意，依次举例对四个选项逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，将无理数集划分为两个非空的子集与， 且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素， 对于A中，若集合， 则集合没有最大元素，中有一个最小元素，所以A正确； 对于B中，若集合， 则集合没有最大元素，中也没有最小元素，所以B正确； 对于D中，若集合， 则集合中有一个最大元素，中没有最小元素，所以D正确； 对于C中，无论怎样“优分割”，都不可能使得集合中有最大元素，且中有最小元素，所以C不正确. 故选：C. 4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】C 【分析】ABD举反例即可，C选项给出证明. 【详解】取，则，故A错误； 取，则，不是无理数，故B错误； 设，，则，，故C正确； 取，， 由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被整除或被整除的全体整数集， 取，则，不能被或整除，即，故D错误. 故选：C 5．（25-26高一上·全国·课后作业）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 【答案】B 【详解】解法1  因为，所以，故A符合；因为，所以，故B不符合；因为，所以，故C符合；，所以，故D符合. 解法2  因为，所以且，则且（k，），所以，即，所以.又，所以（c，），即，即，所以.当时，；当时，；当时，. 6．（24-25高一下·湖北黄石·月考）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据新定义，逐项判断分析即可. 【详解】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确； 对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误； 对④：任取有理数，，令，，则， ， ，且，所以有理数集是数域，故④正确. 所以正确的有：①②④. 故选：B. 二、填空题 7．（24-25高一下·广东湛江·月考）集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】记，依题意求出，即可得到，分、两种情况讨论，分别求出的最大值，即可得解. 【详解】记，由，解得，又， 所以，则； 当时，，又，所以，此时的最大值为； 当时，，此时或， 于是，此时的最大值为； 综上可得的最大值为. 故答案为： 题型七 充分、必要条件的判断 一、单选题 1．（24-25高一下·上海宝山·期末）“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为不能推出，而能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据可得，结合充分条件和必要条件的定义即可下结论. 【详解】由，得，所以充分性成立； 由，得，所以必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 3．（23-24高一上·湖南衡阳·开学考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过举反例的方法结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】若，显然所以“”不是“”的充分条件； 若，显然，所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 5．（24-25高一上·四川眉山·期中）若，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，求得满足条件的集合A，再根据必要不充分条件定义即可得解. 【详解】由可得， 因为集合是集合的真子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：C. 6．（24-25高一上·重庆·期中）命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解. 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B 7．（24-25高一上·北京西城·期末）已知集合，．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件及必要条件的判定方法进行判断. 【详解】先看充分性：因为，当时，为偶数； 当时，；当时，； 当时，；则可表示所有奇数； 综上，可表示所有整数，即可表示所有偶数. 因为，则，所以“”是“”的充分条件； 再看必要性：因为，，所以“”是“”的充分条件， 即“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 题型八 根据充分条件、必要条件求参数 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 2．（24-25高一上·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意转化为子集问题，即可求解. 【详解】由条件可知，集合是集合的真子集， 所以. 故选：D 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【详解】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 4．（24-25高一上·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解. 【详解】令或，， 因是的充分不必要条件，可得真包含于， 可得. 故选：D 5．（24-25高一上·山东泰安·月考）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 6．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，据此列出不等式求解即可. 【详解】由题意,且, 所以,则,可得; 故选：A. 二、填空题 7．（24-25高一上·广东肇庆·月考）已知“或”是“或”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】/ 【分析】根据条件确定两个集合的包含关系，求参数的取值范围. 【详解】若“或”是“或”的必要不充分条件， 所以集合或是集合或的真子集. 则且等号不同时成立，即. 故答案为： 8．（23-24高一上·福建龙岩·开学考试）集合，．若“”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将代入集合，从而求出集合，再根据可得出关于实数的不等式，进而即可求得实数b的取值范围． 【详解】由， 当时，， 由“”是“”的充分条件， 则或，解得或， 所以实数b的取值范围是． 故答案为：． 题型九 全称、存在量词命题的真假与否定 一、单选题 1．（24-25高一上·山东枣庄·月考）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定是，. 故选：D 2．（24-25高一上·山东淄博·月考）已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由命题的否定的定义即可得解. 【详解】已知命题，则为. 故选：B. 3．（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【答案】A 【分析】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题. 【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 4．（24-25高一上·贵州六盘水·月考）若命题p：有些三角形是锐角三角形，则（   ）． A．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 B．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 C．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 D．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 【答案】A 【分析】判断存在量词命题真假，并根据含有一个量词命题的否定求出p的否定. 【详解】p：有些三角形是锐角三角形为真命题， 根据存在量词命题否定为全称量词命题。 所以p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形， 故选：A. 5．（24-25高一上·安徽·月考）下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全称量词命题真假判断方法推理判断AC；利用存在量词命题真假判断方法推理判断BD. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，为偶数，而3不是偶数，即等式不成立，B错误； 对于C，取满足，而不成立，C错误； 对于D，取，则，D正确. 故选：D 6．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】举出反例，得到为假命题，举出实例，得到为真命题. 【详解】命题，当得，，故为假命题，为真命题， 命题，时，，故满足，为真命题. 故选：B 题型十 根据命题的真假求参数 一、单选题 1．（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“，使得”是真命题，即可求解最值得解. 【详解】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题， 故，则， 故选：A 2．（24-25高一上·江苏盐城·月考）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的性质及存在量词命题（特称命题）的真假性求解即可. 【详解】由题意知“，”是真命题， 所以，解之可得, 所以的取值范围是. 故选：B 3．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）命题，为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题为真求出的范围，再利用充分不必要条件的定义求解即得. 【详解】，则，当且仅当时取等号，由命题为真，得， 因此命题为真命题的一个充分不必要条件是集合的真子集，C是，ABD都不是. 故选：C 4．（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，转化为求函数的值域． 【详解】，因此由得，即存在，成立， 时，，因此， 故选：C． 5．（23-24高一上·福建莆田·月考）已知“，”为真命题；“，”为真命题，那么p，q的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据命题真假的定义判断，注意全称命题与特称命题的区别． 【详解】“，”为真命题，则，“，”为真命题，则， 故选：C． 6．（24-25高一上·广东广州·月考）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中两个命题的真假求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系可得结论. 【详解】当时，；当时，. 若“，”为真命题，则； 若“，”为假命题，即命题“，”为真命题，所以，， 所以，，由题意可知，且， 故符合条件集合可为. 故选：B. 二、填空题 7．（24-25高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】即无解，据此可得答案 【详解】因，，则在R上无解， 则. 故答案为： 8．（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据是假命题，则是真命题.进而得到，根据集合之间的包含关系构造不等式组，计算即可. 【详解】是假命题，则是真命题. 由于，都有， 则. 可得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）若，则集合可用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法表示集合，可得结果. 【详解】因为，则. 故选：D. 2．（2025高一上·全国·专题练习）已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题的否定为. 故选：A 3．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用补集的运算进行求解. 【详解】因为，集合， 则集合或. 故选：A. 4．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合B，再根据交集的运算求解即可. 【详解】因为，， 故． 故选：C． 5．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由题可知图中阴影部分表示，结合集合的交运算、并运算求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以图中阴影部分表示或. 故选：A. 6．（24-25高一下·云南昆明·月考）已知集合⫋，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】分集合含有一个元素及两个元素分别求解即可. 【详解】当集合A中含一个元素时，或； 当集合A中含两个元素时，或或， 所以这样的集合共有个. 故选：D. 7．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】由，可得，，故，从而求出的值即可. 【详解】由可得，，故， ，解得， 故选：C. 8．（24-25高一上·云南·期中）集合的非空子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意求出集合，然后求其非空子集的个数即可. 【详解】由题意可得，故其非空子集个数为. 故选：A. 9．（23-24高一上·广东惠州·月考）设集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合必要不充分的定义即可判断. 【详解】，则， 所以，解得，故充分性不满足， 时，，， 所以，必要性满足， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，命题是奇数，则（   ） A．是奇数．是假命题 B．是奇数．是真命题 C．是奇数．是真命题 D．是奇数．是假命题 【答案】A 【详解】因为，且1是奇数，所以A正确． 11．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可得，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合，，且，则， 所以，. 故选：D. 12．（23-24高一上·北京延庆·月考）已知命题：，，若为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据存在命题的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为为假命题， 所以说明方程不存在正实数根， 于是有， 故选：D 13．（24-25高一上·江苏淮安·月考）已知且，关于x的方程有两个不相等实数解，则p是q的什么条件（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出命题q的等价命题，后判断命题p与q的关系即可. 【详解】因为关于x的方程有两个不相等实数解 且， 所以p是q的充要条件， 故选：C. 14．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 15．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据子集的定义即可求解. 【详解】依题意，所以集合B的真子集的个数为. 故选：A. 16．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 由，得，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以，解得，所以的取值范围为. 故选：B. 17．（23-24高一上·山东临沂·月考）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据命题是假命题可知，列不等式，解不等式即可. 【详解】命题“存在，使得等式成立”是假命题， 即命题“存在，使得等式成立”是假命题， 即， 所以，或，解得或， 即实数的取值范围是或， 故选：A. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 【答案】B 【详解】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，所以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数． 19．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的运算，即可得到结果. 【详解】， 且，则集合中不包含元素， 即. 故选：C 20．（24-25高一下·湖南常德·月考）已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】证明由可推出，再举例说明由不能推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】由于，所以和均不为， 所以可以推断； 取，可得，但 故由不能推出. 所以“”是“的充分不必要条件. 故选：B. 21．（23-24高一上·广东佛山·月考）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 22．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由为真命题，可得，即可得到结果. 【详解】因为命题为真命题， 则对恒成立， 所以， 即的取值范围是. 故选：D 23．（24-25高一上·四川成都·月考）已知集合，若，求实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，根据得到是的子集，分为空集，中只有一个元素和中有两个元素进行分类讨论，得到的取值范围. 【详解】，由于，所以是的子集，即中的元素全部包含在中． 当为空集时，即方程无解，判别式，解得． 当只有一个元素时，将代入方程，得到． 但此时，不满足，所以不符合条件． 当只有一个元素时，将代入方程，得到． 此时，满足，所以是符合条件的． 当有两个元素和时，但， 不满足韦达定理，因此这种情况不成立． 综上，的取值范围是. 故选：B 24．（24-25高一上·四川达州·月考）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用判别式列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】由于命题“，使”是假命题， 所以， 解得. 故选：B 25．（23-24高一上·河南平顶山·月考）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案. 【详解】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 26．（23-24高一上·陕西西安·月考）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题， 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 27．（23-24高一上·广东惠州·月考）对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设定义求出和，再求出即可． 【详解】对于集合，，定义且，， 设，， 则，， 所以. 故选：C． 28．（24-25高一上·辽宁大连·月考）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，， 或或或时，， 或或或时，， 故. 故选：D. 29．（江西省赣州市2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 30．（23-24高一上·广东肇庆·月考）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【分析】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【详解】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 31．（24-25高一上·广东广州·月考）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由新定义，列举计算即可； 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 二、填空题 32．（24-25高一上·全国·课后作业）若命题“，”为假命题，写出一组符合条件的和的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据存在量词命题为假，则其否定为真命题，转化为没有实数根，利用建立等式，取一组满足条件的值即可． 【详解】因为命题“”为假命题， 所以该命题的否定“”为真命题， 即方程在实数范围内没有根，所以， 取满足题意（答案不唯一，满足即可）， 故答案为：． 33．（24-25高一上·陕西西安·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 【答案】－1 【分析】由必要不充分条件的概念即可求解. 【详解】或， 因为是“”的必要不充分条件， 即 ， 所以，a的最大值为-1， 故答案为：-1 34．（24-25高一上·河南开封·期末）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 【答案】32 【分析】直接根据定义求出集合中的元素，再根据元素个数求出集合的子集个数即可. 【详解】因为定义集合，且，， 又， 所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，5共5个， 则集合的子集的个数为. 故答案为：32． 35．（24-25高一上·全国·课前预习）若由组成的集合与由组成的集合相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到和且，求得，的值，将其代入，进行计算求值，即可得到答案. 【详解】由题意知，集合，可得，所以， 此时，则且，所以， 所以． 故答案为：. 36．（24-25高一上·福建泉州·月考）已知集合，集合且，命题，，若命题是真命题，则实数的取值范围是 【答案】或 【分析】由命题是真命题得到，再结合得到实数满足的条件，解不等式得到结果. 【详解】由，可得，解得：， 由命题，是真命题，所以， 故有或，解得或. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 37．（23-24高一上·重庆合川·月考）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出，为真命题时的取值范围，可得与同时为真命题时的取值范围，进而即得. 【详解】当命题为真命题时，， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得， 故与不同时为真命题时，的取值范围是． 故答案为： 38．（24-25高一上·湖南长沙·期中）对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”.已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 . 【答案】 5 80 【分析】根据给定定义直接求出的“小和数”；求出集合的所有非空子集中含有每个元素的子集个数即可求出的“大和数”. 【详解】依题意，的“小和数”为； 集合的所有非空子集中，含有数的子集，可视为集合的每个子集与的并集， 因此含有数的子集个数为，同理含有数的子集个数均为， 所以的“大和数”为. 故答案为：5；80 三、解答题 39．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 40．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由两集合元素特点，逐个判断即可； 【详解】由， 当，，当，，当，，当，，当，， 所以，所以中有3个元素， 故选：B. 2．（24-25高一下·湖南长沙·月考）若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断. 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 3．（24-25高一下·北京·开学考试）已知集合，．则（    ） A． B．是的真子集 C． D． 【答案】C 【分析】由集合相等的概念，说明，同时即可； 【详解】从中任取一个元素，一定是偶数，所以， 从中任取一个元素，，所以, 所以， 故选：C 4．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】由题，要使取最大值，则a取，c取，b取，据此可得答案. 【详解】因，要使最大， 则a取，c取，b取，则. 故选：C. 5．（23-24高一上·湖南长沙·月考）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 二、多选题 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题意画出图，如图所示，由图可知． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）给定数集M，若对于任意x，，都有，且，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】ABD 【详解】取，，则，故A错误；取，，则，0不是无理数，故B错误；设，，则，，故C正确；取，，由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被2整除或被3整除的全体整数集，取，，则，5不能被2或3整除，即，故D错误. 8．（25-26高一上·全国·课后作业）在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 【答案】ABC 【详解】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件. 三、填空题 9．（2024高一·全国·专题练习）已知或.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 故答案为： 10．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为． 11．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，且，则 ． 若集合有且只有两个子集，则实数 ． 【答案】 0 或． 【分析】第一个空，结合集合相等的条件及集合元素的特征即可求解； 第二个空：由有且只有两个子集可知只有一个根，结合方程根的存在条件对是否为0进行分类讨论即可求解． 【详解】集合，且， 所以，解得； 若集合有且只有两个子集， 则只有一个根， 当时，，即，符合题意； 当时，，解得， 综上，或． 故答案为：0；或． 12．（24-25高一·上海·假期作业）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 【答案】 【分析】把2024写成2的自然数幂的和即可求解． 【详解】因为， 所以的第2024个子集是. 故答案为： 13．（24-25高一上·上海·月考）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 【答案】②③④ 【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断. 【详解】①若，①错误， ②，②正确， ③，③正确， ④，④正确， ⑤若，⑤错误. 故答案为：②③④ 四、解答题 14．（24-25高一上·全国·周测）设全集，集合或，． (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)条件选择见解析， 【分析】（1）当时，求出集合及，结合图形分析出阴影部分表示的集合，再根据交集的定义求解即可； （2）先分析出选择①②③中任选一个作为已知条件，均得到，然后分和两种情况讨论，列出不等式，求解即可. 【详解】（1）因为全集，集合或， 当时，， 所以或. 所以图中阴影部分表示的集合或． （2）①；②；③， 选择①②③中任选一个作为已知条件，均得到， 当时，，解得； 当时，或， 解得或，所以. 综上可知，实数的取值范围是． 15．（24-25高一上·上海·月考）已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以； （2），， ，即所有奇数都属于集合，则由，必有， 又 所以，而，即由推不出， 所以的充分非必要条件是. 16．（24-25高一下·河北保定·月考）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值. （2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围. 【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. （2）若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$