精品解析：湖北省武汉市2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题

2024-2025学年度下学期高一期末考试 高一数学试卷 全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的共轭复数的虚部为（） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算进行化简，进而可求其共轭复数，进而可得虚部. 【详解】，其共轭复数为， 故的共轭复数的虚部为1. 故选：A 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式和正弦的差角公式，对原式进行化简，可得结果. 【详解】 . 故选：D. 3. 已知，，则在上的投影向量为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】， ， ， 在上的投影何量为， 故选：C 4. 已知，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出，再由二倍角公式及齐次化可得 【详解】，， ， 故选：B 5. 为了得到函数的图像，只要把正弦函数上所有点（） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式将变成，再由平移变换可选出正确答案. 【详解】， 只要把上所有点向左平移即可得到 故选：C 6. 下列命题正确的个数是（） ①空间中三条不同的直线，，满足，，，则，，共面 ②已知直线，和平面，且，，则 ③如果平面平面，平面平面，那么平面平面 ④已知平面，，，且，，，则 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，由异面垂直可判断①；对于②，也成立；对于③，结合正方体判断不正确；对于④，由面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理可证明. 【详解】对于①，当与异面垂直时，此时不共面，故①错误； 对于②，，或，故②错误； 对于③，垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，如正方体左侧面和右侧面都垂直于上下底面，但左侧面和右侧面不垂直，故③错误； 对于④，，设， 在平面内存在直线，使得 ，， ，， ，，， ，， ，， 和相交，且 ，故④正确. 故选：B 7. 海上某货轮在处看灯塔，在货轮的南偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的南偏西，距离为海里处，货轮由处向正南航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（ ） A. 海里 B. 40海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可求出，再由正弦定理可得，再利用余弦定理可求解. 【详解】如图所示，依题意． 在中，， 由正弦定理得，． 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 故选：C 8. 在三棱锥中，，，，，为的中点，三棱锥的外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直角三角形性质可得为的外心，结合球体性质可知平面，由等腰三角形性质可知的外心在上且，进而可得直线与平面所成角与互余，结合球的表面积可得，结合勾股定理可得，结合正弦定理可得，由勾股定理可得，进而结合余弦定理计算即可． 【详解】如图，设球心为的外接圆圆心为，连接， 因为为中点，，所以为的外心， 由为的外心，得三点共线，且． 由题意得平面平面，则， 故直线与平面所成角为的余角， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 设三棱锥的外接球的半径为R，则，解得R=3，即， 因为，所以， 因为，所以由正弦定理可得，解得， 所以， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正四棱柱中，，分别是，的中点，则（） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线线垂直、线面平行、线线平行的判定定理、性质定理逐一证明即可. 【详解】对于A，正四棱柱， 在底面的射影为， 平面，与不重直， 与不垂直，故A错误； 对于B，连接，取的中点，连接， 易知， 四边形为平行里边形， ， 同理可知也为平行四边形， ， 又， ， 四边形为平行四边形， ， ， 平面平而， 平面，故B正确； 对于C，取的中点，连接， 易知， 四边形平行四边形， ，同理可证平行四边形， ， 又，， ， 四边动为平行四边形， ，， ， 四边形为平行四边行， ，故C正确； 对于D，连接则 平面平面， ， ， 平面， 平面， ，， 与不垂直，故与平面不可能垂直，故D错误， 故选：BC 10. 某新能源汽车公司对600辆量产车进行电池续航测试，其中360辆为SUV车型，240辆为轿车车型.质检部门采用分层抽样（按车型分层）抽取60辆车，实测满电续航里程.经计算：SUV车型样本均值为475公里，方差为20；轿车车型样本均值为465公里；所有60辆样本车的总方差为48.下列说法正确的是（ ） A. SUV车型的样本容量为36 B. 每辆轿车被抽入到样本的概率为 C. 所有样本车的平均续航里程为471公里 D. 轿车续航里程的样本方差为30 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分层抽样抽样比公式，以及均值和方差公式，即可求解. 【详解】由题意可知，SUV车型应抽取辆车，故A正确； 轿车车型应抽取辆车， 每辆轿车被抽入到样本的概率为，故B错误； 所有样本车的平均续航里程为公里，故C正确； 设轿车续航里程的样本方差为， 由题意，， 解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：①；②；③；④. 则下列结论正确的是（） A. 若，，则 B. 若，，则 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，用定义求解即可；对于B，用，结合求解即可；对于C，用定义求出左右两边是否相等即可；对于D，左边用和定义求出，右边也求出，看是否相等即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，故A错误； 对于B，因为因为，， 所以， 所以，故B正确； 对于C，，所以， ，所以， 所以不一定相等，故C错误； 对于D，设，则， 所以，故D正确; 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆台的上底面直径为1，下底面直径为2，母线长为1，则该圆台的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆台的轴截面求出圆台的高，再根据圆台的体积公式求解即可. 【详解】如图所示，作圆台的轴截面，依题意， 则，过点作，则 在中，，即圆台的高为 圆台的体积， 故答案为： 13. 若点是函数图像的一个对称中心，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的对称中心可列出等式，进而求解. 【详解】是图象的一个对称中心， ， ， ， ， 当时，， 故答案为： 14. 中，点在边BC上，，，，则面积最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求出，进而可求，利用面积相等可得，利用基本不等式结合三角形面积公式即可求解. 【详解】，， ， ， ， 整理得， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以 ． 故面积的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，是两个向量， （1）若，不共线，且，求实数的值； （2）已知向量，满足，，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共线向量定理列出等式求解即可; （2）由数量积为0可得，再由向量的模的计算公式求解即可. 【小问1详解】 是两个不共线的向量，， ， ， ，解得. 【小问2详解】 ， ， . 16. 在中，角，，的对边分别为，，.已知. （1）求角的大小； （2），延长CA至，使点是线段CD的中点，，求边的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正余弦定理边角互化，可得，利用余弦定理的推论可求角的余弦值，继而可得角. （2）在中，分别表示出，，再利用的关系可得，结合（1）中建立方程组即可求，得到边的长度. 【小问1详解】 由正弦定理得 ， 即 即，则， 又，所以. 【小问2详解】 由题知，，， 在中， ，， 又， 所以， 即 由（1）知，即， 所以，解得或（舍去）， 即. 17. 某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. （1）估计此次测试分数的平均值； （2）公司计划按照分数从高到低选拔前50名的应聘者进入面试环节，试估计这50名应聘者的最低分数； （3）试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 【答案】（1） （2）65 （3），分的应聘者的成绩进入到了的范围内，分的应聘者的成绩没有进入到了的范围内. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可； （2）依题意可知求第三四分位数所对应的分数； （3）根据频率分布直方图中方差的计算公式求解即可，然后求出即可判断. 【小问1详解】 1－5组的频率分别为， . 【小问2详解】 ， 这50名应骋者的最低分数为第三四分位数所对应的分数， 前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 第三四分位数落在内，设为m， 则，解得 这50名店骋者的量低分数力65分. 【小问3详解】 依题意， ， ，， ， 分的应聘者的成绩进入到了的范围内， 分的应聘者的成绩没有进入到了的范围内. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，. （1）若平面.证明：； （2）若平面平面，， （i）证明：； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2）（i）证明见详解；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意可求出，进而可知，由题可知所以可证平面，再由线面平行的性质定理可得，进而平面，再由线面垂直的性质定理可证； （2）（i）利用面面直的性质定理可得平面，再利用线面垂直的性质定理可得，进而可证平面，进而可证；（ii）先找出二面角的平面角，在三角形中求解即可. 【小问1详解】 在中， 由余弦定理得， 即，解得， ，， 底面，平面，， 平面，平面， 平面，平面，平面平面， ，平面， 平面，. 【小问2详解】 如图： 过点作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 又平面，平面，， ，平面，平面， 平面，. （ii）由（i）知，， ，，. 如图： 过点作于点，再过点作于点，连接， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，， 又，，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角， ， ， 又， ． 由（i）知平面， 平面，， ， 又， ，， 在中，． 即二面角的正弦值为. 19. 如图，正方形ABCD中，边长为a，E为中点，F是边上的动点，将，分别沿着折起，使A，B两点重合于点S. （1）求证：； （2）当F是边BC的中点时，将，，分别沿着折起，使A，B，C三点重合于点S，求三棱锥的外接球的表面积； （3），若，设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知，根据线面垂直的判定即可证明平面，继而得到； （2）根据题意可得两两垂直，三棱锥可放入以为边的长方体中，长方体体对角线就是其外接球直径，求出体对角线长即可得到外接圆面积； （3）利用等体积法可得点到平面的距离为，根据线面角的定义可得，再利用函数的单调性求最值即可. 【小问1详解】 在正方形ABCD中,, 所以翻折后，又平面， 所以平面，又平面，所以. 【小问2详解】 在正方形ABCD中，，翻折后， 又，所以两两垂直， 三棱锥可放入以为边的长方体中， 所以长方体体对角线就是其外接球直径，长度为 ， 即外接球半径，表面积 三棱锥SDEF的外接球的表面积. 【小问3详解】 设，设点到平面的距离为， 则， ，， 则， ， 又由（1）知平面，所以， ，解得， 又直线与平面所成角为， 所以， 又因，当，即时取等， 所以在单调递减，即， 则， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期高一期末考试 高一数学试卷 全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的共轭复数的虚部为（） A 1 B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则在上的投影向量为（） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图像，只要把正弦函数上所有点（） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 6. 下列命题正确的个数是（） ①空间中三条不同的直线，，满足，，，则，，共面 ②已知直线，和平面，且，，则 ③如果平面平面，平面平面，那么平面平面 ④已知平面，，，且，，，则 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 海上某货轮在处看灯塔，在货轮的南偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的南偏西，距离为海里处，货轮由处向正南航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（ ） A. 海里 B. 40海里 C. 海里 D. 海里 8. 在三棱锥中，，，，，为的中点，三棱锥的外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正四棱柱中，，分别是，的中点，则（） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 某新能源汽车公司对600辆量产车进行电池续航测试，其中360辆为SUV车型，240辆为轿车车型.质检部门采用分层抽样（按车型分层）抽取60辆车，实测满电续航里程.经计算：SUV车型样本均值为475公里，方差为20；轿车车型样本均值为465公里；所有60辆样本车的总方差为48.下列说法正确的是（ ） A. SUV车型样本容量为36 B. 每辆轿车被抽入到样本的概率为 C. 所有样本车的平均续航里程为471公里 D. 轿车续航里程的样本方差为30 11. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：①；②；③；④. 则下列结论正确是（） A. 若，，则 B. 若，，则 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆台的上底面直径为1，下底面直径为2，母线长为1，则该圆台的体积为__________. 13. 若点是函数图像的一个对称中心，则的最小值为__________. 14. 中，点在边BC上，，，，则面积的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，是两个向量， （1）若，不共线，且，求实数的值； （2）已知向量，满足，，，求. 16. 在中，角，，的对边分别为，，.已知. （1）求角的大小； （2），延长CA至，使点是线段CD中点，，求边的长度. 17. 某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. （1）估计此次测试分数的平均值； （2）公司计划按照分数从高到低选拔前50名的应聘者进入面试环节，试估计这50名应聘者的最低分数； （3）试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，. （1）若平面.证明：； （2）若平面平面，， （i）证明：； （ii）求二面角的正弦值. 19. 如图，正方形ABCD中，边长为a，E为中点，F是边上动点，将，分别沿着折起，使A，B两点重合于点S. （1）求证：； （2）当F是边BC的中点时，将，，分别沿着折起，使A，B，C三点重合于点S，求三棱锥的外接球的表面积； （3），若，设直线与平面所成角为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $