第19讲 对数函数及其性质-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第19讲 对数函数及其性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 （3）底数变化与图象变化的规律： 在同一坐标系内，当 a>1 时，随 a 的增大，对数函数的图象越靠近 x 轴；当 0<a时，对数函数的图象随 a 的增大而远离 x 轴．（见下图） （4）对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限. 知识点2 反函数 定义：设A,B分别为函数yf(x)的定义域和值域，如果由函数yf(x)所解得的x(y)也是一个函数（即对任意的一个yB，都有唯一的xA与之对应），那么就称函数x(y)是函数 yf(x)的反函数，记作，在中，y是自变量，x是y的函数，习惯上改写成（xB,yA）的形式．函数（yB,xA）与函数 （xB,yA）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数yf(x)的定义域A正好是它的反函数的值域；函数yf(x)的值域 B 正好是它的反函数的定义域． 注意：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 反函数的性质： （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称． （2）若函数yf(x)图象上有一点(a，b)，则(b，a)必在其反函数图象上；反之，若(b，a)在反函数图象上，则(a，b)必在原函数图象上． 知识点3 比较大小 1.比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法： ①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小； ②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 2.对数等比定理 （特别当m=n=1时， ） 证明：因为，所以 ，即 3.同步升（降）次法 根据可知， . 4.糖水不等式解决对数比较大小 定理：若ab0，m0，则一定有 ，或者 通俗的理解就是a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，则糖水更甜． 教材习题01 ．对数函数，，（，，，且a，b，c均不为1）的图象如图，试比较a，b，c的大小．    解题方法 当时，，， 如图①，②，③，    由图可知 【答案】 教材习题02 比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，（，且，）． 解题方法 （1）解：由对数函数在定义域上为单调递增函数，所以. （2）解：由对数函数在定义域上为单调递减函数，所以. （3）解：由对数函数在定义域上为单调递增函数，所以. （4）解：当时，函数是增函数，且，可得； 当时，函数是减函数，且，可得. 【答案】(1) (2) (3) (4)当时， ；当时，. 教材习题03 求使下列不等式成立的实数x的集合： (1)； (2). 解题方法 （1）因为，且函数为定义域上的单调递增函数， 所以，所以，所以使成立的实数x的集合为. （2）因为函数为定义域上的单调递减函数，且， 所以，所以，所以使成立的实数x的集合为. 【答案】(1) (2) 考点一 对数函数的概念 1．下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 4．若函数为对数函数，则 ． 5．（1）若函数是对数函数，求实数的取值范围； （2）如果对数式有意义，求实数的取值范围. 考点二 对数型函数的三要素 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．在对数式中，实数的取值范围应该是（   ） A． B．且 C． D．且 3．函数的值域为 ． 4．函数的定义域为 ，值域为 . 5．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若的值域为，求a的取值范围； (3)是否存在实数使得函数在区间上单调递减？若存在，写出一个符合题意的值；若不存在，说明理由. 考点三 对数型函数的单调性及最值 1．函数的图象如图所示，则a的值可以是（   ） A． B．2 C．e D． 2．下列函数中，在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 4．已知函数，若，则实数的取值范围是 . 5．已知，，求函数的最大值及取得最大值时的的值． 6．已知函数， (1)当时，求函数的值域； (2)若函数的最小值为，求实数a的值. 考点四 求反函数及反函数的应用 1．函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 2．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 3．对数函数（，且）和指数函数 互为反函数． 4．方程的实根是 ． 5．在指数函数和对数函数的学习中，我们发现同底数的指数函数和对数函数互为反函数，它们的函数图象关于直线对称．一般地，设函数的值域为，根据这个函数中的关系，把用表示出，得到．若对于在中的任何一个值，通过在中都有唯一的值与之对应，那么，就表示是自变量，是因变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作．习惯上，我们用表示自变量，表示因变量，所以函数的反函数通常写为． 反函数的主要性质有： ①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； ②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； ③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域． (1)试判断是否有反函数（直接写出答案）； (2)试求出函数的反函数，并指明函数的定义域和值域然后判断函数的单调性； (3)若关于的方程为常数）恰有两个根，且分别满足和，试求的值． （注：若关于直线对称，则直线关于直线对称） 考点五 对数函数的图象及应用 1．函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．   B．   C．   D．   2．函数与的图象关于（   ） A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称 3．函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为 . 4．若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 5．已知函数的图象恒过定点，且点在函数 的图象上. (1)若，求的值； (2)若函数在区间上的图象总在直线上方，求实数的取值范围. 考点六 比较大小 1．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，比较a，b，c的大小关系： ． 4．已知，，，则，，的大小关系为 ． 5．比较下列各组值的大小． (1)，； (2)，，； (3)，，． 考点七 不同函数增长的差异 1．四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 2．下面关于函数与在区间上的递减情况说法正确的是（   ） A．递减速度越来越慢，递减速度越来越快，递减速度越来越慢 B．递减速度越来越快，递减速度越来越慢，递减速度越来越快 C．递减速度越来越慢，递减速度越来越慢，递减速度越来越慢 D．递减速度越来越快，递减速度越来越快，递减速度越来越快 3．某工厂8年来某产品总产量与时间（年）的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产． 以上说法中正确的是 ．（填序号） 4．（1）（2）（3）分别是与在不同范围内的图象，估算出使的的取值范围是 .（参考数据：，） 5．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 知识导图记忆 知识目标复核 1．对数函数的概念 2．对数函数的图象与性质 3．反函数 4. 对数比较大小 一、单选题 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 5．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．设函数，其中，，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于函数，以下说法正确的是（    ） A．当时，的增区间为 B．当时，的值域为 C．如果的值域为，则 D．函数的图象关于直线对称 三、填空题 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 11．若函数是偶函数，则 . 12．函数，当时，则的值为 . 13．已知函数，，，若存在实数，对任意的实数，使得成立，则实数a的取值范围为 . 14．函数的定义域为 . 15．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 . 16．已知函数，若，则的最小值为 . 17．已知函数，则的最小值是 ． 四、解答题 18．已知函数，（，且）. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围. 19．已知函数． (1)证明：是奇函数； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围． 20．设函数的定义域为，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为．例如，若函数满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为1． (1)求函数，在上的增长系数； (2)若3和4都是函数在上的增长系数，求的取值范围； (3)若函数，在上的增长系数仅为，求的最小值及此时的取值范围． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 对数函数及其性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 （3）底数变化与图象变化的规律： 在同一坐标系内，当 a>1 时，随 a 的增大，对数函数的图象越靠近 x 轴；当 0<a时，对数函数的图象随 a 的增大而远离 x 轴．（见下图） （4）对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限. 知识点2 反函数 定义：设A,B分别为函数yf(x)的定义域和值域，如果由函数yf(x)所解得的x(y)也是一个函数（即对任意的一个yB，都有唯一的xA与之对应），那么就称函数x(y)是函数 yf(x)的反函数，记作，在中，y是自变量，x是y的函数，习惯上改写成（xB,yA）的形式．函数（yB,xA）与函数 （xB,yA）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数yf(x)的定义域A正好是它的反函数的值域；函数yf(x)的值域 B 正好是它的反函数的定义域． 注意：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 反函数的性质： （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称． （2）若函数yf(x)图象上有一点(a，b)，则(b，a)必在其反函数图象上；反之，若(b，a)在反函数图象上，则(a，b)必在原函数图象上． 知识点3 比较大小 1.比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法： ①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小； ②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 2.对数等比定理 （特别当m=n=1时， ） 证明：因为，所以 ，即 3.同步升（降）次法 根据可知， . 4.糖水不等式解决对数比较大小 定理：若ab0，m0，则一定有 ，或者 通俗的理解就是a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，则糖水更甜． 教材习题01 ．对数函数，，（，，，且a，b，c均不为1）的图象如图，试比较a，b，c的大小．    解题方法 当时，，， 如图①，②，③，    由图可知 【答案】 教材习题02 比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，（，且，）． 解题方法 （1）解：由对数函数在定义域上为单调递增函数，所以. （2）解：由对数函数在定义域上为单调递减函数，所以. （3）解：由对数函数在定义域上为单调递增函数，所以. （4）解：当时，函数是增函数，且，可得； 当时，函数是减函数，且，可得. 【答案】(1) (2) (3) (4)当时， ；当时，. 教材习题03 求使下列不等式成立的实数x的集合： (1)； (2). 解题方法 （1）因为，且函数为定义域上的单调递增函数， 所以，所以，所以使成立的实数x的集合为. （2）因为函数为定义域上的单调递减函数，且， 所以，所以，所以使成立的实数x的集合为. 【答案】(1) (2) 考点一 对数函数的概念 1．下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的定义可得. 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 2．函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【详解】由解得或，又，且，所以 故选：B. 3．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】设出函数解析式，再结合图象所过点求出参数即可. 【详解】设函数解析式为，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： 4．若函数为对数函数，则 ． 【答案】2 【分析】根据对数函数的概率列式求解即可. 【详解】因为函数为对数函数， 所以，且，则（舍去）或． 故答案为：2 5．（1）若函数是对数函数，求实数的取值范围； （2）如果对数式有意义，求实数的取值范围. 【答案】（1）且；（2）或或 【分析】（1）根据对数函数的定义列出关于的不等式组，即可求解； （2）根据对数函数的定义及定义域列出关于的不等式组，即可求解. 【详解】（1）因为是对数函数，所以，解得且， 即实数的取值范围是且. （2）要使对数式有意义，则，解得或或， 故实数的取值范围是或或. 考点二 对数型函数的三要素 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 2．在对数式中，实数的取值范围应该是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据对数式中底数与真数范围列不等式组即可求解． 【详解】由题意得，解得且. 故选：D. 3．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由及对数函数的性质，可得到的取值范围，进而得到的取值范围，从而得到的取值范围，即可求得函数的值域. 【详解】因为，所以，， 所以，即的值域为． 故答案为：. 4．函数的定义域为 ，值域为 . 【答案】 【分析】先求证恒成立，即可由得出定义域，再化简即可求出值域. 【详解】因为，所以恒成立， 由，得，则的定义域为， ，故的值域为. 故答案为：； 5．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若的值域为，求a的取值范围； (3)是否存在实数使得函数在区间上单调递减？若存在，写出一个符合题意的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)单调增区间是，单调减区间时； (2) (3)不存在，理由见解析； 【分析】（1）由得到或，再结合二次函数及对数函数的单调性即可求解； （2）由，两类情况讨论即可； （3）由在上单调递减， 在恒成立，分别求解的范围，即可判断. 【详解】（1）当时，， 由，可得：或， 易知，在单调递增，在单调递减， 又单调递增， 所以的单调增区间是，单调减区间时； （2）当时，，显然满足值域为， 当时，要使得的值域为，需满足：， 解得：， 综上可知：若的值域为，a的取值范围是； （3）不存在，理由如下： 若函数在区间上单调递减， 需满足：在上单调递减，且在恒成立， 若在上单调递减， 满足， 当时，需满足，即， 当时，需满足，恒成立， 综上可得：在上单调递减a的取值范围是， 若在恒成立， 即， 令，易知在对称轴处取到最大值， 所以， 显然在上单调递减与在恒成立，不能同时成立， 所以不存在实数使得函数在区间上单调递减. 考点三 对数型函数的单调性及最值 1．函数的图象如图所示，则a的值可以是（   ） A． B．2 C．e D． 【答案】A 【分析】由图象结合对数函数的性质可得答案. 【详解】因为函数的图象是单调递减的，所以， 由选项可知A正确. 故选：A. 2．下列函数中，在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数，对数函数，反比例函数.，二次函数的单调性逐个判断即可. 【详解】在函数中，，，所以在上为减函数，选项错误. 在函数中，，，所以在上为增函数，选项正确. 在函数中，，，所以在上为减函数，选项错误. 在函数中，，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，因此在上不是单调递增函数，选项错误. 在区间上为增函数的是. 故选：B. 3．已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由分段函数的单调性得到求解即可. 【详解】由是R上的单调递增函数， 可得：， 解得：， 所以实数a的取值范围为， 故答案为： 4．已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】{或} 【分析】由对数型复合函数的单调性构造不等式求解即可. 【详解】因为函数的定义域且单调递增， 若， 则， 解得或. 故答案为：{或}. 5．已知，，求函数的最大值及取得最大值时的的值． 【答案】当时，最大值为 【分析】先由对数函数的单调性和性质求出目标函数的定义域，再利用换元法结合二次函数的性质可得. 【详解】由，得，，即， 得函数的定义域为， ， 即， 令，， ，当，即时，． 6．已知函数， (1)当时，求函数的值域； (2)若函数的最小值为，求实数a的值. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数进行求值域； （2）对换元后的二次函数的对称轴位置进行讨论，根据最值表达式求出参数a的值． 【详解】（1），， 令，，则化为，， 当时，，， 对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 则，， 所以函数的值域为； （2）由（1），令，， 化为，，对称轴为， 若，则在上单调递增， 当时，，得，符合题意； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，得舍去，符合题意； 若，则在上单调递减， 当时，，得，与矛盾，舍去； 综上，或 考点四 求反函数及反函数的应用 1．函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得原函数的值域，再用表示，写出反函数即可. 【详解】因为，所以函数的值域为， 由，所以，得， 所以， 所以函数的反函数为. 故选：B. 2．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反函数的定义可得出函数的解析式，代值计算可得的值. 【详解】由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知， 函数是函数的反函数，所以，即， 故选：A. 3．对数函数（，且）和指数函数 互为反函数． 【答案】（，且） 【分析】略. 【详解】略. 4．方程的实根是 ． 【答案】2025 【分析】根据反函数的性质可知两函数的交点在上，即可根据求解. 【详解】令，则函数单调递增，且， 因此函数与函数互为反函数，则与函数的交点在直线上， 因此，故， 故，解得， 故答案为：2025 5．在指数函数和对数函数的学习中，我们发现同底数的指数函数和对数函数互为反函数，它们的函数图象关于直线对称．一般地，设函数的值域为，根据这个函数中的关系，把用表示出，得到．若对于在中的任何一个值，通过在中都有唯一的值与之对应，那么，就表示是自变量，是因变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作．习惯上，我们用表示自变量，表示因变量，所以函数的反函数通常写为． 反函数的主要性质有： ①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； ②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； ③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域． (1)试判断是否有反函数（直接写出答案）； (2)试求出函数的反函数，并指明函数的定义域和值域然后判断函数的单调性； (3)若关于的方程为常数）恰有两个根，且分别满足和，试求的值． （注：若关于直线对称，则直线关于直线对称） 【答案】(1)无反函数，有反函数 (2)的定义域为，值域为，在和上单调递减 (3)19 【分析】（1）分别求出的表达式，根据反函数的定义，即可判断； （2）求出的表达式，根据表达式可直接求得的定义域，根据反函数的值域为原函数的定义域，可求得的值域，再根据的表达式判断其单调性； （3）由一元二次方程根与系数的关系，求得和的值，分别化简和，可得到，则与分别是与和的两个交点的横坐标，根据反函数的性质，求得的值，从而可得到的值. 【详解】（1）设，则，此时一个有两个与之对应，不唯一，所以无反函数； 设，则，此时一个有唯一一个与之对应，所以有反函数. （2）设，所以， 即，所以的定义域为， 因为的定义域为，所以的值域为， 因为，所以在和上单调递减. （3）方程化为，所以, 因为，所以， 即， 所以与分别是与和的两个交点的横坐标， 因为与互为反函数，关于直线对称， 所以和的中点为， 所以，即，所以，所以， 所以. 考点五 对数函数的图象及应用 1．函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由一次函数图象得出的取值范围，利用对数函数的图象和性质逐项判断可得. 【详解】A中，由的图象知，则为增函数，A错； B中，由的图象知，则为减函数，B错； C中，由的图象知，则为减函数，所以C对； D中，由的图象知，此时无意义，D错． 故选：C. 2．函数与的图象关于（   ） A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称 【答案】A 【详解】因为，所以函数与的图象关于x轴对称． 3．函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据对数函数过定点，可求出过的定点. 【详解】已知函数（，且）， 令，即， 即函数（，且）的图象恒过定点， 故答案为：. 4．若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，根据对数函数的图象可知，利用对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】由对数函数的性质，得，解得， 则函数的定义域为，又函数的图象经过第一、二、三象限， 所以，即，化简得， 则，解得. 故答案为： 5．已知函数的图象恒过定点，且点在函数 的图象上. (1)若，求的值； (2)若函数在区间上的图象总在直线上方，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的性质求得点，代入可得，解方程可得； （2）将问题转化为不等式在区间上恒成立，再由基本不等式计算可得实数的取值范围. 【详解】（1）由函数的图象恒过定点，可得； 将点的坐标代入可得，解得； 所以， 因为，即， 整理可得，即， 解得或（舍）； 所以； （2）由（1）可知，； 所以， 函数在区间上的图象总在直线上方，可得在区间上恒成立， 整理可得在区间上恒成立，因此； 易知，当且仅当时，等号成立； 即； 因此实数的取值范围为. 考点六 比较大小 1．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用对数的运算法则，把分别转化为，再利用函数的单调性比较大小. 【详解】因为，，， 且在单调递增， 所以，即. 故选：D 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数和指数函数单调性确定各数与特殊值0，1的关系，分析即得解 【详解】由，，， 所以. 故选：B. 3．已知，，，比较a，b，c的大小关系： ． 【答案】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，利用“1”、“0”比较大小. 【详解】由，，， 所以， 故答案为： 4．已知，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题根据对数函数性质可以判定，，根据指数函数的单调性得出，进而做出大小判断． 【详解】，，， 又，所以． 故答案为：． 5．比较下列各组值的大小． (1)，； (2)，，； (3)，，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用对数函数的性质分别与0比较大小即可得解； （2）根据指数函数、对数函数的性质分别通过“1”、“0”为桥梁比较大小； （3）相比较倒数的大小，即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以． （2）因为，，， 所以． （3）因为， 所以． 考点七 不同函数增长的差异 1．四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，可知a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数，b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数． 2．下面关于函数与在区间上的递减情况说法正确的是（   ） A．递减速度越来越慢，递减速度越来越快，递减速度越来越慢 B．递减速度越来越快，递减速度越来越慢，递减速度越来越快 C．递减速度越来越慢，递减速度越来越慢，递减速度越来越慢 D．递减速度越来越快，递减速度越来越快，递减速度越来越快 【答案】C 【详解】观察函数与在区间上的图象（如图）可知，函数的图象在区间上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间上递减较慢，且越来越慢．同样，函数的图象在区间上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数的图象在区间上递减较快，但递减速度变慢；在区间上递减较慢，且越来越慢． 3．某工厂8年来某产品总产量与时间（年）的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产． 以上说法中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】分别根据图象的递增速度的变化，判断总产量的增长速度，利用总产量的数值变化判断生产状况. 【详解】由题图可知前3年的总产量增长速度越来越快； 而图象在区间上平行于轴，说明总产量没有变化， 所以第3年后该产品停止生产； 因此只有①③正确. 故答案为：①③. 4．（1）（2）（3）分别是与在不同范围内的图象，估算出使的的取值范围是 .（参考数据：，） 【答案】 【分析】结合参考数据，观察图象找到交点坐标，结合图象即可得到结果． 【详解】因为当时，， 当时，， 所以与的交点坐标情况如图， 结合图象可知的x的取值范围是， 故答案为：. 5．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 【答案】(1)对应的函数为，对应的函数为 (2) 【分析】（1）指数函数的图象不过第三象限，由此可以判断曲线，分别对应的函数； （2）先判断的大致范围，然后根据图象判断大小即可. 【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为． （2）因为，，，， 所以，， 所以，， 从图象上可以看出，当时，， 所以． 当时，， 即． 又因为， 所以． 知识导图记忆 知识目标复核 1．对数函数的概念 2．对数函数的图象与性质 3．反函数 4. 对数比较大小 一、单选题 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据对数函数的性质解不等式，再根据充分必要条件的概念即可得出结论. 【详解】当时，，故充分性成立； 当时，，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对数函数单调性的应用 【分析】利用中间值比较法，结合对数函数单调性即可得出. 【详解】因函数在上是减函数，故． 故选：D． 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】首先得，然后再根据幂指数的运算可得即可. 【详解】因为， 因为，所以， 所以. 故选：A. 4．已知函数，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、 对数函数y=log2x的图像和性质 【分析】由，得到，再构造函数，通过，得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，， 由， 可得：， 构造函数，，可得， 由上式可知：， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故选：D 5．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性结合给定区间上的函数解析式，确定函数的单调性，借助于特殊值替代，利用单调性即可求解抽象不等式. 【详解】因为当时，，则，且函数在上单调递增， 则由可得，利用函数的单调性可得； 又是定义在R上的奇函数，故； 当时，，则，因，则， 函数在上单调递增且， 则由可得，利用单调性可得. 综上可得，不等式的解集是. 故选：A. 6．设函数，其中，，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本（均值）不等式的应用、对数不等式 【分析】根据不等式恒成立，分类讨论得出，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意，函数的定义域为， 令，则或， 因为在上恒成立，其中，， 当时，则恒成立，即有； 当时，显然不等式恒成立； 当时，则恒成立，即有. 综上，， 又，，则，当且仅当时取等号. 所以的最小值是. 故选：A. 7．若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 8．已知函数，若成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】化简函数解析式为，分析可知函数的图象关于直线对称，利用复合函数法分析函数在上的单调性，结合可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】对任意的，，即函数的定义域为， 且， 因为， 所以，函数的图象关于直线对称， 令，其中， 任取、且，即，故， 所以，， 则 ，即， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数为增函数，由复合函数的单调性可知，函数在上为增函数， 因为，则，即， 即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 9．关于函数，以下说法正确的是（    ） A．当时，的增区间为 B．当时，的值域为 C．如果的值域为，则 D．函数的图象关于直线对称 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、对数型复合函数的单调性、判断或证明函数的对称性、求对数型复合函数的定义域 【分析】利用对数函数的性质，包括定义域、值域、单调性等，同时结合二次函数分析复合函数的性质，逐个分析每个选项即可得到答案. 【详解】由题可知为复合函数，其中对数函数的底数，对数函数单调递减，令. 对于A 选项，当时，，的定义域为，根据复合函数的单调性可知，只需求 的减区间即可，的单调递减区间为，的增区间为，故A正确. 对于B 选项，当时，，此时的定义域为，此时，的最小值为，即内层函数可取，即，的值域为，故B错误. 对于C 选项，的值域为,只需要内层函数能取到所有的正实数，即判别式，解得，故C错误. 对于D 选项，内层函数关于直线对称，而函数的图象是由经过对数变换得到的，的图象形状由决定，即函数的图象关于直线对称（也可验证是否成立），故D正确. 故选：AD. 三、填空题 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】由题意列出不等式即可求解. 【详解】由题意，解得. 故答案为：. 11．若函数是偶函数，则 . 【答案】/0.5 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】由题意，函数是偶函数，可得， 即， 可得，解得. 故答案为：. 12．函数，当时，则的值为 . 【答案】或0 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据题设可得，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】由，则， 当时，，即； 当时，，即或（舍去）. 综上所述，或. 故答案为：或0. 13．已知函数，，，若存在实数，对任意的实数，使得成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】研究对数函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】首先求得在时的值域为，所以原问题转换为对任意的实数，恒成立，分离参数即可求解. 【详解】设在时的值域为，，在时的值域为， 由题意总是满足， 显然在上单调递增，， 所以，又， 所以对任意的实数，恒成立， 而显然当时，有， 故只需考虑当时，恒成立， 显然当时，满足， 所以当时，恒成立， 所以时，恒成立， 所以时，恒成立， 所以时，恒成立， 所以， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以时，， 时，，等号成立当且仅当，而， 所以时，， 故所求为. 故答案为：. 14．函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据题意得解出即可. 【详解】由题意有或， 所以， 故答案为：. 15．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数函数单调性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】当时，利用函数的单调性解不等式，再利用是偶函数解不等式即可. 【详解】由对数函数和一次函数的单调性可得是增函数， 且， 所以当时，的解集为， 所以当时，不等式的解集为：. 又因为是奇函数，易知是偶函数， 所以当时，不等式的解集为：. 故不等式的解集为：. 故答案为： 16．已知函数，若，则的最小值为 . 【答案】2 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、基本不等式求和的最小值、判断或证明函数的对称性、研究对数函数的单调性 【分析】由解析式得，结合已知得，且，进而有，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】由题设，则， 所以， 又函数在上单调递增，且， 所以，且，则， 当且仅当时取等号，即的最小值为2. 故答案为：2. 17．已知函数，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、求对数型复合函数的定义域、分式不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意，求得，得到函数关于点对称，结合，即可求解. 【详解】由函数的定义域为或， 且满足， 即函数关于点对称， 所以， 则，当且仅当时，取得最小值． 故答案为：. 四、解答题 18．已知函数，（，且）. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)奇函数，理由见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、具体函数的定义域、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据对数函数的定义域进行求解即可. （2）根据函数的奇偶性的定义进行求解即可. （3）首先通过化简求出的解析式，然后判断对数函数的单调性和值域，进而可求出的范围. 【详解】（1）由题意得， 由，得， 所以的定义域为. （2）因为，定义域关于原点对称， 由于， 所以是奇函数. （3）当时，.定义域为. 易知，函数为偶函数， 令根据二次函数的性质，在上单调递增，在上单调递减，所以. 而是单调递增的，所以函数在上单调递增，在上单调递减. 故. 要使有两个零点，即有两个解， 所以，所以实数m的取值范围是. 19．已知函数． (1)证明：是奇函数； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）首先判断的定义域关于原点对称，然后再证明； （2）由、的单调性判断复合函数的单调性，为函数单调减区间的子集，列不等式求解即可. 【详解】（1）证明：由题得， 故，则的定义域为，关于原点对称， 又因为， 所以是奇函数． （2）因为， 当时，单调递减，且在定义域上为增函数， 故在区间上单调递减， 同理可得在区间上单调递减． 因为在区间上单调递减， 所以或，解得或， 所以的取值范围是． 20．设函数的定义域为，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为．例如，若函数满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为1． (1)求函数，在上的增长系数； (2)若3和4都是函数在上的增长系数，求的取值范围； (3)若函数，在上的增长系数仅为，求的最小值及此时的取值范围． 【答案】(1)在上的增长系数为1；在上的增长系数为2； (2)； (3)的最小值为5；. 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、利用函数单调性求最值或值域、求指数型复合函数的值域、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义求解即可； （2）令，根据增长系数的定义得到，根据不等式求解即可； （3）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义得到，进而得到，根据不等式有解且求解即可. 【详解】（1）因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为1； 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为2； （2）， 因为，令，则， 因为3和4都是函数在上的增长系数， 所以， 所以，即，整理得， 因为，所以，所以； （3）令，易知函数在上单调递增， 又在单调递增， 根据复合函数的单调性知函数在上单调递增， ，， 则， 因为函数在上的增长系数仅为， 所以， 则，即， 故， 由题设可得存在唯一的正整数， 且， 所以，解得，故，即的最小值为5， 此时且，即， 所以的最小值为5，此时. 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$