第18讲 对数及其运算-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第18讲 对数及其运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1对数的概念 1.如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.常用对数与自然对数： 3.对数的简单性质 （1）负数和0没有对数，即N＞0； （2）特殊值：1的对数是0，即 （a＞0，且a≠1）；底数的对数为1，即（a＞0，且a≠1）. 知识点2 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式和对数运算的一些方法： （1）常用换底： logbN＝(a，b均大于零且不等于1).如：． （2）倒数原理： 。 如：． （3）约分法则： 如． （4）归一法则：． 教材习题01 已知与互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 解题方法 由已知得，即，所以. 【答案】C 教材习题02 （1）计算对数函数当，3，9时的函数值； （2）计算常用对数函数当，0.001，1000时的函数值． 解题方法 （1） 当时，， 当时，， 当时，； （2） 当时，， 当时，， 当时，. 【答案】见解析 教材习题03 利用对数的换底公式计算： (1)； (2)． 解题方法 （1） ； （2） . 【答案】(1) (2) 考点一 对数的概念判断与求值 1．若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 2．下列说法正确的是（   ） ①对数式与指数式且是同一关系式的两种不同表示方法； ②若且，则一定成立； ③对数的底数为任意正实数； ④，对于一切且恒成立． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】③错误，对数的底数不能为1，排除A，C，D． 3．使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】要使有意义，则解得或． 4．下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据对数的定义和运算逐项分析求解. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：若，则，故D错误. 故选：AB. 5．判断下列给出的函数是否是对数函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 (4)不是 (5)不是 【分析】（1）由对数函数的定义判断可得； （2）由对数函数的定义判断可得； （3）由对数函数的定义判断可得； （4）由对数函数的定义判断可得； （5）由对数函数的定义判断可得； 【详解】（1）原式中的真数是，而不是，故不是对数函数． （2）原式中的底数是，而不是常数，故不是对数函数． （3）原式中的底数是，且不等于1，符合对数函数的定义，是对数函数． （4）原式中的真数是，而不是，故不是对数函数． （5）原式中的系数是3而不是1，后边的常数是1而不是0，故不是对数函数． 考点二 指数式与对数式的互化 1．将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 2．（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可. 【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确. 故选：AD 3．（多选题）下列指数式与对数式的互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【详解】选项C中应为与，C错误． 4．已知，则之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以． 5．若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，从而．故原式 ． 考点三 对数的运算 1．若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，从而．故原式 ． 2．计算： ． 【答案】 【分析】由指数、对数运算法则计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 3． ． 【答案】 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】, 故答案为：. 4．（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）运用对数运算公式及换底公式计算即可. （2）运用完全平方公式及对数运算公式计算即可. 【详解】（1） （2）原式 考点四 对数的运算性质的应用 1．（    ） A．－5 B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据指数、对数运算性质即可求解. 【详解】. 故选：. 2．设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换底公式可得，然后运用对数运算法则即可求解. 【详解】. 故选：D. 3．（多选题）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，所以，所以，故A正确，B错误；，故C错误，D正确． 4．若正实数m，n，t满足，且，则 . 【答案】 【分析】根据对数和指数的互化方法，求出参数的表达式，根据换底公式列出方程，根据对数运算公式，求出参数值. 【详解】已知，则， 根据换底公式可得，则， 变形得，解得. 故答案为：. 5．已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 【答案】 【详解】设，则原方程化为，，即，所以． 考点五 运用换底公式化简运算 1．（多选题）下列关系表示正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，，所以，所以，所以A正确； 对于B，由，得，故，所以B正确； 对于C，设，取对数得.所以.所以C正确； 对于D，因为，所以，所以，所以D错误. 故选：ABC. 2．若，则的值为 . 【答案】 【分析】由换底公式结合对数定义可得答案. 【详解】，则. 故答案为： 3． . 【答案】3 【分析】利用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【详解】由换底公式得 . 故答案为：3. 4．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）（2）根据对数运算的概念以及运算律，可得答案. 【详解】（1）由已知，，所以. （2）因为，所以，解得， 由，解得， 所以. 5．计算： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2)1 【分析】（1）（2）利用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 考点六 运用换底公式证明恒等式 1．已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）由，得，. 所以，， 则，故. 2．已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】设，显然， 则，可得， 所以. 3．设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用换底公式转化、化简即得证. 【详解】因a、b是两个不等于1的正数，则， 即. 4．设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】由题意，根据换底公式，，命题得证. 5．设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 6．设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 知识导图记忆 知识目标复核 1．对数的概念 2．两个对数恒等式 3．对数的运算性质 4. 换底公式及推论 一、单选题 1．对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 2．已知，且，则（    ） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数的运算性质化简计算即可求解. 【详解】因为， ， 令， 所以，解得或（不符合题意舍去）， 所以，解得. 故选：C 3．已知为奇函数，则a的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质来建立等式，进而求出的值. 【详解】已知为奇函数，则. 先求， 因为，所以， 即， 两边同时减去可得：， 根据对数的运算法则， 则，所以， 交叉相乘可得：，化简得， 即，那么，所以，解得. 当时，，无意义，舍去. 当时，，此时函数有意义，所以. 故选：D. 4．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【详解】因为，所以，所以． 5．满足条件，且的一组为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】由指数转对数，结合对数的运算逐个判断即可. 【详解】设，，，， ，， 结合选项，ABC不符合，D符合， 故选：D． 6．已知函数，若存在实数、、使得且成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小、基本不等式求积的最大值、指数式与对数式的互化 【分析】由已知等式变形得出，结合基本不等式可得出，由已知条件变形得出，分析得出，由可得出的取值范围，由此可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数，且存在实数、、使得， 则，等式两边同除以可得， 所以，，，故，， 由基本不等式可得，整理可得， 当且仅当时，等号成立， 由可得， 则，等式两边同时除以可得， 则，故，可得， 所以，，故，故. 故选：A. 7．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、根据函数的单调性解不等式、抽象不等式 【分析】先根据指数对数的运算性质将变形为，再通过放缩得到不等式，进而利用同构函数，将不等式转化为，再利用的单调性解不等式即可. 【详解】由，得， 即． 因为，，所以，即， 所以， 且． 因为函数在上单调递增， 又， 所以， 即， 故， 所以A正确，B，C，D错误． 故选：A． 8．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】判断指数函数的单调性、基本不等式求和的最小值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数的运算化简，再利用基本不等式即可求得，由，可得，然后构造函数，根据函数的单调性可就得，化简得，由题设即可得出，从而得解. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，可取等号， 又因为，所以. 又因为，所以. 令， 易得在上单调递减， 又，所以， 即， 所以，即， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用基本不等式可推出，构造函数，利用函数的单调性比较的大小，从而推出是解题关键. 二、多选题 9．（多选题）若且，，，则下列式子中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数的运算法则判断A，D，举反例判断B，C即可. 【详解】对于A，由对数的运算法则得，故A正确， 对于B，取，，，则， ，等式不恒成立，故B错误， 对于C，取，，则， ，等式不恒成立，故C错误， 对于D，由对数的运算法则得，故D正确. 故选：AD 10．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本（均值）不等式的应用、对数的运算 【分析】对于选项A，将代入不等式中化简可验证其正确性；对于选项B，将代入不等式中利用指数函数的单调性验证即可；对于选项C、D，化简不等式，利用基本不等式的性质验证即可. 【详解】对于A： ，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B： ，所以，故B错误； 对于C： ，当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D： 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：AD． 11．已知是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、指数函数的判定与求值、指数式与对数式的互化 【分析】根据给定条件，利用奇函数、偶函数定义建立方程组求出判断AC；利用指数、对数运算计算判断BD. 【详解】由，得，而是奇函数，是偶函数， 则，解得， 则，ACD正确，B错误. 故选：ACD 三、填空题 12． ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】利用换底公式直接求解即可. 【详解】. 故答案为：2. 13．已知实数满足且，则的最小值为 ． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】利用对数的运算及基本不等式计算，即可求得结果. 【详解】因为,所以,故且, 所以 ， 当且仅当时，即时取等号. 故答案为：6. 14．围棋是中华民族发明的世界上最古老的棋类游戏之一，具有高度的文化色彩.它的棋盘是由纵横各19条线交叉组成的，下棋时每个交叉点可能出现放黑子、放白子或放空三种情况，因此，整个棋盘的放子情况共种.则数字是 位数，它的个位数字是 .（参考数据：） 【答案】 173 3 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的运算 【分析】通过对数运算得到，即可解决第一空，根据的个位数以4为周期循环往复，即可完成第二空. 【详解】因为， 所以， 因为，则， 所以为位数， 由，其个位数分别为以为周期循环往复， 因为， 故的个位数与的个位数相同，即的个位数为. 故答案为：； 四、解答题 15．求下列各式中的的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】（1）利用对数的定义以及指对互化即可求出； （2）化简，再利用对数的定义即可. 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因，所以， 所以. 16．求值： (1)； (2). 【答案】(1)4 (2) 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）（2）利用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 17．计算： (1)； (2). 【答案】(1)2 (2)13 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）（2）利用对数的运算性质求解即可. 【详解】（1） . （2） . 18．求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)2 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）（2）（3）利用对数的运算性质结合换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3）分子 ； 分母 ，故原式. 19．求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)1 (3)52 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）（2）（3）利用对数的运算性质结合换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式. （3）法一：原式 . 法二：原式 . 20．（1）设，求的值； （2）已知，且，求； （3）求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）3 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化、对数的运算 【详解】解：（1）解法1  由，得，由换底公式得，所以． 解法2  由，两边同时取以6为底数的对数，得，所以，所以． （2）令，所以，所以，由，得，所以，所以． （3）原式． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 对数及其运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1对数的概念 1.如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.常用对数与自然对数： 3.对数的简单性质 （1）负数和0没有对数，即N＞0； （2）特殊值：1的对数是0，即 （a＞0，且a≠1）；底数的对数为1，即（a＞0，且a≠1）. 知识点2 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式和对数运算的一些方法： （1）常用换底： logbN＝(a，b均大于零且不等于1).如：． （2）倒数原理： 。 如：． （3）约分法则： 如． （4）归一法则：． 教材习题01 已知与互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 解题方法 由已知得，即，所以. 【答案】C 教材习题02 （1）计算对数函数当，3，9时的函数值； （2）计算常用对数函数当，0.001，1000时的函数值． 解题方法 （1） 当时，， 当时，， 当时，； （2） 当时，， 当时，， 当时，. 【答案】见解析 教材习题03 利用对数的换底公式计算： (1)； (2)． 解题方法 （1） ； （2） . 【答案】(1) (2) 考点一 对数的概念判断与求值 1．若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） ①对数式与指数式且是同一关系式的两种不同表示方法； ②若且，则一定成立； ③对数的底数为任意正实数； ④，对于一切且恒成立． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 4．下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 5．判断下列给出的函数是否是对数函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 考点二 指数式与对数式的互化 1．将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 2．（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（多选题）下列指数式与对数式的互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．已知，则之间的关系是（   ） A． B． C． D． 5．若，则 ． 考点三 对数的运算 1．若，则 ． 2．计算： ． 3． ． 4．（1）； （2）. 考点四 对数的运算性质的应用 1．（    ） A．－5 B． C． D．5 2．设，，则（ ） A． B． C． D． 3．（多选题）若，则（   ） A． B． C． D． 4．若正实数m，n，t满足，且，则 . 5．已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 考点五 运用换底公式化简运算 1．（多选题）下列关系表示正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 2．若，则的值为 . 3． . 4．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 5．计算： (1)； (2) 考点六 运用换底公式证明恒等式 1．已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 2．已知：，求证：． 3．设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 4．设均为正数，且均不为1.求证：. 5．设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 6．设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 知识导图记忆 知识目标复核 1．对数的概念 2．两个对数恒等式 3．对数的运算性质 4. 换底公式及推论 一、单选题 1．对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（    ） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 3．已知为奇函数，则a的值为（    ） A． B． C．1 D． 4．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．满足条件，且的一组为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．已知函数，若存在实数、、使得且成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选题）若且，，，则下列式子中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 10．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 11．已知是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12． ． 13．已知实数满足且，则的最小值为 ． 14．围棋是中华民族发明的世界上最古老的棋类游戏之一，具有高度的文化色彩.它的棋盘是由纵横各19条线交叉组成的，下棋时每个交叉点可能出现放黑子、放白子或放空三种情况，因此，整个棋盘的放子情况共种.则数字是 位数，它的个位数字是 .（参考数据：） 四、解答题 15．求下列各式中的的值. (1)； (2). 16．求值： (1)； (2). 17．计算： (1)； (2). 18．求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 19．求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 20．（1）设，求的值； （2）已知，且，求； （3）求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$